גילוי שגיאות עם עומס נמוך באמצעות קודי מרחב-זמן

הערכת שימוש: 10 שניות על מעבד Heron r3 (הערה: זוהי הערכה בלבד. זמן הריצה שלך עשוי להשתנות.)

מבוא

Low-overhead error detection with spacetime codes [1] מאת Simon Martiel ו-Ali Javadi-Abhari מציע סינתזה של בדיקות מרחב-זמן עם משקל נמוך ומודעות קישוריות למעגלי Clifford דומיננטיים, ולאחר מכן בחירה מבוססת בדיקות אלו כדי לתפוס תקלות עם עומס נמוך בהרבה מתיקון שגיאות מלא ויריות פחות מהפחתת שגיאות סטנדרטית.

מאמר זה מציע שיטה חדשנית לגילוי שגיאות במעגלים קוונטיים (במיוחד מעגלי Clifford) שמשיגה איזון בין תיקון שגיאות מלא לטכניקות הפחתה קלות יותר. הרעיון המרכזי הוא להשתמש בקודי מרחב-זמן כדי ליצור "בדיקות" על פני המעגל שמסוגלות לתפוס שגיאות, עם עומס של qubits ושערים נמוך משמעותית מתיקון שגיאות עמיד לתקלות מלא. המחברים מעצבים אלגוריתמים יעילים לבחירת בדיקות שהן בעלות משקל נמוך (מערבות מעט qubits), תואמות לקישוריות הפיזית של המכשיר, ומכסות אזורים זמניים ומרחביים גדולים של המעגל. הם מדגימים את הגישה על מעגלים עם עד 50 qubits לוגיים וכ-2450 שערי CZ, ומשיגים שיפורי נאמנות פיזי-ללוגי של עד פי 236. שימו לב גם שככל שמעגלים כוללים יותר פעולות שאינן Clifford, מספר הבדיקות התקפות מתכווץ באופן אקספוננציאלי, מה שמצביע שהשיטה עובדת הכי טוב עבור מעגלי Clifford דומיננטיים. בסך הכל, בטווח הקצר, גילוי שגיאות באמצעות קודי מרחב-זמן עשוי להציע מסלול מעשי עם עומס נמוך יותר לשיפור האמינות בחומרה קוונטית.

טכניקת גילוי שגיאות זו מסתמכת על הרעיון של בדיקות Pauli קוהרנטיות ומבוססת על העבודה Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks [2] מאת van den Berg ואחרים.

לאחרונה יותר, המאמר Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond [3] מאת Javadi-Abhari ואחרים, מדווח על יצירת מצב Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) בן 120 qubits, המצב המסתבך הרב-צדדי הגדול ביותר שהושג עד כה על פלטפורמת qubits מוליכי-על. באמצעות קומפיילר מודע חומרה, גילוי שגיאות עם עומס נמוך, וטכניקת "ביטול זמני" להפחתת רעש, החוקרים השיגו נאמנות של 0.56 ± 0.03 עם כ-28% יעילות בחירה-מבוססת. העבודה מדגימה הסתבכות אמיתית על פני כל 120 ה-qubits, מאמתת מספר שיטות הסמכת נאמנות, ומסמנת אבן דרך מרכזית לחומרה קוונטית ניתנת להרחבה.

המדריך הזה בנוי על רעיונות אלו, ומדריך אותך דרך הטמעת אלגוריתם גילוי השגיאות תחילה על מעגל Clifford אקראי בקנה מידה קטן ולאחר מכן דרך משימת הכנת מצב GHZ, כדי לעזור לך להתנסות בגילוי שגיאות במעגלים קוונטיים משלך.

דרישות

לפני תחילת המדריך, ודא שמותקנים לך הדברים הבאים:

• Qiskit SDK v2.0 ואילך, עם תמיכה ב-visualization
• Qiskit Runtime v0.40 ואילך (pip install qiskit-ibm-runtime)
• Qiskit Aer v0.17.2 (pip install qiskit-aer)
• Qiskit Device Benchmarking (pip install "qiskit-device-benchmarking @ git+https://github.com/qiskit-community/qiskit-device-benchmarking.git")
• NumPy v2.3.2 (pip install numpy)
• Matplotlib v3.10.7 (pip install matplotlib)

הגדרה

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-aer qiskit-device-benchmarking qiskit-ibm-runtime

# Standard library imports
from collections import defaultdict, deque
from functools import partial

# External libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Qiskit
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Delay
from qiskit.circuit.library import RZGate, XGate
from qiskit.converters import circuit_to_dag, dag_to_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, random_clifford
from qiskit.transpiler import AnalysisPass, PassManager
from qiskit.transpiler.passes import (
    ALAPScheduleAnalysis,
    CollectAndCollapse,
    PadDelay,
    PadDynamicalDecoupling,
    RemoveBarriers,
)
from qiskit.transpiler.passes.optimization.collect_and_collapse import (
    collect_using_filter_function,
    collapse_to_operation,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.visualization import plot_histogram

# Qiskit Aer
from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit_aer.noise import NoiseModel, ReadoutError, depolarizing_error

# Qiskit IBM Runtime
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler

# Qiskit Device Benchmarking
from qiskit_device_benchmarking.utilities.gate_map import plot_gate_map

דוגמה ראשונה

כדי להדגים שיטה זו, אנחנו מתחילים בבנייה של מעגל Clifford פשוט. המטרה שלנו היא להיות מסוגלים לזהות מתי סוגים מסוימים של שגיאות מתרחשים במעגל הזה, כך שנוכל להשליך תוצאות מדידה שגויות. בטרמינולוגיה של גילוי שגיאות, זה נקרא גם מעגל המטען שלנו.

circ = random_clifford(num_qubits=2, seed=11).to_circuit()
circ.draw("mpl")

המטרה שלנו היא להכניס בדיקת Pauli קוהרנטית למעגל המטען הזה. אבל לפני שאנחנו עושים את זה, אנחנו מפרידים את המעגל הזה לשכבות. זה יהיה שימושי מאוחר יותר בהכנסת שערי Pauli בינהם.

