מידע קוונטי

עכשיו אנחנו מוכנים לעבור למידע קוונטי, שבו אנחנו בוחרים סוג שונה של וקטור שמייצג מצב — במקרה זה מצב קוונטי — של המערכת הנדונה. כמו בדיון הקודם על מידע קלאסי, נעסוק במערכות שיש להן קבוצות סופיות ולא-ריקות של מצבים קלאסיים, ונשתמש ברוב אותם הסימונים.

וקטורי מצב קוונטי

מצב קוונטי של מערכת מיוצג על ידי וקטור עמודה, בדומה למצב הסתברותי. כמו קודם, האינדקסים של הוקטור מסמנים את המצבים הקלאסיים של המערכת. וקטורים המייצגים מצבים קוונטיים מאופיינים בשתי תכונות אלה:

1. הכניסות בוקטור מצב קוונטי הן מספרים מרוכבים.
2. סכום הערכים המוחלטים בריבוע של הכניסות בוקטור מצב קוונטי הוא $1.$

לפיכך, בניגוד למצבים הסתברותיים, וקטורים המייצגים מצבים קוונטיים אינם חייבים לכלול כניסות שהן מספרים ממשיים אי-שליליים, וסכום הערכים המוחלטים בריבוע של הכניסות (ולא סכום הכניסות עצמן) הוא שחייב להיות שווה ל-$1.$ כמה שהשינויים האלה פשוטים, הם הם שמולידים את ההבדלים בין מידע קוונטי לקלאסי; כל יתרון מחשוב של מחשב קוונטי, או שיפור בפרוטוקול תקשורת קוונטי, נובע בסופו של דבר משינויים מתמטיים פשוטים אלה.

הנורמה האוקלידית של וקטור עמודה

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

מסומנת ומוגדרת כך:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

התנאי שסכום הערכים המוחלטים בריבוע של וקטור מצב קוונטי שווה ל-$1$ שקול לכך שהנורמה האוקלידית של אותו וקטור שווה ל-$1.$ כלומר, וקטורי מצב קוונטי הם וקטורים יחידתיים ביחס לנורמה האוקלידית.

דוגמאות למצבי qubit

המונח qubit מתייחס למערכת קוונטית שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\{0,1\}.$ כלומר, qubit הוא בעצם רק סיבית — אך בשימוש בשם זה אנחנו מכירים במפורש בכך שהסיבית יכולה להיות במצב קוונטי.

אלה דוגמאות למצבים קוונטיים של qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

ו-

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

שתי הדוגמאות הראשונות, $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle,$ ממחישות שאיברי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורי מצב קוונטי חוקיים: כניסותיהם הן מספרים מרוכבים, שבהם החלק המדומה מתאים להיות $0,$ וחישוב סכום הערכים המוחלטים בריבוע של הכניסות נותן

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

כנדרש. כמו בהגדרה הקלאסית, אנחנו משייכים את וקטורי המצב הקוונטי $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle$ ל-Qubit שנמצא במצב הקלאסי $0$ ו-$1$, בהתאמה.

לגבי שתי הדוגמאות האחרות, גם כאן הכניסות הן מספרים מרוכבים, וחישוב סכום הערכים המוחלטים בריבוע של הכניסות נותן

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

ו-

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

אלה, אם כן, וקטורי מצב קוונטי חוקיים. שים לב שהם צירופים לינאריים של מצבי הבסיס הסטנדרטי $\vert 0 \rangle$ ו-$\vert 1 \rangle$, ומסיבה זו אנחנו אומרים לעתים קרובות שהם סופרפוזיציות של המצבים $0$ ו-$1.$ בהקשר של מצבים קוונטיים, סופרפוזיציה וצירוף לינארי הם בעצם מילים נרדפות.

הדוגמה $(1)$ של וקטור מצב qubit לעיל נפוצה מאוד — היא נקראת המצב פלוס ומסומנת כך:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

אנחנו גם משתמשים בסימון

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

כדי להתייחס לוקטור מצב קוונטי קרוב שבו הכניסה השנייה שלילית ולא חיובית, ואנחנו קוראים למצב זה המצב מינוס.

סוג זה של סימון, שבו מופיע בתוך ה-ket סמל שאינו מתייחס למצב קלאסי, הוא נפוץ — אנחנו יכולים להשתמש בכל שם שנרצה בתוך ה-ket כדי לתת שם לוקטור. נפוץ מאוד להשתמש בסימון $\vert\psi\rangle$, או בשם אחר במקום $\psi$, כדי להתייחס לוקטור שרירותי שאינו בהכרח וקטור בסיס סטנדרטי.

