סימולציה של מודל Ising עם בעיטות על 127 qubit

במדריך הזה נשתמש בחבילה pauli-prop כדי לסמלץ בצורה קלאסית את הדינמיקה בזמן של מודל Ising עם בעיטות על 127 qubit ברשת heavy-hex, ולקרב את המגנטיזציה של אתר בודד, $\langle Z_{62} \rangle$. ההמילטוניאן שבו נתמקד הוא:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

כאשר $J>0$ מתאר את הצימוד בין ספינים שכנים, $i<j$, ו-$h$ הוא השדה הרוחבי הגלובלי. פירוק Trotter מסדר ראשון של האופרטור המתפתח בזמן ימומש כמעגל קוונטי, $U$, על פני $20$ צעדי Trotter. קבוע הצימוד, $J$, יקבע ל-$J=-\frac{\pi}{2}$ כך ש-$U$ הוא Clifford בכל פעם ש-$h\mod\frac{\pi}{2}=0$.

תהליך עבודה:

• יוצרים מעגלים קוונטיים שמממשים את מודל Ising בשיטת Trotter

  • משנים את $h$ בין נקודות Clifford, $0.0$ ו-$\frac{\pi}{2}$

• בוחרים אתר באמצע הרשת (qubit $62$) ומעריכים את המגנטיזציה אחרי $20$ צעדי Trotter עבור כל מעגל

• מתבוננים במגנטיזציה שיורדת מ-$1.0$ ל-$0.0$ כש-$h$ עובר מנקודת Clifford אחת לאחרת

יצירת מעגלים

קודם כול נשתמש ב-FakeSherbrooke מתוך qiskit-ibm-runtime כדי לקבל את אינדקסי הקשתות של מפת הצימוד של QPU מסוג Eagle עם 127 qubit. אחרי שיש לנו את אינדקסי הקשתות, ניצור את מעגלי Trotter עבור הערכים השונים של $h$ שאנחנו רוצים לסמלץ. המעגלים ימממשו פירוק Trotter מסדר ראשון של ההמילטוניאן עם 20 צעדי Trotter ו-5420 שערים.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

סימולציה של הדינמיקה בזמן באמצעות Pauli propagation

בשלב הבא נגדיר את האובזרבבל, $O$, שאנחנו רוצים למדוד. במקרה הזה אנחנו מעריכים את $\langle Z_{62} \rangle$.

כדי לחקור את המגנטיזציה בין נקודות Clifford, אנחנו מקדמים את $O$ בקירוב אל תחילת המעגל, $U$, וכך מקבלים אובזרבבל חדש, $O^\prime \approx U^{\dagger}OU$.

במהלך הקידום, מספר האיברים באובזרבבל המתפתח גדל אקספוננציאלית במספר השערים, ולכן בדרך כלל צריך להגביל את הגודל שאליו הוא יכול לגדול. כאן אנחנו מגבילים את מספר האיברים ב-$O^\prime$ ל-$10^5$ וקוטעים איברים עם מקדמים קטנים מ-$10^{-5}$. קטיעת איברים גורמת לשגיאה מסוימת. אחרי שיש לנו את $O^\prime$, אפשר להעריך בקלות את ערך התצפית, $\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$, על ידי סכימת המקדמים של האיברים האלכסוניים ב-$O^\prime$ (איברים שמורכבים רק מ-I או Z בכל ה-qubit).

אנחנו מגדירים frame='h' כדי לציין שאנחנו רוצים לפתח את האובזרבבל במסגרת Heisenberg ‏($U^{\dagger}OU$). משתמשים ב-frame=s להתפתחות Schrödinger ‏($UOU^{\dagger}$).

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

הדמיה

לבסוף, נשרטט את המגנטיזציה כפונקציה של $h$. כש-$h=0$, המעגל לא משפיע על המצב ההתחלתי בבסיס החישובי, ואנחנו יודעים ש-$\langle0|O|0\rangle = 1.0$. ככל ש-$h$ מתרחק מ-$0$, המגנטיזציה דועכת באופן מונוטוני עד ש-$h$ מגיע לזווית ה-Clifford הבאה, $\frac{\pi}{2}$, והמגנטיזציה מתכנסת ל-$0$.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]