# Separate circuit into layers
dag = circuit_to_dag(circ)
circ_layers = []
for layer in dag.layers():
    layer_as_circuit = dag_to_circuit(layer["graph"])
    circ_layers.append(layer_as_circuit)

# Create subplots
fig, (ax1, ax2, ax3, ax4, ax5) = plt.subplots(1, 5, figsize=(10, 4))

# Draw circuits on respective axes
circ_layers[0].draw(output="mpl", ax=ax1)
circ_layers[1].draw(output="mpl", ax=ax2)
circ_layers[2].draw(output="mpl", ax=ax3)
circ_layers[3].draw(output="mpl", ax=ax4)
circ_layers[4].draw(output="mpl", ax=ax5)

# Adjust layout to prevent overlap
plt.tight_layout()
plt.show()

עכשיו אנחנו מוכנים להוסיף בדיקות Pauli קוהרנטיות למעגל המטען. כדי לעשות זאת, אנחנו צריכים לבנות "בדיקה תקפה" ולהכניס אותה למעגל. "בדיקה" במקרה הזה היא אופרטור שמסוגל לאותת האם שגיאה התרחשה במעגל על ידי ביצוע מדידה על qubit עזר (ancilla). היא נחשבת בדיקה תקפה כאשר האופרטורים הנוספים שהוכנסו למעגל הקוונטי לא משנים באופן לוגי את המעגל המקורי.

בדיקה זו מסוגלת לזהות סוגי שגיאות שאנטי-קומוטטיביים עמה, והבדיקה תפעיל מדידה של מצב $\ket{1}$ ב-qubit העזר במקום $\ket{0}$ דרך phase kickback. לכן, נוכל להשליך מדידות שבהן שגיאה סומנה.

באופן כללי, בדיקות Pauli קוהרנטיות הן אופרטורים controlled-Pauli שהוכנסו ל-"חוטים" - מיקומי מרחב-זמן בין שערים. ה-qubit העזר האחראי לאיתות השגיאה הוא ה-qubit השולט.

להלן אנחנו בונים בדיקה תקפה למעגל Clifford שיצרנו למעלה. אנחנו יכולים להדגים שהבדיקה הזו לא משנה את פעולת המעגל על ידי הצגת העובדה שכאשר בדיקות Pauli אלו מועברות לקדמת המעגל, הן מבטלות זו את זו. זה מוצג בקלות כי אופרטור Pauli דרך שער Clifford הוא אופרטור Pauli אחר.

באופן כללי, ניתן להשתמש בהיוריסטיקה של פענוח כפי שמתואר ב-[1] כדי לזהות בדיקות תקפות. לצורכי הדוגמה הראשונית שלנו, אנחנו יכולים גם לבנות בדיקות תקפות באמצעות תנאי כפל אנליטיים של שערי Pauli ו-Clifford.

# Define a valid check
pauli_1 = Pauli("ZI")
pauli_2 = Pauli("XZ")

circ_1 = circ_layers[0].compose(circ_layers[1])
circ_1.draw("mpl")

pauli_1_ev = pauli_1.evolve(circ_1, frame="h")
pauli_1_ev

Pauli('-ZI')

circ_2 = circ.copy()
circ_2.draw("mpl")

pauli_2_ev = pauli_2.evolve(circ_2, frame="h")
pauli_2_ev

Pauli('-ZI')

pauli_1_ev.dot(pauli_2_ev)

Pauli('II')

כפי שאנחנו רואים, יש לנו בדיקה תקפה, כי האופרטורים של Pauli שהוכנסו פשוט יש להם את אותה השפעה כמו אופרטור זהות על המעגל. אנחנו יכולים עכשיו להכניס את הבדיקות האלה למעגל עם qubit עזר. qubit העזר הזה, או ה-check qubit, מתחיל במצב $\ket{+}$. הוא כולל את הגרסאות המבוקרות של פעולות Pauli שתוארו למעלה ולבסוף נמדד בבסיס $X$. check qubit זה כעת מסוגל לתפוס שגיאות במעגל המטען מבלי לשנות אותו באופן לוגי. זה בגלל שסוגים מסוימים של רעש במעגל המטען ישנו את מצב ה-check qubit, והוא יימדד "1" במקום "0" במקרה שכזו שגיאה מתרחשת.

# New circuit with 3 qubits (2 payload + 1 ancilla for check)
circ_meas = QuantumCircuit(3)
circ_meas.h(0)
circ_meas.compose(circ_layers[0], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[1], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 2)
circ_meas.compose(circ_layers[2], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[3], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.compose(circ_layers[4], [1, 2], inplace=True)
circ_meas.cz(0, 1)
circ_meas.cx(0, 2)
circ_meas.h(0)

# Add measurement to payload qubits
c0 = ClassicalRegister(2, name="c0")
circ_meas.add_register(c0)
circ_meas.measure(1, c0[0])
circ_meas.measure(2, c0[1])

# Add measurement to check qubit
c1 = ClassicalRegister(1, name="c1")
circ_meas.add_register(c1)
circ_meas.measure(0, c1[0])

# Visualize the final circuit with the inserted checks
circ_meas.draw("mpl")

אם ה-check qubit נמדד ב-"0", אנחנו שומרים את המדידה הזו. אם הוא נמדד ב-"1", אז זה אומר שקרתה שגיאה במעגל המטען, ואנחנו משליכים את המדידה הזו.