שים לב שאם יש לנו וקטור $\vert \psi \rangle$ שאינדקסיו מתאימים לקבוצת מצבים קלאסיים $\Sigma$, ואם $a\in\Sigma$ הוא איבר של קבוצת המצבים הקלאסיים הזו, אז מכפלת המטריצה $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ שווה לכניסה בוקטור $\vert \psi \rangle$ שהאינדקס שלה מתאים ל-$a.$ כפי שעשינו כאשר $\vert \psi \rangle$ היה וקטור בסיס סטנדרטי, אנחנו כותבים $\langle a \vert \psi \rangle$ במקום $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ לשם קריאות.

לדוגמה, אם $\Sigma = \{0,1\}$ ו-

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

אז

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

באופן כללי, כאשר משתמשים בסימון דיראק לוקטורים שרירותיים, הסימון $\langle \psi \vert$ מתייחס לוקטור שורה המתקבל על ידי לקיחת הטרנספוז הצמוד של וקטור העמודה $\vert\psi\rangle$, שבו הוקטור מוחלף מוקטור עמודה לוקטור שורה וכל כניסה מוחלפת במצומדת המרוכבת שלה. לדוגמה, אם $\vert\psi\rangle$ הוא הוקטור המוגדר ב-$(2)$, אז

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

הסיבה שאנחנו לוקחים את הצמוד המרוכב, בנוסף לטרנספוז, תובהר יותר בהמשך כאשר נדון במכפלות פנימיות.

מצבים קוונטיים של מערכות אחרות

אנחנו יכולים לשקול מצבים קוונטיים של מערכות בעלות קבוצות מצבים קלאסיות שרירותיות. לדוגמה, הנה וקטור מצב קוונטי עבור מתג מאוורר חשמלי:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

ההנחה כאן היא שהמצבים הקלאסיים מסודרים כך: high, medium, low, off. אולי אין סיבה מיוחדת לרצות לשקול מצב קוונטי של מתג מאוורר חשמלי, אך זה אפשרי מבחינה עקרונית.

הנה דוגמה נוספת, הפעם של ספרה עשרונית קוונטית שהמצבים הקלאסיים שלה הם $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

דוגמה זו ממחישה את הנוחות של כתיבת וקטורי מצב בסימון דיראק. בדוגמה זו הספציפית, ייצוג וקטור העמודה הוא רק מסורבל — אך אם היו הרבה יותר מצבים קלאסיים, הוא היה הופך לבלתי שמיש. סימון דיראק, לעומת זאת, מאפשר תיאורים מדויקים של וקטורים גדולים ומסובכים בצורה קומפקטית.

סימון דיראק מאפשר גם ביטוי של וקטורים שבהם היבטים שונים של הוקטורים הם בלתי-קבועים, כלומר שאינם ידועים או שטרם נקבעו. לדוגמה, עבור קבוצת מצבים קלאסיים שרירותית $\Sigma$, אנחנו יכולים לשקול את וקטור המצב הקוונטי

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

שבו הסימון $\sqrt{|\Sigma|}$ מתייחס לנורמה האוקלידית של $\Sigma$, ו-$\vert\Sigma\vert$ במקרה זה הוא פשוט מספר האיברים ב-$\Sigma.$ במילים, זוהי סופרפוזיציה אחידה על פני המצבים הקלאסיים ב-$\Sigma.$

נתקל בביטויים הרבה יותר מסובכים של וקטורי מצב קוונטי בשיעורים מאוחרים יותר, שבהם שימוש בוקטורי עמודה יהיה בלתי מעשי או בלתי אפשרי. למעשה, נזנח ברובו את ייצוג וקטור העמודה של וקטורי מצב, למעט עבור וקטורים בעלי מספר קטן של כניסות (לרוב בהקשר של דוגמאות), שבהם עשוי להיות מועיל להציג ולבחון את הכניסות במפורש.

הנה עוד סיבה אחת לכך שביטוי וקטורי מצב בסימון דיראק נוח: הוא מסיר את הצורך לציין במפורש סדר של המצבים הקלאסיים (או, בצורה שקולה, ההתאמה בין מצבים קלאסיים לאינדקסי הוקטור).

