הפורמליזם המתמטי

כשצריך ללמוד רעש פאולי עבור קבוצה של שערי Clifford, טכניקת ניתוח נפוצה היא לעקוב אחרי האופן שבו אופרטורי פאולי בודדים עוברים טרנספורמציה לאורך רצף של הפעלות שערים (בהנחה שהשערים הם שערי Clifford והרעש הוא ערוץ פאולי, פאולי יחיד תמיד יומר לפאולי אחר עד כדי סקלר שהוא פונקציה של הרעש). ברור שהאבולוציה של כל מצב תחת רצף כזה אפשר לתאר כצירוף לינארי של מסלולים כאלה, אבל בהנחה שאנחנו תמיד מכינים את המצב כמצב עצמי של פאולי, ותמיד מודדים ומעבדים את התוצאות כדי לחשב את ערך התצפית של אופרטור פאולי, הקשר בין ערך התצפית לפרמטרים של מודל הרעש תמיד יהיה תלוי במסלול יחיד כזה בלבד. זה נובע מהעובדה הפשוטה שהמצב ההתחלתי הוא צירוף לינארי של אופרטורי פאולי, כל שער וכל מודל רעש ממפים פאוליים לפאוליים ושומרים על האורתוגונליות שלהם, וערך התצפית הסופי "בוחר" רק אחד מהפאוליים בפירוק הסופי לפני המדידה.

סוג כזה של היגיון מופיע בהרבה קווי מחקר מקבילים בלמידת רעש, כולל בספרות על למידת קבוצות שערים של פאולי [1, 2], בספרות על ACES [3], ובספרות על cycle benchmarking [4]. ההיגיון הזה הורחב עוד ב-[5] כך שיכלול שערי Clifford-MCM (שער Clifford שאחריו מדידה פרויקטיבית באמצע המעגל). החבילה הזאת עוקבת בצורה הקרובה ביותר אחרי [1, 5]. אף על פי שהוא לא נקרא כך במפורש, אנחנו מאמצים את הפורמליזם של Pattern Transfer Graph (PTG) לתיאור האופן שבו אופרטורי פאולי מתפתחים לאורך מעגלי הלמידה, ומקבלים ייצוג נתונים ישיר של מסלולים בגרף.

להלן סקירה של כמה מושגים מתמטיים מרכזיים מהספרות. מטרתה העיקרית לאחד את הסימון ולשמש מקור תיעוד מושגי לשאר החבילה.

1. רקע

1.1 סימון

עבור $K \in \mathbb{N}$, נסמן $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. עבור קבוצה סופית $S \subset \mathbb{N}$ של אינדקסים של qubits, נסמן ב-$\mathcal{P}^S$ את קבוצת אופרטורי פאולי ללא פאזה הפועלים על ה-qubits האלה. שימו לב שאנחנו חושבים על איברי $\mathcal{P}^S$ כעל פונקציות שממפות $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, כך שלכל $P \in \mathcal{P}^S$ ו-$T \subseteq S$, הסימון $P|_T$ מציין את ההגבלה של $P$ לתת-קבוצת ה-qubits $T$. באותו אופן, עבור קבוצות זרות $S, T$, ועבור $P \in \mathcal{P}^S$ ו-$Q \in \mathcal{P}^T$, הסימון $P \otimes Q$ מציין את האיבר של $\mathcal{P}^{S \cup T}$ שמקיים $P \otimes Q |_S = P$ ו-$P \otimes Q |_T = Q$. הסימון הזה עוזר להימנע מהתעסקות מפורשת בסדר של תת-מערכות, ומקל על תיאור הגבלות.

עבור תת-קבוצות סופיות $M \subset \mathbb{N}$, נסמן ב-$\mathbb{Z}_2^M$ את קבוצת מחרוזות הביטים שאיבריהן מאונדקסים לפי $M$. בדומה לאמור לעיל, אנחנו חושבים על איברים כעל פונקציות שממפות $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, כך שאפשר לתאר בקלות תת-מחרוזות באמצעות הגבלות של קבוצת האינדקסים.

לבסוף, עבור מטריצה $X$ נשתמש ב-$| X \rangle\!\rangle$ כדי לציין את הווקטוריזציה שלה. בהתחשב באופן המוגבל שבו אנחנו משתמשים בסימון הזה, אין צורך לבחור קונבנציית וקטוריזציה ספציפית. עבור מחרוזת ביטים קלאסית $m$ נשתמש בקיצור $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 אינסטרומנטים קוונטיים

פעולה קוונטית שמפיקה ביטים קלאסיים $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (למשל תוצאת מדידה) מתוארת בדרך כלל כמפה לינארית מהצורה:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

כאשר קבוצת המפות $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ חיוביות לחלוטין, ו-$\sum_m \mathcal{E}_m$ שומרת על עקבה. קבוצה של מפות חיוביות לחלוטין $\{\mathcal{E}_m\}$ שמקיימת את התכונות האלה נקראת אינסטרומנט קוונטי (quantum instrument). שער יוניטרי הוא מקרה פרטי של אינסטרומנט שיש בו איבר אחד בלבד, שהוא פעולה יוניטרית.