# Noiseless simulation using stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(circ_meas, shots=1000).result()
counts_noiseless = res.get_counts()
print(f"Stabilizer simulation result: {counts_noiseless}")

Stabilizer simulation result: {'0 11': 523, '0 01': 477}

# Plot the noiseless results
# Note that the first bit in the key corresponds to the check qubit
plot_histogram(counts_noiseless)

שימו לב שעם סימולטור אידיאלי, ה-check qubit לא מזהה שגיאות. אנחנו מכניסים עכשיו מודל רעש לסימולציה ורואים איך ה-check qubit תופס שגיאות.

# Qiskit Aer noise model
noise = NoiseModel()
p2 = 0.003  # two-qubit depolarizing per CZ
p1 = 0.001  # one-qubit depolarizing per 1q Clifford
pr = 0.01  # readout bit-flip probability

# 1q depolarizing on common 1q gates
e1 = depolarizing_error(p1, 1)
for g1 in ["id", "rz", "sx", "x", "h", "s"]:
    noise.add_all_qubit_quantum_error(e1, g1)

# 2q depolarizing on CZ
e2 = depolarizing_error(p2, 2)
noise.add_all_qubit_quantum_error(e2, "cz")

# Readout error on measure
ro = ReadoutError([[1 - pr, pr], [pr, 1 - pr]])
noise.add_all_qubit_readout_error(ro)

# Qiskit Aer simulation with noise model
aer = AerSimulator(method="automatic", seed_simulator=43210)
job = aer.run(circ_meas, shots=1000, noise_model=noise)
result = job.result()
counts_noisy = result.get_counts()
print(f"Noise model simulation result: {counts_noisy}")

Noise model simulation result: {'1 01': 5, '0 11': 478, '1 11': 6, '1 00': 2, '1 10': 1, '0 01': 500, '0 00': 5, '0 10': 3}

plot_histogram(counts_noisy)

כפי שאנחנו רואים, מדידות מסוימות תפסו את השגיאה על ידי סימון ה-check qubit כ-"1", שנראות בארבעת העמודות האחרונות. יריות אלו מושלכות. הערה: ה-qubit העזר יכול גם להכניס שגיאות חדשות למעגל. כדי להפחית את ההשפעה של זה, אנחנו יכולים להכניס בדיקות מקוננות עם qubits עזר נוספים למעגל הקוונטי.

דוגמה מהעולם האמיתי: הכנת מצב GHZ על חומרה אמיתית

שלב 1: מיפוי קלטים קלאסיים לבעיה קוונטית

עכשיו אנחנו מדגימים משימה משמעותית לאלגוריתמים של מחשוב קוונטי, שהיא הכנת מצב GHZ. אנחנו נדגים איך לעשות את זה על backend אמיתי באמצעות גילוי שגיאות.

# Set optional seed for reproducibility
SEED = 1

if SEED:
    np.random.seed(SEED)

אלגוריתם גילוי השגיאות להכנת מצב GHZ מכבד את הטופולוגיה של החומרה. אנחנו מתחילים בבחירת החומרה הרצויה.

# This is used to run on real hardware
service = QiskitRuntimeService()

# Choose a backend to build GHZ on
backend_name = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=133
)

backend = service.backend(backend_name)
coupling_map = backend.target.build_coupling_map()

מצב GHZ על $n$ qubits מוגדר כ- $\lvert \mathrm{GHZ}_n\rangle \;=\; \frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\lvert 0\rangle^{\otimes n} \,+\, \lvert 1\rangle^{\otimes n}\Big).$

גישה נאיבית מאוד להכנת מצב GHZ תהיה לבחור qubit שורש עם שער Hadamard ראשוני, שמעמיד את ה-qubit למצב סופרפוזיציה שווה, ואז לסבך את ה-qubit הזה עם כל qubit אחר. זו לא גישה טובה, כי היא דורשת אינטראקציות CNOT בטווח ארוך ועמוקות. במדריך הזה, נשתמש במספר טכניקות לצד גילוי שגיאות כדי להכין באופן אמין את מצב GHZ על חומרה אמיתית.

שלב 2: אופטימיזציה של הבעיה לביצוע חומרה קוונטית

מיפוי מצב GHZ לחומרה

תחילה, אנחנו מחפשים שורש כדי למפות את מעגל GHZ על חומרה. אנחנו מסירים קצוות/צמתים ששגיאות CZ, שגיאות מדידה, וערכי T2 שלהם גרועים יותר מהסף למטה. אלו לא יכללו במעגל GHZ.

def bad_cz(target, threshold=0.01):
    """Return list of edges whose CZ error is worse than threshold."""
    undirected_edges = []
    for edge in backend.target.build_coupling_map().get_edges():
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges
    cz_errors = {}
    for edge in edges:
        cz_errors[edge] = target["cz"][edge].error
    worst_edges = sorted(cz_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    return [list(edge) for edge, error in worst_edges if error > threshold]

def bad_readout(target, threshold=0.01):
    """Return list of nodes whose measurement error is worse than threshold."""
    meas_errors = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        meas_errors[node] = target["measure"][(node,)].error
    worst_nodes = sorted(
        meas_errors.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True
    )
    return [node for node, error in worst_nodes if error > threshold]

def bad_coherence(target, threshold=60):
    """Return list of nodes whose T2 value is lower than threshold."""
    t2s = {}
    for node in range(backend.num_qubits):
        t2 = target.qubit_properties[node].t2
        t2s[node] = t2 * 1e6 if t2 else 0
    worst_nodes = sorted(t2s.items(), key=lambda x: x[1])
    return [node for node, val in worst_nodes if val < threshold]