לדוגמה, וקטור מצב קוונטי עבור מערכת שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ כמו

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

מתואר באופן חד-משמעי על ידי ביטוי זה, ואין ממש צורך לבחור או לציין סדר של קבוצת המצבים הקלאסיים הזו כדי להבין את הביטוי. במקרה זה, לא קשה לציין סדר של חליפות הקלפים הסטנדרטיות — לדוגמה, נוכל לבחור לסדר אותן כך: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ אם נבחר בסדר מסוים זה, וקטור המצב הקוונטי לעיל ייוצג על ידי וקטור העמודה

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

באופן כללי, עם זאת, נוח פשוט להתעלם מהשאלה כיצד מסדרים קבוצות מצבים קלאסיות.

מדידת מצבים קוונטיים

בשלב הבא נשקול מה קורה כאשר מצב קוונטי נמדד, תוך התמקדות בסוג פשוט של מדידה המכונה מדידת בסיס סטנדרטי. (ישנן מושגים כלליים יותר של מדידה שנדון בהם בהמשך.)

בדומה להגדרה ההסתברותית, כאשר מערכת במצב קוונטי נמדדת, המתבונן ההיפותטי המבצע את המדידה לא יראה וקטור מצב קוונטי, אלא יראה מצב קלאסי כלשהו. במובן זה, מדידות משמשות כממשק בין מידע קוונטי לקלאסי, דרכו מחולץ מידע קלאסי ממצבים קוונטיים.

הכלל הוא פשוט: אם מצב קוונטי נמדד, כל מצב קלאסי של המערכת מופיע עם הסתברות השווה לערך המוחלט בריבוע של הכניסה בוקטור המצב הקוונטי המתאימה למצב הקלאסי הזה. זה מכונה כלל בורן במכניקת הקוונטים. שים לב שכלל זה עולה בקנה אחד עם הדרישה שהערכים המוחלטים בריבוע של הכניסות בוקטור מצב קוונטי מסתכמים ל-$1$, שכן הוא מרמז שהסתברויות תוצאות המדידה הקלאסיות השונות מסתכמות ל-$1.$

לדוגמה, מדידת המצב פלוס

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

מניבה את שתי התוצאות האפשריות, $0$ ו-$1$, עם הסתברויות כדלקמן.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

באופן מעניין, מדידת המצב מינוס

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

מניבה בדיוק את אותן ההסתברויות עבור שתי התוצאות.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

זה מרמז שבכל הנוגע למדידות בסיס סטנדרטי, המצב פלוס והמצב מינוס אינם שונים זה מזה. מדוע, אם כן, נרצה לעשות הבחנה ביניהם? התשובה היא שמצבים אלה מתנהגים בצורה שונה כאשר מבצעים עליהם פעולות, כפי שנדון בסעיף המשנה הבא.

כמובן, מדידת המצב הקוונטי $\vert 0\rangle$ מניבה את המצב הקלאסי $0$ בוודאות, וכן מדידת המצב הקוונטי $\vert 1\rangle$ מניבה את המצב הקלאסי $1$ בוודאות. זה עולה בקנה אחד עם הזיהוי של מצבים קוונטיים אלה עם המערכת שנמצאת במצב הקלאסי המתאים, כפי שהוצע קודם.

כדוגמה אחרונה, מדידת המצב

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

גורמת לשתי התוצאות האפשריות להופיע עם הסתברויות כדלקמן:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

ו-

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

פעולות יוניטריות

עד כה, לא בהכרח ברור מדוע מידע קוונטי שונה באופן מהותי ממידע קלאסי. כלומר, כשמודדים מצב קוונטי, ההסתברות לקבל כל מצב קלאסי נתונה על ידי הערך המוחלט בריבוע של הרכיב המתאים בוקטור — אז למה לא פשוט לרשום את ההסתברויות האלה בוקטור הסתברויות?

התשובה, לפחות בחלקה, היא שמערכת הפעולות המותרות שניתן לבצע על מצב קוונטי שונה מזו של מידע קלאסי. בדומה למקרה ההסתברותי, פעולות על מצבים קוונטיים הן העתקות לינאריות — אך במקום שיוצגו על ידי מטריצות סטוכסטיות, כמו במקרה הקלאסי, פעולות על וקטורי מצב קוונטיים מיוצגות על ידי מטריצות יוניטריות.

