מכפלות פנימיות והטלות

כדי להכין את עצמנו טוב יותר לחקור את היכולות וגבולות ה-Circuit הקוונטיים, נציג עכשיו כמה מושגים מתמטיים נוספים — המכפלה הפנימית בין וקטורים (וקשרה לנורמה האוקלידית), מושגי האורתוגונליות והאורתונורמליות עבור קבוצות וקטורים, ומטריצות הטלה, שיאפשרו לנו להציג הכללה שימושית של מדידות בסיס סטנדרטיות.

מכפלות פנימיות

נזכיר שכאשר אנחנו משתמשים בסימון דיראק כדי להתייחס לוקטור עמודה שרירותי כ-ket, כמו

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

וקטור ה-bra המתאים הוא הטרנספוז המצומד של וקטור זה:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

לחלופין, אם יש לנו בחשבון קבוצת מצבים קלאסיים $\Sigma$ כלשהי, ואנחנו מבטאים וקטור עמודה כ-ket, כמו

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

אז וקטור השורה המתאים (ה-bra) הוא הטרנספוז המצומד

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

יש לנו גם שמכפלת וקטור bra עם וקטור ket, כאשר רואים אותם כמטריצות עם שורה יחידה או עמודה יחידה, מניבה סקלר. ספציפית, אם יש לנו שני וקטורי עמודה

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

כך שוקטור השורה $\langle \psi \vert$ הוא כבמשוואה $(1),$ אז

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

לחלופין, אם יש לנו שני וקטורי עמודה שכתבנו אותם כ:

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

כך ש-$\langle \psi \vert$ הוא וקטור השורה $(2),$ נמצא ש:

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

כאשר השוויון האחרון נובע מהתצפית ש-$\langle a \vert a \rangle = 1$ ו-$\langle a \vert b \rangle = 0$ עבור מצבים קלאסיים $a$ ו-$b$ המקיימים $a\neq b.$

הערך $\langle \psi \vert \phi \rangle$ נקרא המכפלה הפנימית בין הוקטורים $\vert \psi\rangle$ ו-$\vert \phi \rangle.$ המכפלות הפנימיות הן בעלות חשיבות קריטית במידע ובחישוב הקוונטי; לא היינו מתקדמים הרבה בהבנת מידע קוונטי ברמה מתמטית בלעדיהן.

בואו נאסוף עכשיו כמה עובדות בסיסיות על מכפלות פנימיות של וקטורים.

1. קשר לנורמה האוקלידית. המכפלה הפנימית של כל וקטור

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   עם עצמו היא

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   לפיכך, הנורמה האוקלידית של וקטור ניתנת לביטוי לחלופין כ:

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   שימו לב שהנורמה האוקלידית של וקטור חייבת תמיד להיות מספר ממשי לא-שלילי. יתר על כן, הדרך היחידה שבה הנורמה האוקלידית של וקטור יכולה להיות שווה לאפס היא אם כל אחד מהרכיבים שווה לאפס, כלומר הוקטור הוא וקטור האפס.

   אנחנו יכולים לסכם תצפיות אלה כך: עבור כל וקטור $\vert \psi \rangle$ מתקיים

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   כאשר $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ אם ורק אם $\vert \psi \rangle = 0.$ תכונה זו של המכפלה הפנימית נקראת לעיתים חיוביות מוחלטת.

2. סימטריה מצומדת. עבור כל שני וקטורים

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   מתקיים

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   ולכן

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. לינאריות בארגומנט השני (ולינאריות מצומדת בראשון). נניח ש-$\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ ו-$\vert \phi_2 \rangle$ הם וקטורים ו-$\alpha_1$ ו-$\alpha_2$ הם מספרים מרוכבים. אם נגדיר וקטור חדש

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   אז

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   כלומר, המכפלה הפנימית היא לינארית בארגומנט השני. ניתן לאמת זאת דרך הנוסחאות שלמעלה, או פשוט על ידי הבחנה שכפל מטריצות לינארי בכל ארגומנט (ובמיוחד בארגומנט השני).