THRESH_CZ = 0.025  # exclude from BFS those edges whose CZ error is worse than this threshold
THRESH_MEAS = 0.15  # exclude from BFS those nodes whose measurement error is worse than this threshold
THRESH_T2 = 10  # exclude from BFS those nodes whose T2 value is lower than this threshold

bad_edges = bad_cz(backend.target, threshold=THRESH_CZ)
bad_nodes_readout = bad_readout(backend.target, threshold=THRESH_MEAS)
dead_qubits = bad_readout(backend.target, threshold=0.4)
bad_nodes_coherence = bad_coherence(backend.target, threshold=THRESH_T2)
bad_nodes = list(set(bad_nodes_readout) | set(bad_nodes_coherence))
print(f"{len(bad_edges)} bad edges: \n{bad_edges}")
print(f"{len(bad_nodes)} bad nodes: \n{bad_nodes}")

17 bad edges:
[[30, 31], [112, 113], [113, 114], [113, 119], [120, 121], [130, 131], [145, 146], [146, 147], [111, 112], [55, 59], [64, 65], [131, 138], [131, 132], [119, 133], [129, 130], [47, 57], [29, 38]]
5 bad nodes:
[1, 113, 131, 146, 120]

באמצעות הפונקציה למטה, אנחנו בונים את מעגל GHZ על החומרה שנבחרה החל מהשורש ובאמצעות חיפוש רוחב-תחילה (BFS).

def parallel_ghz(root, num_qubits, backend, bad_edges, skip):
    """
    Build a GHZ state of size `num_qubits` on the given `backend`,
    starting from `root`, expanding in BFS order.

    At each BFS layer, every active qubit adds at most one new neighbor
    (so that two-qubit operations can run in parallel with no qubit conflicts).

    It grows the entanglement tree outward layer-by-layer.
    """

    # -------------------------------------------------------------
    # (1) Filter usable connections from the backend coupling map
    # -------------------------------------------------------------
    # The coupling map lists all directed hardware connections as (control, target).
    # We remove edges that are:
    #   - listed in `bad_edges` (or their reversed form)
    #   - involve a qubit in the `skip` list
    cmap = backend.configuration().coupling_map
    edges = [
        e
        for e in cmap
        if e not in bad_edges
        and [e[1], e[0]] not in bad_edges
        and e[0] not in skip
        and e[1] not in skip
    ]

    # -------------------------------------------------------------
    # (2) Build an undirected adjacency list for traversal
    # -------------------------------------------------------------
    # Even though coupling_map edges are directed, BFS expansion just needs
    # connectivity information (so we treat edges as undirected for search).
    adj = defaultdict(list)
    for u, v in edges:
        adj[u].append(v)
        adj[v].append(u)

    # -------------------------------------------------------------
    # (3) Initialize the quantum circuit and BFS state
    # -------------------------------------------------------------
    n = backend.configuration().num_qubits
    qc = QuantumCircuit(
        n
    )  # create a circuit with same number of qubits as hardware
    visited = [
        root
    ]  # record the order qubits are added to the GHZ chain/tree
    queue = deque([root])  # BFS queue (start from root)
    explored = defaultdict(
        set
    )  # to track which neighbors each node has already explored
    layers = []  # list of per-layer (control, target) gate tuples
    qc.h(root)  # GHZ states start with a Hadamard on the root qubit

    # -------------------------------------------------------------
    # (4) BFS expansion: build the GHZ tree one layer at a time
    # -------------------------------------------------------------
    # Loop until we’ve added the desired number of qubits to the GHZ
    while queue and len(visited) < num_qubits:
        layer = []  # collect new (control, target) pairs for this layer
        current = list(
            queue
        )  # snapshot current frontier (so queue mutations don’t affect iteration)
        busy = (
            set()
        )  # track qubits already used in this layer (to avoid conflicts)

        for node in current:
            queue.popleft()

            # find one unvisited neighbor of this node not already explored
            unvisited_neighbors = [
                nb
                for nb in adj[node]
                if nb not in visited and nb not in explored[node]
            ]

            if unvisited_neighbors:
                nb = unvisited_neighbors[
                    0
                ]  # pick the first available neighbor
                visited.append(nb)  # mark it as part of the GHZ structure
                queue.append(
                    node
                )  # re-enqueue current node (can keep growing)
                queue.append(nb)  # enqueue the newly added qubit
                explored[node].add(nb)  # mark that edge as explored
                layer.append(
                    (node, nb)
                )  # schedule a CNOT between node and neighbor
                busy.update([node, nb])  # reserve both qubits for this layer

                # stop early if we've reached the desired number of qubits
                if len(visited) == num_qubits:
                    break
            # else: node has no unused unvisited neighbors left → skip

        if layer:
            # add all pairs (node, nb) scheduled this round to layers
            layers.append(layer)
        else:
            # nothing new discovered this pass → done
            break

    # -------------------------------------------------------------
    # (5) Emit all layers into the quantum circuit
    # -------------------------------------------------------------
    # For each layer:
    #   - apply a CX gate for every (control, target) pair
    #   - insert a barrier so transpiler keeps layer structure
    for layer in layers:
        for q1, q2 in layer:
            qc.cx(q1, q2)
        qc.barrier()

    # -------------------------------------------------------------
    # (6) Return outputs
    # -------------------------------------------------------------
    # qc: the built quantum circuit
    # visited: order of qubits added
    # layers: list of parallelizable two-qubit operations per step
    return qc, visited, layers

אנחנו עכשיו מחפשים שוב ושוב את השורש הטוב ביותר, שממנו מעגל GHZ יוצא.

ROOT = None  # root for BFS search
GHZ_SIZE = 100  # number of (data) qubits in the GHZ state
SKIP = []  # nodes to intentionally skip so that we have a better chance for finding checks

# Search for the best root (yielding the shallowest GHZ)
if ROOT is None:
    best_root = -1
    base_depth = 100
    for root in range(backend.num_qubits):
        qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
            root, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP
        )
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
        if depth < base_depth:
            best_root = root
            base_depth = depth
    ROOT = best_root

אנחנו עכשיו בונים את מעגל GHZ החל מצומת ספציפי - כלומר, השורש הטוב ביותר - מחפשים את העומק הקצר ביותר באמצעות חיפוש רוחב-תחילה.