2. שערי Clifford-MCM-reset רועשים

הפורמליזם שמשמש בחבילה הזאת מניח שכל שער בקבוצת השערים שרוצים לאפיין מורכב מרצף הפעולות הבא על $K$ qubits:

1. פעולת Clifford על כל ה-qubits.

2. מדידה פרויקטיבית באמצע המעגל לאורך $Z$ על תת-קבוצה כלשהי של qubits $M \subseteq [K]$.

3. איפוס (reset) באמצע המעגל למצב היסוד של $Z$ על תת-קבוצה כלשהי של qubits $R \subseteq [K]$.

זו משפחה כללית של פעולות שכוללת שערי Clifford יוניטריים, מדידה, הכנת מצב וכל שילוב של אלה. שימו לב שאנחנו מניחים שמדידה ואיפוס הן תמיד לאורך ציר $Z$ לכל qubit. אף על פי שזה לא נדרש בהכרח, זו תכונה נפוצה של שיטות רבות במחשוב קוונטי, והיא מאפשרת ייצוגים וניתוח פשוטים יותר.

כפי שמתואר ב-[5, 6] עבור המקרה ללא איפוס, אם מפעילים אסטרטגיית twirling מסוימת על מופע רועש של שער כזה, אפשר לתאר מתמטית את הפעולה המתקבלת כ-אינסטרומנט פאולי אחיד. כלומר, בסימון האינסטרומנטים הקוונטיים, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, כאשר $G$ הוא שער ה-Clifford היוניטרי, ו:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

כאשר כל $\Lambda_{a,b}$ הוא ערוץ פאולי תת-מנורמל על ה-qubits שלא נמדדו $N = [K] \setminus M$. מכך שזה אינסטרומנט קוונטי נובע ש-$\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ גם הוא שומר על עקבה. כמה הערות:

• הרעש ההתחלתי שלא עבר twirling מוּדל כך שיכלול גם שגיאות "קוונטיות" וגם "קלאסיות": פעולות שגויות על הרגיסטרים הקוונטיים, וגם טעויות בדיווח ערך המדידה.

• מפת הרעש $\Lambda_{a,b}$ בלתי תלויה בתוצאת המדידה $m$.

במילים, איבר בודד בסכום שלמעלה מייצג צפייה בתוצאת מדידה $m$ כשהמצב שנמדד היה $| m + b \rangle$ (סיווג שגוי אם $b \neq 0$), וכשמצב הפלט ברגיסטר המדידה הוא $| m + a \rangle$ (המצב "השגוי" כש-$a \neq 0$). המפה $\Lambda_{a,b}$ מקודדת בו-זמנית את הפעולה על ה-qubits שלא נמדדו (בתנאי להתנהגות המדידה) ואת ההסתברות להתנהגות המדידה הספציפית (דרך הנרמול).

שימו לב שכאן לא מעניינים אותנו הפרטים של אסטרטגיית ה-twirling: מספיק שקיימת אסטרטגיה כזאת שמביאה את הערוץ לצורה שלמעלה. שימו לב שקיימות אסטרטגיות twirling "עדינות" יותר שיכולות להגביל עוד את הצורה של ערוצי פאולי [7]; עם זאת, אנחנו לוקחים את הצורה שלמעלה כייצוג המתמטי הכללי ביותר הנבחן כאן.

בלמה 1 של [5] מראים שאפשר לכתוב את $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ מחדש בתור:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

עבור מספרים ממשיים כלשהם $\lambda_{x,y}^Q$, שנקראים הנאמנויות (fidelities) של האינסטרומנט.

הוספת איפוס לתמונה הזאת פשוטה יחסית. פעולת איפוס רועשת על qubits $R \subset [K]$ אפשר למדל לפי הפירוק:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

הצורה שלמעלה משתמשת במפורש בהנחה שהאיפוס הוא לאורך ציר $Z$ לכל qubit. הרעש בפעולה מקודד בנאמנויות האיפוס $\lambda_r$, שמאונדקסות פשוט לפי תת-קבוצות של qubits.

אנלוג למשוואה (1) שכולל פעולת איפוס בסוף אפשר לקבל פשוט על ידי הרכבתה עם משוואה (2). ההרכבה הזאת, אחרי קצת פישוט, נותנת:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

הפירוק הזה מראה שמספר הנאמנויות $\lambda^Q_{x, y}$ הוא

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

נבחן מקרי קצה: (1) ללא מדידה וללא איפוס, $M = R = \emptyset$, והביטוי נותן $4^K$, מספר אופרטורי פאולי חסרי הפאזה על $K$ qubits. (2) עבור $M = \emptyset$ ו-$R=[K]$ מתקבל $2^K$, שהוא מספר תת-הקבוצות של $[K]$. ולבסוף, (3) עבור $M = [K]$ ו-$R = \emptyset$ מתקבל $4^K$. שימו לב שזה עשוי להיראות מפתיע בהתחלה: בלמידה סטנדרטית, למדידה ולאיפוס יש בדרך כלל אותו מספר נאמנויות: $2^K$. אבל כאן שער המדידה המלאה בהקשר הזה מובן לא כמדידה סופית, אלא כ-MCM, ולכן נכללות גם נאמנויות שמתאימות לפלטים של המדידה שאינם הזהות (כמו $y \neq 0$ במשוואה (3)).