   שילוב עובדה זו עם סימטריה מצומדת מראה שהמכפלה הפנימית היא לינארית מצומדת בארגומנט הראשון. כלומר, אם $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ ו-$\vert \phi \rangle$ הם וקטורים ו-$\alpha_1$ ו-$\alpha_2$ הם מספרים מרוכבים, ואנחנו מגדירים

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   אז

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. אי-שוויון קושי–שוורץ. עבור כל בחירה של וקטורים $\vert \phi \rangle$ ו-$\vert \psi \rangle$ בעלי אותו מספר רכיבים, מתקיים

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   זהו אי-שוויון שימושי להפליא שמשמש רבות במידע קוונטי (ובתחומי לימוד רבים אחרים).

קבוצות אורתוגונליות ואורתונורמליות

שני וקטורים $\vert \phi \rangle$ ו-$\vert \psi \rangle$ נקראים אורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם היא אפס:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

גיאומטרית, אנחנו יכולים לחשוב על וקטורים אורתוגונליים כוקטורים בזווית ישרה זה לזה.

קבוצת וקטורים $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ נקראת קבוצה אורתוגונלית אם כל וקטור בקבוצה אורתוגונלי לכל וקטור אחר בקבוצה. כלומר, קבוצה זו היא אורתוגונלית אם

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

לכל בחירת $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ שעבורה $j\neq k.$

קבוצת וקטורים $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ נקראת אורתונורמלית אם היא קבוצה אורתוגונלית ובנוסף, כל וקטור בקבוצה הוא וקטור יחידה. לחלופין, קבוצה זו היא אורתונורמלית אם מתקיים

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

לכל בחירת $j,k\in\{1,\ldots,m\}.$

לבסוף, קבוצה $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ היא בסיס אורתונורמלי אם, בנוסף להיותה קבוצה אורתונורמלית, היא מהווה בסיס. זה שקול לכך ש-$\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ היא קבוצה אורתונורמלית ו-$m$ שווה לממד המרחב שממנו נלקחים $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$

לדוגמה, עבור כל קבוצת מצבים קלאסיים $\Sigma,$ קבוצת כל וקטורי הבסיס הסטנדרטי

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

היא בסיס אורתונורמלי. הקבוצה $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ היא בסיס אורתונורמלי עבור המרחב הדו-ממדי המתאים ל-Qubit בודד, ובסיס בל $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי עבור המרחב הארבע-ממדי המתאים לשני Qubitים.

הרחבת קבוצות אורתונורמליות לבסיסים אורתונורמליים

נניח ש-$\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ הם וקטורים שחיים במרחב $n$-ממדי, ונניח בנוסף ש-$\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ היא קבוצה אורתונורמלית. קבוצות אורתונורמליות הן תמיד קבוצות בלתי-תלויות לינארית, אז וקטורים אלה פורשים בהכרח תת-מרחב ממד $m.$ מכך אנחנו מסיקים ש-$m\leq n$ כי ממד תת-המרחב שפרוש על ידי וקטורים אלה לא יכול להיות גדול מממד המרחב השלם שממנו הם נלקחים.

אם מתקיים $m<n,$ אז תמיד אפשר לבחור $n-m$ וקטורים נוספים $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ כך ש- $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ יהווה בסיס אורתונורמלי. ניתן להשתמש בהליך הידוע כתהליך אורתוגונליזציה של גראם–שמידט כדי לבנות וקטורים אלה.

קבוצות אורתונורמליות ומטריצות אוניטריות

קבוצות אורתונורמליות של וקטורים קשורות קשר הדוק למטריצות אוניטריות. דרך אחת לבטא קשר זה היא לומר ששלושת הטענות הבאות הן שקולות לוגית (כלומר, כולן אמיתיות או כולן שקריות) לכל בחירת מטריצה ריבועית $U$:

1. המטריצה $U$ היא אוניטרית (כלומר, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. השורות של $U$ מהוות קבוצה אורתונורמלית.
3. העמודות של $U$ מהוות קבוצה אורתונורמלית.