# Build a GHZ starting at the best root
qc, ghz_qubits, _ = parallel_ghz(
    ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, SKIP + bad_nodes
)
base_depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
base_count = qc.size(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)
print(f"base depth: {base_depth}, base count: {base_count}")
print(f"ROOT: {ROOT}")
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

base depth: 17, base count: 99
ROOT: 50

אנחנו צריכים שיקול אחד אחרון לפני הכנסת בדיקות תקפות. זה קשור למושג "כיסוי", שהוא מדד של כמה מהחוטים במעגל קוונטי בדיקה יכולה לכסות. עם כיסוי גבוה יותר, אנחנו יכולים לזהות שגיאות על חלק רחב יותר של המעגל. עם מדד זה, אנחנו יכולים לבחור בין הבדיקות התקפות עם הכיסוי הגבוה ביותר של המעגל. במילים אחרות, נשתמש בפונקציה weighted_coverage כדי לדרג בדיקות שונות עבור מעגל GHZ.

def weighted_coverage(layers, parities, w_idle=0.2, w_gate=0.8):
    """
    Compute weighted fraction (idle + gate) of wires that are
    covered by at least one parity to all active wires.
    """
    wires = active_wires(layers)  # defined below
    covered_by_any = {n_layer: set() for n_layer in range(len(layers))}
    for parity in parities:
        trace = z_trace_backward(layers, parity)  # defined below
        for n_layer, qs in trace.items():
            covered_by_any[n_layer] |= qs
    covered_weight = 0
    total_weight = 0
    for n_layer in range(len(layers)):
        idle = wires[n_layer]["idle"]
        gate = wires[n_layer]["gate"]
        total_weight += w_idle * len(idle) + w_gate * len(gate)
        covered_idle = covered_by_any[n_layer] & idle
        covered_gate = covered_by_any[n_layer] & gate
        covered_weight += w_idle * len(covered_idle) + w_gate * len(
            covered_gate
        )
    return covered_weight / total_weight if total_weight > 0 else 0

def active_wires(layers):
    """
    Returns per-layer dict with two sets:
    - 'idle': activated wires that are idle in this layer
    - 'gate': activated wires that are control/target of a CNOT at this layer
    """
    first_activation = {}
    for n_layer, layer in enumerate(layers):
        for c, t in layer:
            first_activation.setdefault(c, n_layer)
            first_activation.setdefault(t, n_layer)
    result = {}
    for n_layer in range(len(layers)):
        active = {
            q
            for q, n_layer0 in first_activation.items()
            if n_layer >= n_layer0
        }
        gate = {q for c, t in layers[n_layer] for q in (c, t)}
        idle = active - gate
        result[n_layer] = {"idle": idle, "gate": gate}
    return result

def z_trace_backward(layers, initial_Zs):
    """
    Backward propagate Zs with parity cancellation.
    Returns {layer: set of qubits with odd parity Z at that layer}.
    """
    wires = active_wires(layers)
    support = set(initial_Zs)
    trace = {}
    for n_layer in range(len(layers) - 1, -1, -1):
        active = wires[n_layer]["idle"] | wires[n_layer]["gate"]
        trace[n_layer] = support & active
        # propagate backwards
        new_support = set()
        for q in support:
            hit = False
            for c, t in layers[n_layer]:
                if q == t:  # Z on target: copy to control
                    new_support ^= {t, c}  # toggle both
                    hit = True
                    break
                elif q == c:  # Z on control: passes through
                    new_support ^= {c}
                    hit = True
                    break
            if not hit:  # unaffected
                new_support ^= {q}
        support = new_support
    return trace

אנחנו יכולים עכשיו להכניס בדיקות למעגל GHZ. מציאת בדיקות תקפות היא מאוד נוחה למצב GHZ, כי כל אופרטור Pauli $Z$ דו-qubit $Z_i Z_j$ שפועל על כל שני qubits $i,j$ של מעגל GHZ הוא תמיכה ולכן בדיקה תקפה.

שימו לב גם שהבדיקות במקרה הזה הן אופרטורים controlled-$Z$ שכנים לשערי Hadamard מצד שמאל וימין על ה-qubit העזר. זה מקביל לשער CNOT המופעל על ה-qubit העזר. הקוד למטה מכניס את הבדיקות למעגל.

# --- Tunables controlling the search space / scoring ---
MAX_SKIPS = 10  # at most how many qubits to skip (in addition to the bad ones and the ones forced to skip above)
SHUFFLES = 200  # how many times to try removing nodes for checks
MAX_DEPTH_INCREASE = 10  # how far from the base GHZ depth to go to include checks (increase this for more checks at expense of depth)

W_IDLE = 0.2  # weight of errors to consider during idle timesteps
W_GATE = 0.8  # weight of errors to consider during gates

# Remove random nodes from the GHZ and build from the root again to increase checks
degree_two_nodes = [
    i
    for i in ghz_qubits
    if all(n in ghz_qubits for n in coupling_map.neighbors(i))
    and len(coupling_map.neighbors(i)) >= 2
]

# --- Best-so-far tracking for the randomized search ---
num_checks = 0
best_covered_fraction = -1
best_qc = qc
best_checks = []
best_parities = []
best_layers = []

# Outer loop: vary how many GHZ nodes we try skipping (0..MAX_SKIPS-1)
for num_skips in range(MAX_SKIPS):
    # Inner loop: try SHUFFLES random choices of 'num_skips' nodes to skip
    for _ in range(SHUFFLES):
        # Construct the skip set:
        #   - pre-existing forced SKIP
        #   - plus a random sample of 'degree_two_nodes' of size 'num_skips'
        skip = SKIP + list(np.random.choice(degree_two_nodes, num_skips))