מטריצה ריבועית $U$ עם ערכים מרוכבים היא יוניטרית אם היא מקיימת את המשוואות

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

כאן, $\mathbb{I}$ היא מטריצת היחידה, ו-$U^{\dagger}$ היא הטרנספוז המצומד של $U,$ כלומר המטריצה המתקבלת על ידי שחלוף $U$ ולקיחת הצמוד המרוכב של כל רכיב.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

אם אחת משתי השוויות הממוספרות $(3)$ לעיל נכונה, אז גם השנייה חייבת להיות נכונה. שתי השוויות שקולות לכך ש-$U^{\dagger}$ הוא ההופכי של $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(אזהרה: אם $M$ אינה מטריצה ריבועית, אז ייתכן ש-$M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ בעוד ש-$M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ לדוגמה. שקילות שתי השוויות במשוואה הראשונה לעיל תקפה רק עבור מטריצות ריבועיות.)

התנאי שבו $U$ יוניטרית שקול לתנאי שלפיו כפל ב-$U$ אינו משנה את הנורמה האוקלידית של אף וקטור. כלומר, מטריצה $U$ מסדר $n\times n$ היא יוניטרית אם ורק אם $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ לכל וקטור עמודה $\vert \psi \rangle$ בממד $n$ עם רכיבים מרוכבים. לכן, מכיוון שמערכת כל וקטורי המצב הקוונטיים זהה למערכת הוקטורים בעלי נורמה אוקלידית שווה ל-$1,$ הכפלת מטריצה יוניטרית בוקטור מצב קוונטי מניבה וקטור מצב קוונטי אחר.

אכן, מטריצות יוניטריות הן בדיוק מערכת ההעתקות הלינאריות שתמיד ממירות וקטורי מצב קוונטיים לוקטורי מצב קוונטיים אחרים. שימו לב לדמיון למקרה ההסתברותי הקלאסי, שם פעולות משויכות למטריצות סטוכסטיות, שהן אלה שתמיד ממירות וקטורי הסתברויות לוקטורי הסתברויות.

דוגמאות לפעולות יוניטריות על qubits

הרשימה הבאה מתארת כמה פעולות יוניטריות נפוצות על qubits.

1. פעולות פאולי. ארבע מטריצות פאולי הן כדלקמן:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   סימון חלופי נפוץ הוא $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ ו-$Z = \sigma_z$ (אך שימו לב שהאותיות $X,$ $Y,$ ו-$Z$ משמשות גם למטרות אחרות). פעולת ה-$X$ נקראת גם היפוך סיבית או פעולת NOT מכיוון שהיא מבצעת פעולה זו על סיביות:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   פעולת ה-$Z$ נקראת גם היפוך פאזה, ופעולתה היא:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. פעולת הדמארד. פעולת הדמארד מתוארת על ידי המטריצה הבאה:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. פעולות פאזה. פעולת פאזה היא פעולה המתוארת על ידי המטריצה

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   עבור כל בחירה של מספר ממשי $\theta.$ הפעולות

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   הן דוגמאות חשובות במיוחד. דוגמאות נוספות כוללות $\mathbb{I} = P_0$ ו-$Z = P_{\pi}.$

כל המטריצות שהוגדרו זה עתה הן יוניטריות, ולכן מייצגות פעולות קוונטיות על qubit יחיד. לדוגמה, הנה חישוב המאמת ש-$H$ היא יוניטרית:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

והנה פעולת הדמארד על כמה וקטורי מצב qubit נפוצים.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

בצורה תמציתית יותר, מתקבלות ארבע המשוואות הבאות.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

כדאי לעצור ולהתבונן בעובדה ש-$H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ ו- $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ לאור השאלה שהוצעה בסעיף הקודם בנוגע להבחנה בין המצבים $\vert {+} \rangle$ ו-$\vert {-} \rangle.$

דמיינו מצב שבו qubit מוכן באחד משני המצבים הקוונטיים $\vert {+} \rangle$ ו- $\vert {-} \rangle,$ אך לא ידוע לנו באיזה מהם מדובר. מדידת כל אחד מהמצבים מניבה את אותה התפלגות פלט כמו השני, כפי שכבר ראינו: $0$ ו-$1$ מופיעים שניהם בהסתברות שווה $1/2,$ מה שלא מספק שום מידע על איזה מהמצבים הוכן.