שקילות זו היא למעשה די ישירה כשחושבים על אופן פעולת כפל המטריצות והטרנספוז המצומד. נניח, לדוגמה, שיש לנו מטריצה $3\times 3$ כזאת:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

הטרנספוז המצומד של $U$ נראה כך:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

כפל שתי המטריצות, כאשר הטרנספוז המצומד נמצא בצד שמאל, נותן לנו את המטריצה הזאת:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

אם ניצור שלושה וקטורים מעמודות $U,$

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

אז אנחנו יכולים לבטא את המכפלה שלמעלה לחלופין כך:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

בהתייחס למשוואה $(3),$ אנחנו רואים עכשיו שהתנאי שמטריצה זו שווה למטריצת הזהות שקול לאורתונורמליות של הקבוצה $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}.$

טיעון זה מכליל למטריצות אוניטריות בכל גודל. העובדה ששורות מטריצה מהוות בסיס אורתונורמלי אם ורק אם המטריצה היא אוניטרית נובעת מהעובדה שמטריצה היא אוניטרית אם ורק אם הטרנספוז שלה הוא אוניטרי.

בהינתן השקילות שתוארה לעיל, יחד עם העובדה שכל קבוצה אורתונורמלית ניתנת להרחבה לבסיס אורתונורמלי, אנחנו מסיקים את העובדה השימושית הבאה: בהינתן כל קבוצה אורתונורמלית של וקטורים $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ הנלקחים ממרחב $n$-ממדי, קיימת מטריצה אוניטרית $U$ שה-$m$ עמודות הראשונות שלה הן הוקטורים $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$ ציורית, תמיד אפשר למצוא מטריצה אוניטרית בצורה הזאת:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

כאן, ה-$n-m$ עמודות האחרונות מולאו בכל בחירת וקטורים $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ שהופכים את $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ לבסיס אורתונורמלי.

הטלות ומדידות הטלתיות

מטריצות הטלה

מטריצה ריבועית $\Pi$ נקראת הטלה אם היא מקיימת שני תנאים:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

מטריצות המקיימות את התנאי הראשון — כלומר, שוות לטרנספוז הצמוד שלהן — נקראות מטריצות הרמיטיות, ומטריצות המקיימות את התנאי השני — כלומר, שריבוען אינו משנה אותן — נקראות מטריצות אידמפוטנטיות.

כהערת זהירות, המילה הטלה משמשת לפעמים לתיאור מטריצה המקיימת רק את התנאי השני ולא בהכרח את הראשון, ובהקשר זה נוהגים להשתמש במונח הטלה אורתוגונלית למטריצות המקיימות את שני התנאים יחד. בהקשר של אינפורמציה ומחשוב קוונטי, לעומת זאת, המונחים הטלה ומטריצת הטלה מתייחסים בדרך כלל למטריצות המקיימות את שני התנאים.

דוגמה להטלה היא המטריצה

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

עבור כל וקטור יחידה $\vert \psi\rangle.$ נוכל לוודא שמטריצה זו הרמיטית:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

כאן, כדי לקבל את השוויון השני, השתמשנו בנוסחה

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

שנכונה תמיד, עבור כל שתי מטריצות $A$ ו-$B$ שמכפלתן $AB$ מוגדרת.

כדי לראות שהמטריצה $\Pi$ ב-$(4)$ היא אידמפוטנטית, נשתמש בהנחה ש-$\vert\psi\rangle$ הוא וקטור יחידה, כלומר $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1.$ לכן:

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

באופן כללי יותר, אם $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ הוא קבוצה אורתונורמלית כלשהי של וקטורים, אז המטריצה

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

היא הטלה. בפרט, מתקיים:

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

וכן:

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

כאשר האורתונורמליות של $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ מבטיחה את השוויון לפני האחרון.

למעשה, זה ממצה את כל האפשרויות: כל הטלה $\Pi$ ניתנת לכתיבה בצורה $(5)$ עבור בחירה כלשהי של קבוצה אורתונורמלית $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}.$ (מבחינה טכנית, מטריצת האפס $\Pi=0,$ שהיא הטלה, היא מקרה מיוחד. כדי להכניס אותה לצורה הכללית $(5)$ עלינו לאפשר שהסכום ריק, מה שנותן את מטריצת האפס.)