        # Rebuild the GHZ using the current skip set and bad_nodes
        qc, ghz_qubits, layers = parallel_ghz(
            ROOT, GHZ_SIZE, backend, bad_edges, skip + bad_nodes
        )

        # Measure circuit cost as 2-qubit-gate depth only
        depth = qc.depth(lambda x: x.operation.num_qubits == 2)

        # If we failed to reach the target GHZ size, discard this attempt
        if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
            continue

        # --- Build "checks" around the GHZ we just constructed ---
        # A check qubit is a non-GHZ, non-dead qubit that has ≥2 neighbors inside the GHZ
        # and all those incident edges are usable (i.e., not in bad_edges).
        checks = []
        parities = []
        for i in range(backend.num_qubits):
            neighbors = [
                n for n in coupling_map.neighbors(i) if n in ghz_qubits
            ]

            if (
                i not in ghz_qubits
                and i not in dead_qubits
                and len(neighbors) >= 2
                and not any(
                    [
                        [neighbor, i] in bad_edges
                        or [i, neighbor] in bad_edges
                        for neighbor in neighbors
                    ]
                )
            ):
                # Record this qubit as a check qubit
                checks.append(i)
                parities.append((neighbors[0], neighbors[1]))
                # Physically couple the check qubit 'i' to the two GHZ neighbors via CNOTs
                # (This is the actual "check" attachment in the circuit.)
                qc.cx(neighbors[0], i)
                qc.cx(neighbors[1], i)

        # Score this design using the weighted coverage metric over the GHZ build layers
        covered_fraction = weighted_coverage(
            layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
        )

        # Keep it only if:
        #   - coverage improves over the best so far, AND
        #   - the 2q depth budget isn't blown by more than MAX_DEPTH_INCREASE
        if (
            covered_fraction > best_covered_fraction
            and depth <= base_depth + MAX_DEPTH_INCREASE
        ):
            best_covered_fraction = covered_fraction
            best_qc = qc
            best_ghz_qubits = ghz_qubits
            best_checks = checks
            best_parities = parities
            best_layers = layers

אנחנו יכולים עכשיו להדפיס את ה-qubits המשמשים במעגל GHZ ואת ה-check qubits.

# --- After search, report the best design found ---
qc = best_qc
checks = best_checks
parities = best_parities
layers = best_layers
ghz_qubits = best_ghz_qubits
if len(ghz_qubits) != GHZ_SIZE:
    raise Exception("No GHZ found. Relax error thresholds.")

print(f"GHZ qubits: {ghz_qubits} {len(ghz_qubits)}")
print(f"Check qubits: {checks} {len(checks)}")

covered_fraction = weighted_coverage(
    layers=layers, parities=parities, w_idle=W_IDLE, w_gate=W_GATE
)
print(
    "Covered fraction (no idle): ",
    weighted_coverage(
        layers=layers, parities=parities, w_idle=0.0, w_gate=1.0
    ),
)

GHZ qubits: [50, 49, 51, 38, 52, 48, 58, 53, 47, 71, 39, 46, 70, 54, 33, 45, 72, 69, 55, 32, 37, 73, 68, 34, 31, 44, 25, 74, 78, 67, 18, 24, 79, 75, 89, 57, 11, 23, 93, 59, 88, 66, 10, 22, 92, 90, 87, 65, 12, 9, 21, 94, 91, 86, 77, 13, 8, 20, 95, 98, 97, 14, 7, 36, 99, 111, 107, 15, 6, 41, 115, 110, 106, 19, 17, 5, 40, 114, 109, 108, 105, 27, 4, 42, 118, 104, 28, 3, 129, 117, 103, 29, 2, 128, 125, 96, 30, 127, 124, 102] 100
Check qubits: [16, 26, 35, 43, 85, 126] 6
Covered fraction (no idle):  0.4595959595959596

אנחנו יכולים גם להדפיס כמה סטטיסטיקות שגיאה.

def circuit_errors(target, circ, error_type="cz"):
    """
    Pull per-resource error numbers from a Qiskit Target
    for ONLY the qubits/edges actually used by `circ`.

    Args:
        target: qiskit.transpiler.Target (e.g., backend.target)
        circ:   qiskit.QuantumCircuit
        error_type: one of {"cz", "meas", "t1", "t2"}:
            - "cz"   -> 2q CZ gate error on the circuit's used edges
            - "meas" -> measurement error on the circuit's used qubits
            - "t1"   -> T1 (converted to microseconds) on used qubits
            - "t2"   -> T2 (converted to microseconds) on used qubits

    Returns:
        list[float] of the requested quantity for the active edges/qubits.
    """

    # Get all 2-qubit edges that appear in the circuit (as undirected pairs).
    active_edges = active_gates(circ)  # e.g., {(0,1), (2,3), ...}

    # Intersect those with the device coupling map (so we only query valid edges).
    # Note: target.build_coupling_map().get_edges() yields directed pairs.
    edges = [
        edge
        for edge in target.build_coupling_map().get_edges()
        if tuple(sorted(edge)) in active_edges
    ]

    # Deduplicate direction: keep only one orientation of each edge.
    undirected_edges = []
    for edge in edges:
        if (edge[1], edge[0]) not in undirected_edges:
            undirected_edges.append(edge)
    edges = undirected_edges  # (not used later—see note below)

    # Accumulators for different error/physics quantities
    cz_errors, meas_errors, t1_errors, t2_errors = [], [], [], []

    # For every active (undirected) edge in the circuit, fetch its CZ error.
    # NOTE: Uses active_gates(circ) again (undirected tuples). This assumes
    # `target['cz']` accepts undirected indexing; many Targets store both directions.
    for edge in active_gates(circ):
        cz_errors.append(target["cz"][edge].error)