אולם, אם מיישמים תחילה פעולת הדמארד ואז מודדים, מקבלים את התוצאה $0$ בוודאות מוחלטת אם המצב המקורי היה $\vert {+} \rangle,$ ומקבלים את התוצאה $1,$ שוב בוודאות מוחלטת, אם המצב המקורי היה $\vert {-} \rangle.$ המצבים הקוונטיים $\vert {+} \rangle$ ו-$\vert {-} \rangle$ ניתנים לכן להבחנה מושלמת. זה מגלה שינויי סימן, או באופן כללי יותר שינויים בפאזות (הנקראות גם באופן מסורתי ארגומנטים) של הרכיבים המרוכבים של וקטור מצב קוונטי, יכולים לשנות את המצב בצורה משמעותית.

הנה דוגמה נוספת, המראה כיצד פעולת הדמארד פועלת על וקטור מצב שהוזכר קודם לכן.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

עכשיו נבחן את פעולת ה-$T$ על מצב פלוס.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

שימו לב שכאן לא טרחנו להמיר לצורות המקבילות של מטריצה/וקטור, ובמקום זאת השתמשנו בלינאריות של כפל מטריצות יחד עם הנוסחאות

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

באופן דומה, נוכל לחשב את תוצאת יישום פעולת הדמארד על וקטור המצב הקוונטי שהתקבל:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

שתי הגישות — האחת שבה אנחנו ממירים במפורש לצגים של מטריצות, והשנייה שבה אנחנו משתמשים בלינאריות ומציבים את פעולות הפעולה על וקטורי הבסיס הסטנדרטי — שקולות זו לזו. ניתן להשתמש באיזו מהן שנוחה יותר בכל מקרה נתון.

הרכבות של פעולות יוניטריות על qubits

הרכבות של פעולות יוניטריות מיוצגות על ידי כפל מטריצות, בדיוק כפי שהיה במסגרת ההסתברותית.

לדוגמה, נניח שאנו מיישמים תחילה פעולת הדמארד, אחריה פעולת $S,$ ואחריה פעולת הדמארד נוספת. הפעולה המתקבלת, שנסמן אותה $R$ לצורך דוגמה זו, היא כדלקמן:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

פעולה יוניטרית זו $R$ היא דוגמה מעניינת. על ידי יישום פעולה זו פעמיים, שזה שקול לריבוע הצגת המטריצה שלה, מתקבלת פעולת NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

כלומר, $R$ היא פעולת שורש ריבועי של NOT. התנהגות כזו, שבה אותה פעולה מיושמת פעמיים ומניבה פעולת NOT, אינה אפשרית עבור פעולה קלאסית על סיבית יחידה.

פעולות יוניטריות על מערכות גדולות יותר

בשיעורים הבאים נראה דוגמאות רבות של פעולות יוניטריות על מערכות בעלות יותר משני מצבים קלאסיים. דוגמה לפעולה יוניטרית על מערכת בעלת שלושה מצבים קלאסיים ניתנת על ידי המטריצה הבאה.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

בהנחה שהמצבים הקלאסיים של המערכת הם $0,$ $1,$ ו-$2,$ נוכל לתאר פעולה זו כחיבור מודולו $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

המטריצה $A$ היא דוגמה למטריצת תמורה, שהיא מטריצה שבכל שורה ועמודה שלה יש בדיוק $1$ אחד. מטריצות כאלה רק מסדרות מחדש, או מתמירות, את הרכיבים של הוקטורים שהן פועלות עליהם. מטריצת היחידה היא אולי הדוגמה הפשוטה ביותר למטריצת תמורה, ודוגמה נוספת היא פעולת NOT על סיבית או qubit. כל מטריצת תמורה, בכל מימד של מספר שלם חיובי, היא יוניטרית. אלה הן הדוגמאות היחידות של מטריצות המייצגות גם פעולות קלאסיות וגם פעולות קוונטיות: מטריצה היא גם סטוכסטית וגם יוניטרית אם ורק אם היא מטריצת תמורה.

דוגמה נוספת למטריצה יוניטרית, הפעם מטריצה מסדר $4\times 4,$ היא זו:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

מטריצה זו מתארת פעולה הידועה כטרנספורמציית פורייה הקוונטית, ספציפית במקרה של $4\times 4.$ ניתן להגדיר את טרנספורמציית פורייה הקוונטית באופן כללי יותר, עבור כל מימד שלם חיובי $n,$ והיא ממלאת תפקיד מרכזי באלגוריתמים קוונטיים.