מדידות הטלתיות

מושג המדידה של מערכת קוונטית הוא כללי יותר ממדידות בסיס רגיל. מדידות הטלתיות הן מדידות המתוארות על ידי אוסף של הטלות שסכומן שווה למטריצת הזהות. בסמלים, אוסף $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ של מטריצות הטלה מתאר מדידה הטלתית אם:

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

כאשר מדידה כזו מתבצעת על מערכת $\mathsf{X}$ שנמצאת במצב $\vert\psi\rangle,$ קורים שני דברים:

1. עבור כל $k\in\{0,\ldots,m-1\},$ תוצאת המדידה היא $k$ עם הסתברות השווה ל:

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. לאיזו תוצאה $k$ שהמדידה תיתן, המצב של $\mathsf{X}$ הופך ל:

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

אפשר גם לבחור תוצאות שאינן $\{0,\ldots,m-1\}$ עבור מדידות הטלתיות אם רוצים. באופן כללי יותר, עבור כל קבוצה סופית ולא ריקה $\Sigma,$ אם יש לנו אוסף של מטריצות הטלה

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

המקיים את התנאי

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

אז האוסף הזה מתאר מדידה הטלתית שתוצאותיה האפשריות הן בדיוק הקבוצה $\Sigma,$ כאשר הכללים זהים לקודמים:

1. עבור כל $a\in\Sigma,$ תוצאת המדידה היא $a$ עם הסתברות השווה ל:

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. לאיזו תוצאה $a$ שהמדידה תיתן, המצב של $\mathsf{X}$ הופך ל:

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

למשל, מדידות בסיס רגיל שקולות למדידות הטלתיות, שבהן $\Sigma$ היא קבוצת המצבים הקלאסיים של המערכת $\mathsf{X}$ שאנחנו מדברים עליה ואוסף מטריצות ההטלה הוא $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}.$

דוגמה נוספת למדידה הטלתית, הפעם על שני Qubits $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ניתנת על ידי הקבוצה $\{\Pi_0,\Pi_1\},$ כאשר:

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

אם יש לנו מספר מערכות שנמצאות יחד במצב קוונטי כלשהו ומדידה הטלתית מתבצעת על אחת מהן בלבד, הפעולה דומה למה שהיה לנו במדידות בסיס רגיל — ועכשיו אנחנו יכולים לתאר פעולה זו בצורה פשוטה הרבה יותר ממה שיכולנו קודם.

כדי לדייק, נניח שיש לנו שתי מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ במצב קוונטי $\vert\psi\rangle,$ ומדידה הטלתית המתוארת על ידי האוסף $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ מתבצעת על המערכת $\mathsf{X},$ בעוד שלא נעשה כלום ל-$\mathsf{Y}.$ פעולה זו שקולה לביצוע המדידה ההטלתית המתוארת על ידי האוסף

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

על המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ כל תוצאת מדידה $a$ מתקבלת עם הסתברות

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

ובהינתן שהתוצאה $a$ הופיעה, המצב של המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הופך ל:

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

מימוש מדידות הטלתיות

מדידות הטלתיות שרירותיות ניתן למממש באמצעות פעולות יוניטריות, מדידות בסיס רגיל, ומערכת סביבת עבודה נוספת, כפי שיוסבר כעת.

נניח ש-$\mathsf{X}$ היא מערכת ו-$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ היא מדידה הטלתית על $\mathsf{X}.$ אפשר להכליל דיון זה בקלות למדידות הטלתיות עם קבוצות תוצאות שונות, אך לשם נוחות ופשטות נניח שקבוצת התוצאות האפשריות של המדידה שלנו היא $\{0,\ldots,m-1\}.$

נציין במפורש ש-$m$ אינה בהכרח שווה למספר המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}$ — נסמן ב-$n$ את מספר המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X},$ כלומר כל מטריצה $\Pi_k$ היא מטריצת הטלה מסדר $n\times n.$

מכיוון שאנחנו מניחים ש-$\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ מייצגת מדידה הטלתית, בהכרח מתקיים:

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

המטרה שלנו היא לבצע תהליך שמשיג את אותו אפקט כמו ביצוע מדידה הטלתית זו על $\mathsf{X},$ אך רק באמצעות פעולות יוניטריות ומדידות בסיס רגיל.