    # For every active qubit, fetch measure error and T1/T2 (converted to µs).
    for qubit in active_qubits(circ):
        meas_errors.append(target["measure"][(qubit,)].error)
        t1_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t1 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds
        t2_errors.append(
            target.qubit_properties[qubit].t2 * 1e6
        )  # seconds -> microseconds

    # Select which set to return.
    if error_type == "cz":
        return cz_errors
    elif error_type == "meas":
        return meas_errors
    elif error_type == "t1":
        return t1_errors
    else:
        return t2_errors

def active_qubits(circ):
    """
    Return a list of qubit indices that participate in at least one
    non-delay, non-barrier instruction in `circ`.
    """
    active_qubits = set()
    for inst in circ.data:
        # Skip scheduling artifacts that don’t act on state
        if (
            inst.operation.name != "delay"
            and inst.operation.name != "barrier"
        ):
            for qubit in inst.qubits:
                q = circ.find_bit(
                    qubit
                ).index  # map Qubit object -> integer index
                active_qubits.add(q)
    return list(active_qubits)

def active_gates(circ):
    """
    Return a set of undirected 2-qubit edges (i, j) that appear in `circ`.
    """
    used_2q_gates = set()
    for inst in circ:
        if inst.operation.num_qubits == 2:
            qs = inst.qubits
            # map Qubit objects -> indices, then sort to make the edge undirected
            qs = sorted([circ.find_bit(q).index for q in qs])
            used_2q_gates.add(tuple(sorted(qs)))
    return used_2q_gates

# ---- Print summary statistics ----
cz_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="cz")
meas_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="meas")
t1_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t1")
t2_errors = circuit_errors(backend.target, qc, error_type="t2")

np.set_printoptions(linewidth=np.inf)
print(
    f"cz errors: \n mean: {np.round(np.mean(cz_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(cz_errors), 3)}"
)
print(
    f"meas errors: \n mean: {np.round(np.mean(meas_errors), 3)}, max: {np.round(np.max(meas_errors), 3)}"
)
print(
    f"t1 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t1_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t1_errors), 1)}"
)
print(
    f"t2 errors: \n mean: {np.round(np.mean(t2_errors), 1)}, min: {np.round(np.min(t2_errors), 1)}"
)

cz errors:
 mean: 0.002, max: 0.012
meas errors:
 mean: 0.014, max: 0.121
t1 errors:
 mean: 267.9, min: 23.6
t2 errors:
 mean: 155.9, min: 13.9

כפי שקרה קודם, אנחנו יכולים לדמות את המעגל תחילה בהעדר רעש כדי להבטיח נכונות של מעגל הכנת מצב GHZ.

# --- Simulate to ensure correctness ---

qc_meas = qc.copy()

# Add measurements to the GHZ qubits
c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
qc_meas.add_register(c1)
for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
    qc_meas.measure(q, c)

# Add measurements to the check qubits
if len(checks) > 0:
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc_meas.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc_meas.measure(q, c)

# Simulate the circuit with stabilizer method
sim_stab = AerSimulator(method="stabilizer")
res = sim_stab.run(qc_meas, shots=1000).result()
counts = res.get_counts()
print("Stabilizer simulation result:")
print(counts)

# Rename keys to "0 0" and "0 1" for easier plotting
# First len(checks) bits are check bits, rest are GHZ bits
keys = list(counts.keys())
for key in keys:
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[(len(checks) + 1) :]
    if set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"0"}:
        counts["0 0"] = counts.pop(key)
    elif set(check_bits) == {"0"} and set(ghz_bits) == {"1"}:
        counts["0 1"] = counts.pop(key)
    else:
        continue

plot_histogram(counts)

Stabilizer simulation result:
{'000000 1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111': 525, '000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000': 475}

כפי שצפוי, ה-check qubits נמדדים כולם כאפסים, והכנו בהצלחה את מצב GHZ.

שלב 3: ביצוע באמצעות Primitives של Qiskit

עכשיו אנחנו מוכנים להריץ את המעגל על חומרה אמיתית ולהדגים איך פרוטוקול גילוי השגיאות יכול לתפוס שגיאות בהכנת מצב GHZ.

BAD_QUBITS = []  # specify any additional bad qubits to avoid (this is specific to the chosen backend)
SHOTS = 10000  # number of shots

אנחנו מגדירים פונקציית עזר להוספת מדידות למעגל GHZ.

def add_measurements(qc, ghz_qubits, checks):
    # --- Measure each set of qubits into different classical registers to facilitate post-processing ---

    # Add measurements to the GHZ qubits
    c1 = ClassicalRegister(len(ghz_qubits), "c1")
    qc.add_register(c1)
    for q, c in zip(ghz_qubits, c1):
        qc.measure(q, c)

    # Add measurements to the check qubits
    c2 = ClassicalRegister(len(checks), "c2")
    qc.add_register(c2)
    for q, c in zip(checks, c2):
        qc.measure(q, c)

    return qc

לפני הביצוע, אנחנו מצייר את הפריסה של qubits GHZ ו-check qubits על החומרה שנבחרה.

# Plot the layout of GHZ and check qubits on the device
plot_gate_map(
    backend,
    label_qubits=True,
    line_width=20,
    line_color=[
        "black"
        if edge[0] in ghz_qubits + checks and edge[1] in ghz_qubits + checks
        else "lightgrey"
        for edge in backend.coupling_map.graph.edge_list()
    ],
    qubit_color=[
        "blue"
        if i in ghz_qubits
        else "salmon"
        if i in checks
        else "lightgrey"
        for i in range(0, backend.num_qubits)
    ],
)
plt.show()

qc.draw("mpl", idle_wires=False, fold=-1)

אנחנו מוסיפים עכשיו את המדידות.

qc = add_measurements(qc, ghz_qubits, checks)

צינור התזמון למטה נועל את התזמון, מסיר מחסומים, מפשט עיכובים, ומזריק ניתוק דינמי, כל זאת תוך שמירה על זמני הפעולה המקוריים.