לבסוף, חשוב לציין שכל אסטרטגיית twirling שמניבה את הצורה שבמשוואה (1) במקרה ללא איפוס חלה באותה מידה גם על מקרה האיפוס הלא-טריוויאלי, עם שינוי פשוט. הבעיה האפשרית היא שאסטרטגיית twirling כזאת עשויה לדרוש פעולות על qubits שנמדדו אחרי המדידה. לכן, אם qubit נמדד וגם מאופס, נראה לכאורה שמימוש האסטרטגיה דורש הכנסת פעולות בתוך השער, בין המדידה לאיפוס. עם זאת, בגלל טבעו של האיפוס, לפעולות כאלה אין שום השפעה, ואפשר פשוט לדלג עליהן ועדיין לקבל את אותו מבנה רצוי.

3. פורמליזם המסלולים

כפי שתואר בהקדמה, כל אלגוריתמי הלמידה של רעש מסוג פאולי על שערי Clifford מבוססים על מעקב אחרי האופן שבו פאוליים בודדים מתפתחים לאורך מעגל, תוך צבירת גורמי נאמנות של רעש בדרך. לכן ערכי התצפית של מעגל שמורכב משערים כאלה קשורים פשוט למכפלות של הנאמנויות הבסיסיות של השערים הבודדים, ובדרך הזאת אפשר להסיק את פרמטרי המודל על ידי היפוך של כל מיפוי דליל מפרמטרים לנאמנויות שמונח כהנחה.

ב-[1], בהקשר של קבוצות שערים יוניטריים, זה מנוסח כ-Pattern Transfer Graph (PTG): גרף מכוון שמתאר את כל הניסויים האפשריים שמורכבים מאיברים של קבוצת השערים ומשכבות של שערי Clifford חד-qubitיים (שמניחים שהם פעולות מושלמות, או "חופשיות"). זה הורחב ב-[5] כך שיכלול קבוצות שערים עם מדידות באמצע המעגל. בשני המקרים כל ניסוי מתואר על ידי מעקב אחרי אופרטור פאולי יחיד לאורך המעגל, בהנחה שבכל אתר מדידה מחושב observable מסוים. כאן איננו סוקרים ישירות את בניית הגרף ואת בניית המסלולים; עם זאת, אנחנו מציגים את העובדות הדרושות כדי להצדיק אותן בסימון שלנו ועם איפוסים.

בעוד שמעקב אחרי אופרטור פאולי יחיד לאורך המעגל עשוי להיות אינטואיטיבי במקרה של קבוצת שערים יוניטריים, הוא לא נכון באותה בהירות במקרה הכללי יותר של Clifford-MCM-reset, בגלל האופי הלא-דטרמיניסטי של המדידה. הטענה הבאה משחזרת את התמונה הזאת גם במקרה הכללי יותר [5]:

טענה 1

לכל $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ ו-$Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ מתקיים:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

במילים אחרות, אם מחשבים את ערך התצפית $Z^{x + y|_M}$ על הרגיסטר הקלאסי שהוא פלט ה-MCM, אז האבולוציה ב"תמונת הייזנברג" של observable דרך שער Clifford-MCM-reset ממפה $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. עובדה זו לבדה מאפשרת לשחזר ניתוח דמוי PTG מעבר למקרה של קבוצת שערים יוניטריים: עם עיבוד מסוים של תוצאות המדידה, אפשר לראות גם שערים עם מדידות ואיפוסים כממפים באופן דטרמיניסטי אופרטור פאולי אחד לאחר.

לפני שנוכיח זאת, נכתוב את משוואה (3) בצורה שמרמזת יותר. שימו לב שעבור $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ מתקיים $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, ולכן (בסימון סופר-אופרטורים) מתקבל:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

כאשר הפעלנו את משוואה (3) ואספנו איברים, ואנחנו משתמשים בכתב התחתון $M$ כדי לציין את רגיסטר תוצאות המדידה הקלאסי, שאותו אנחנו מטפלים כאן בסימון דומה לזה של הרגיסטרים הקוונטיים.

הוכחה. מתקיים:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

לבסוף, שימו לב ש-$\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, ולכן האיבר האחרון שלמעלה מצטמצם לאיבר יחיד $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, וזו התוצאה הרצויה.

ראו [5] להמשך הפיתוח מכאן: ההגדרה של ה-PTG, מסלולים ב-PTG, וההוכחה שכל מסלול שהוגדר כראוי מתאים לניסוי.

מקורות

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.