נשתמש במערכת סביבת עבודה נוספת $\mathsf{Y}$ לצורך כך, ובפרט נקבע שקבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{Y}$ תהיה $\{0,\ldots,m-1\},$ זהה לקבוצת התוצאות של המדידה ההטלתית. הרעיון הוא שנבצע מדידת בסיס רגיל על $\mathsf{Y},$ ונפרש את תוצאת המדידה כשקולה לתוצאת המדידה ההטלתית על $\mathsf{X}.$ נניח ש-$\mathsf{Y}$ מאותחל למצב קבוע כלשהו, שנבחר להיות $\vert 0\rangle.$ (כל בחירה אחרת של וקטור מצב קוונטי קבוע יכולה לעבוד, אך בחירת $\vert 0\rangle$ מפשטת מאוד את ההסבר שיבוא.)

כמובן, כדי שמדידת בסיס רגיל של $\mathsf{Y}$ תאמר לנו משהו על $\mathsf{X},$ עלינו לאפשר ל-$\mathsf{X}$ ול-$\mathsf{Y}$ לקיים אינטראקציה לפני מדידת $\mathsf{Y},$ על ידי ביצוע פעולה יוניטרית על המערכת $(\mathsf{Y},\mathsf{X}).$ נתחיל בשקילת המטריצה הבאה:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

כמטריצת בלוקים — כלומר מטריצה של מטריצות שמפרשים אותה כמטריצה אחת גדולה — $M$ נראית כך:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

כאן, כל $0$ מייצג מטריצת $n\times n$ מלאה באפסים, כך שהמטריצה כולה $M$ היא מטריצה מסדר $nm\times nm.$

כעת, $M$ בוודאי אינה מטריצה יוניטרית (אלא אם $m=1,$ במקרה זה $\Pi_0 = \mathbb{I},$ ומתקבל $M = \mathbb{I}$ במקרה הטריוויאלי הזה) — כי למטריצות יוניטריות לא יכולות להיות עמודות (או שורות) של אפסים כולן; עמודות של מטריצות יוניטריות יוצרות בסיסים אורתונורמליים, והוקטור האפס אינו וקטור יחידה.

אולם, $n$ העמודות הראשונות של $M$ הן אורתונורמליות, וזה נובע מהנחתנו ש-$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ היא מדידה. לאמת טענה זו, שים לב שעבור כל $j\in\{0,\ldots,n-1\},$ הוקטור המורכב מעמודה מספר $j$ של $M$ הוא:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

שים לב שממספרים את העמודות החל מעמודה $0.$ נחשב את המכפלה הפנימית של עמודה $i$ עם עמודה $j$ כאשר $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$:

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

וזה מה שרצינו להוכיח.

לכן, מאחר ש-$n$ העמודות הראשונות של $M$ הן אורתונורמליות, אפשר להחליף את שאר ערכי האפס בערכי מספרים מרוכבים שונים כך שהמטריצה כולה תהיה יוניטרית.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

אם נתונות לנו המטריצות $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1},$ נוכל לחשב מטריצות מתאימות למילוי הבלוקים המסומנים ב-$\fbox{?}$ בנוסחה — באמצעות תהליך גראם-שמידט — אך אין חשיבות לאיזו מטריצות בדיוק בחרנו לצורך הדיון הנוכחי.

לבסוף, נוכל לתאר את תהליך המדידה: נבצע תחילה את $U$ על המערכת המשותפת $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ואז נמדוד את $\mathsf{Y}$ במדידת בסיס רגיל. עבור מצב שרירותי $\vert \phi \rangle$ של $\mathsf{X},$ מתקבל המצב:

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

כאשר השוויון הראשון נובע מהעובדה ש-$U$ ו-$M$ מסכימות על $n$ העמודות הראשונות שלהן. כאשר מבצעים מדידה הטלתית על $\mathsf{Y},$ מקבלים כל תוצאה $k$ עם הסתברות

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

ובמקרה זה המצב של $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ הופך ל:

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$