# The scheduling consists of first inserting delays while barriers are still there
# Then removing the barriers and consolidating the delays, so that the operations do not move in time
# Lastly we replace delays with dynamical decoupling
collect_function = partial(
    collect_using_filter_function,
    filter_function=(lambda node: node.op.name == "delay"),
    split_blocks=True,
    min_block_size=2,
    split_layers=False,
    collect_from_back=False,
    max_block_width=None,
)

collapse_function = partial(
    collapse_to_operation,
    collapse_function=(
        lambda circ: Delay(sum(inst.operation.duration for inst in circ))
    ),
)

class Unschedule(AnalysisPass):
    """Removes a property from the passmanager property set so that the circuit looks unscheduled, so we can schedule it again."""

    def run(self, dag):
        del self.property_set["node_start_time"]

def build_passmanager(backend, dd_qubits=None):
    pm = generate_preset_pass_manager(
        target=backend.target,
        layout_method="trivial",
        optimization_level=2,
        routing_method="none",
    )

    pm.scheduling = PassManager(
        [
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDelay(target=backend.target),
            RemoveBarriers(),
            Unschedule(),
            CollectAndCollapse(
                collect_function=collect_function,
                collapse_function=collapse_function,
            ),
            ALAPScheduleAnalysis(target=backend.target),
            PadDynamicalDecoupling(
                dd_sequence=[XGate(), RZGate(-np.pi), XGate(), RZGate(np.pi)],
                spacing=[1 / 4, 1 / 2, 0, 0, 1 / 4],
                target=backend.target,
                qubits=dd_qubits,
            ),
        ]
    )

    return pm

אנחנו יכולים עכשיו להשתמש במנהל המעברים המותאם כדי לטרנספייל את המעגל ל-backend שנבחר.

# Transpile the circuits for the backend
pm = build_passmanager(backend, ghz_qubits)

# Instruction set architecture (ISA) level circuit after scheduling and DD insertion
isa_circuit = pm.run(qc)

# Draw after scheduling and DD insertion
# timeline_drawer(isa_circuit, show_idle=False, time_range=(0, 1000), target=backend.target)

isa_circuit.draw("mpl", fold=-1, idle_wires=False)

אנחנו אז שולחים את העבודה באמצעות ה-primitive Sampler של Qiskit Runtime.

# Select the sampler options
sampler = Sampler(mode=backend)
sampler.options.default_shots = SHOTS
sampler.options.dynamical_decoupling.enable = False
sampler.options.execution.rep_delay = 0.00025

# Submit the job
print("Submitting sampler job")
ghz_job = sampler.run([isa_circuit])

print(ghz_job.job_id())

d493f17nmdfs73abf9qg

שלב 4: עיבוד-לאחר והחזרת תוצאה בפורמט קלאסי רצוי

אנחנו יכולים עכשיו לאחזר ולנתח את התוצאות מעבודת ה-Sampler.

# Retrieve the job results
job_result = ghz_job.result()

# Get the counts from GHZ and check qubit measurements
ghz_counts = job_result[0].data.c1.get_counts()
checks_counts = job_result[0].data.c2.get_counts()

# Post-process to get unflagged GHZ counts (i.e., check bits are all '0')
joined_counts = job_result[0].join_data().get_counts()
unflagged_counts = {}
for key, count in joined_counts.items():
    check_bits = key[: len(checks)]
    ghz_bits = key[len(checks) :]
    if set(check_bits) == {"0"}:
        unflagged_counts[ghz_bits] = count

# Get top 20 outcomes by frequency from the unflagged counts
top_counts = dict(
    sorted(unflagged_counts.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)[:20]
)

# Rename keys for better visualization
top_counts_renamed = {}
i = 0
for key, count in top_counts.items():
    if set(key) == {"0"}:
        top_counts_renamed["all 0s"] = count
    elif set(key) == {"1"}:
        top_counts_renamed["all 1s"] = count
    else:
        top_counts_renamed[f"other_{i}"] = count
        i += 1

plot_histogram(top_counts_renamed, figsize=(12, 7))

בהיסטוגרמה למעלה, שרטטנו 20 מדידות מחרוזת-ביט מ-qubits GHZ שלא סומנו על ידי ה-check qubits. כפי שצפוי, מחרוזות-ביט של הכל-0 והכל-1 יש להן את הספירות הגבוהות ביותר. שימו לב שכמה מחרוזות-ביט שגויות עם משקלי שגיאה נמוכים לא נתפסו על ידי גילוי השגיאות. הספירות הגבוהות ביותר עדיין נמצאות במחרוזות-ביט הצפויות.

דיון

במדריך הזה, הראינו איך להטמיע טכניקת גילוי שגיאות עם עומס נמוך באמצעות קודי מרחב-זמן, והדגמנו את היישום שלה בעולם האמיתי להכנת מצבי GHZ על חומרה. עיינו ב-[3] כדי לחקור עוד פרטים טכניים של הכנת מצב GHZ. בנוסף לגילוי שגיאות, המחברים משתמשים בהפחתת שגיאות קריאה עם M3 ו-TREX ומבצעים טכניקות ביטול זמני כדי להכין מצבי GHZ עם נאמנות גבוהה.

מקורות

• [1] Martiel, S., & Javadi-Abhari, A. (2025). Low-overhead error detection with spacetime codes. arXiv preprint arXiv:2504.15725.
• [2] van den Berg, E., Bravyi, S., Gambetta, J. M., Jurcevic, P., Maslov, D., & Temme, K. (2023). Single-shot error mitigation by coherent Pauli checks. Physical Review Research, 5(3), 033193.
• [3] Javadi-Abhari, A., Martiel, S., Seif, A., Takita, M., & Wei, K. X. (2025). Big cats: entanglement in 120 qubits and beyond. arXiv preprint arXiv:2510.09520.