משפחות קוד נוספות

עברו למעלה מ-25 שנה מאז שהתגלה הקוד הטורי, ומאז נעשתה עבודת מחקר רבה בתחום קודי תיקון שגיאות קוונטיים, כולל גילוי קודים טופולוגיים נוספים שהתעוררו בהשראת הקוד הטורי, וכן קודים המבוססים על רעיונות שונים לגמרי. רשימה ממצה של כל קודי תיקון השגיאות הקוונטיים הידועים היא בלתי אפשרית לכלול כאן — אך ניגע בנושא בקצרה ונבחן כמה דוגמאות בולטות.

קודי פני שטח

כמסתבר, אין צורך שלקוד הטורי יהיו גבולות מחזוריים. כלומר, אפשר לחתוך חלק מהקוד הטורי ולשטח אותו על פני שטח דו-ממדי, במקום על גבי טורוס, ולקבל קוד לתיקון שגיאות קוונטיות — בתנאי שמגדירים כראוי את מחוללי ה-stabilizer על הקצוות. מה שמתקבל נקרא קוד פני שטח (surface code).

למשל, כאן מוצג דיאגרמה של קוד פני שטח, שבו הסריג נחתך עם מה שמכונה קצוות גסים בחלק העליון ובחלק התחתון, וקצוות חלקים בצדדים. מקרי הקצה של מחוללי ה-stabilizer מוגדרים בצורה הטבעית — כלומר, פעולות פאולי על Qubit "חסרים" פשוט משמטות.

קודי פני שטח מסוג זה מקודדים Qubit יחיד, ולא שניים כמו הקוד הטורי. מחוללי ה-stabilizer מהווים קבוצת יצרנים מינימלית במקרה זה, ללא צורך להסיר אחד מכל סוג כמו בקוד הטורי. אך למרות ההבדלים הללו, המאפיינים החשובים של הקוד הטורי עוברים בירושה. בפרט, שגיאות בלתי מזוהות לא-טריוויאליות עבור קוד זה מתאימות לשרשראות שגיאות המתפרסות מהקצה השמאלי לקצה הימני (לשרשראות של שגיאות $X$) או מלמעלה למטה (לשרשראות של שגיאות $Z$).

אפשר גם לחתוך את הקצוות של קוד פני שטח באלכסון ולקבל מה שמכונה לפעמים קודי פני שטח מסובבים (rotated surface codes) — שמם נובע לא מכך שהקודים עצמם מסובבים במובן משמעותי, אלא מכך שהדיאגרמות שלהם מסובבות (ב-45 מעלות). לדוגמה, כאן מוצג דיאגרמה של קוד פני שטח מסובב עם מרחק 5.

בסוג דיאגרמה זה, אריחים שחורים (כולל האריחים המעוגלים על הקצוות) מסמנים מחוללי stabilizer מסוג $X$, שבהם פעולות $X$ מוחלות על (שניים או ארבעה) הקודקודים של כל אריח, בעוד שאריחים לבנים מייצגים מחוללי stabilizer מסוג $Z$. לקודי פני שטח מסובבים יש תכונות דומות לקודי פני שטח (לא מסובבים), אך הם חסכוניים יותר מבחינת מספר ה-Qubit בשימוש.

קודי צבע

קודי צבע הם מחלקה מעניינת נוספת של קודים, שגם היא נכללת בקטגוריה הכללית של קודים קוונטיים טופולוגיים. נתאר אותם כאן בקצרה בלבד.

אחת הדרכים לחשוב על קודי צבע היא לראות בהם הכללה גיאומטרית של קוד Steane בן 7 ה-Qubit. עם זאת בראש, נחזור לקוד Steane בן 7 ה-Qubit, ונניח שהשבעה Qubit ממוספרים ומסודרים לפי מוסכמת המספור של Qiskit כ-$(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0).$ נזכור שמחוללי ה-stabilizer של קוד זה הם כדלקמן.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

אם נשייך את שבעת ה-Qubit לקודקודים של הגרף הבא, נגלה שמחוללי ה-stabilizer מתאימים בדיוק לפנים שנוצרות על ידי קשתות הגרף.

כלומר, עבור כל פן, קיים הן מחולל stabilizer מסוג $Z$ והן מחולל stabilizer מסוג $X$ הפועלים בצורה לא-טריוויאלית על אותם Qubit הנמצאים בקודקודי אותו פן. לפיכך, קוד Steane בן 7 ה-Qubit הוא בעל מקומיות גיאומטרית, כך שעקרונית אין צורך להזיז Qubit למרחקים גדולים כדי למדוד את מחוללי ה-stabilizer. העובדה שמחוללי ה-$Z$ ומחוללי ה-$X$ תמיד פועלים בצורה לא-טריוויאלית על בדיוק אותן קבוצות של Qubit גם היא נוחה מטעמים הקשורים לחישוב קוונטי עמיד לתקלות, שהוא הנושא של השיעור הבא.

קודי צבע הם קודי תיקון שגיאות קוונטיים (קודי CSS, ליתר דיוק) שמכלילים את הדפוס הבסיסי הזה, אך הגרפים הבסיסיים עשויים להיות שונים. לדוגמה, הנה גרף עם 19 קודקודים שעובד. הוא מגדיר קוד שמקודד Qubit אחד ל-19 Qubit ובעל מרחק 5 (כלומר, קוד stabilizer $[[19,1,5]]$).

ניתן לעשות זאת עם גרפים רבים אחרים, כולל משפחות גרפים שגדלות בגודלן ובעלות מבנים מעניינים.

קודי צבע קיבלו את שמם מכך שאחד התנאים הנדרשים על הגרפים המגדירים אותם הוא שניתן לצבוע את הפנים בשלושה צבעים — כלומר, ניתן להקצות לכל פן אחד משלושה צבעים כך ששני פנים בעלי אותו צבע לא ישתפו קשת (כפי שמוצג בדיאגרמה הקודמת). הצבעים עצמם אינם משנים לצורך הגדרת הקוד — תמיד קיימים מחוללי stabilizer מסוג $Z$ ו-$X$ לכל פן, ללא קשר לצבעו — אך הצבעים חשובים לניתוח אופן פעולת הקודים.

קודים נוספים

תיקון שגיאות קוונטי הוא תחום פעיל ומתפתח במהירות. מי שמעוניין להעמיק יכול להתייעץ עם Error Correction Zoo, המציג דוגמאות רבות וסיווגים של קודי תיקון שגיאות קוונטיים.

דוגמה: קוד הגרוס

קוד הגרוס הוא קוד stabilizer $[[144,12,12]]$ שהתגלה לאחרונה. הוא דומה לקוד הטורי, אלא שכל מחולל stabilizer פועל בצורה לא-טריוויאלית על שני Qubit נוספים, מרוחקים מעט יותר מהאריח או הקודקוד של אותו מחולל (כך שלכל מחולל stabilizer יש משקל 6). היתרון של קוד זה הוא שהוא יכול לקודד 12 Qubit, בהשוואה לשניים בלבד בקוד הטורי.