מידע קלאסי

כמו שעשינו בשיעור הקודם, נפתח גם את השיעור הזה בדיון על מידע קלאסי. שוב, התיאורים ההסתברותי והקוונטי דומים מבחינה מתמטית, והכרת אופן פעולת המתמטיקה בהקשר המוכר של מידע קלאסי מסייעת להבין מדוע מידע קוונטי מתואר בדרך שבה הוא מתואר.

מצבים קלאסיים דרך המכפלה הקרטזית

נתחיל ברמה הבסיסית ביותר, עם מצבים קלאסיים של מערכות מרובות. לשם הפשטות, נתחיל בדיון על שתי מערכות בלבד, ואחר כך נכליל למקרה של יותר משתי מערכות.

כדי להיות מדויקים, נסמן ב-$\mathsf{X}$ מערכת שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\Sigma,$ וב-$\mathsf{Y}$ מערכת שנייה שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\Gamma.$ שים לב שמכיוון שאנחנו מכנים את הקבוצות האלה קבוצות מצבים קלאסיים, ההנחה שלנו היא ש-$\Sigma$ וגם $\Gamma$ הן סופיות ולא ריקות. ייתכן ש-$\Sigma = \Gamma,$ אבל זה לא בהכרח המקרה — ובכל מקרה, כדי לשמור על בהירות, כדאי להשתמש בשמות שונים לקבוצות האלה.

כעת דמיין שמציבים את שתי המערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ זו לצד זו, כאשר $\mathsf{X}$ משמאל ו-$\mathsf{Y}$ מימין. אם נרצה, נוכל להתייחס לשתי המערכות האלה כאילו הן יוצרות מערכת אחת, שאותה נסמן ב-$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ או ב-$\mathsf{XY}$ לפי העדפתנו. שאלה טבעית לשאול על המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא: "מה הם המצבים הקלאסיים שלה?"

התשובה היא שקבוצת המצבים הקלאסיים של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא המכפלה הקרטזית של $\Sigma$ ו-$\Gamma,$ שהיא הקבוצה המוגדרת כ-

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

בפשטות, המכפלה הקרטזית היא בדיוק המושג המתמטי שתופס את הרעיון של התייחסות לאיבר מתוך קבוצה אחת ולאיבר מתוך קבוצה שנייה יחד, כאילו שהם יוצרים איבר יחיד בקבוצה אחת. במקרה שלפנינו, לומר ש-$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ נמצאת במצב הקלאסי $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ פירושו ש-$\mathsf{X}$ נמצאת במצב הקלאסי $a\in\Sigma$ ו-$\mathsf{Y}$ נמצאת במצב הקלאסי $b\in\Gamma;$ ואם המצב הקלאסי של $\mathsf{X}$ הוא $a\in\Sigma$ והמצב הקלאסי של $\mathsf{Y}$ הוא $b\in\Gamma,$ אזי המצב הקלאסי של המערכת המשולבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הוא $(a,b).$

עבור יותר משתי מערכות, הדברים מוכללים בצורה טבעית. אם נניח ש-$\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ הן מערכות עם קבוצות מצבים קלאסיים $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n$ בהתאמה, לכל מספר שלם חיובי $n,$ קבוצת המצבים הקלאסיים של ה-$n$-יה $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ כשמסתכלים עליה כמערכת משולבת אחת, היא המכפלה הקרטזית

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

כמובן, אנחנו חופשיים להשתמש בכל שם שנרצה למערכות, ולסדר אותן כרצוננו. בפרט, אם יש לנו $n$ מערכות כמו לעיל, נוכל לבחור לשמות אותן $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ ולסדר אותן מימין לשמאל, כך שהמערכת המשולבת הופכת ל-$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ בהמשך לאותו דפוס שמות עבור המצבים הקלאסיים וקבוצות המצבים הקלאסיים המקבילים, אז נוכל להתייחס למצב קלאסי

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

של המערכת המורכבת הזאת. ואכן, זוהי מוסכמת הסידור שבה משתמש Qiskit בעת שמות של Qubits מרובים. נחזור למוסכמה הזאת ולאופן שבו היא מתחברת למעגלים קוונטיים בשיעור הבא, אבל נתחיל להשתמש בה עכשיו כדי להתרגל אליה.

לעיתים קרובות נוח לכתוב מצב קלאסי מהצורה $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ כמחרוזת $a_{n-1}\cdots a_0$ לשם קיצור, בייחוד במצב הנפוץ מאוד שבו קבוצות המצבים הקלאסיים $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ קשורות לקבוצות של סמלים או תווים. בהקשר זה, המונח אלפבית נהוג לשמש לתיאור קבוצות של סמלים המשמשים ליצירת מחרוזות, אך ההגדרה המתמטית של אלפבית זהה בדיוק להגדרה של קבוצת מצבים קלאסית: זוהי קבוצה סופית ולא ריקה.

לדוגמה, נניח ש-$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ הן ביטים, כך שקבוצות המצבים הקלאסיים של המערכות האלה הן כולן זהות.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

אז יש $2^{10} = 1024$ מצבים קלאסיים של המערכת המשולבת $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ שהם האיברים של הקבוצה

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

כשכותבים כמחרוזות, המצבים הקלאסיים האלה נראים כך:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

עבור המצב הקלאסי $0000000110,$ לדוגמה, אנחנו רואים ש-$\mathsf{X}_1$ ו-$\mathsf{X}_2$ נמצאות במצב $1,$ בעוד כל שאר המערכות נמצאות במצב $0.$

מצבים הסתברותיים

נזכיר מהשיעור הקודם שהמצב ההסתברותי משייך הסתברות לכל מצב קלאסי של מערכת. לפיכך, מצב הסתברותי של מערכות מרובות — שנבחנות יחד כמערכת אחת — משייך הסתברות לכל איבר של המכפלה הקרטזית של קבוצות המצבים הקלאסיים של המערכות הבודדות.

לדוגמה, נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן שתיהן ביטים, כך שקבוצות המצבים הקלאסיים המקבילות הן $\Sigma = \{0,1\}$ ו-$\Gamma = \{0,1\}$ בהתאמה. הנה מצב הסתברותי של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

מצב הסתברותי זה הוא כזה שבו גם $\mathsf{X}$ וגם $\mathsf{Y}$ הם ביטים אקראיים — כל אחד מהם הוא $0$ עם הסתברות $1/2$ ו-$1$ עם הסתברות $1/2$ — אבל המצבים הקלאסיים של שני הביטים תמיד מסכימים. זוהי דוגמה לקורלציה בין המערכות האלה.

סידור קבוצות מצבים של מכפלה קרטזית

מצבים הסתברותיים של מערכות יכולים להיות מיוצגים על ידי וקטורי הסתברות, כפי שנדון בשיעור הקודם. בפרט, ערכי הוקטור מייצגים הסתברויות שהמערכת תמצא במצבים הקלאסיים האפשריים של אותה מערכת, ומובן שנבחרת התאמה בין הערכים לקבוצת המצבים הקלאסיים.

בחירת התאמה כזאת פירושה בעצם החלטה על סידור המצבים הקלאסיים, שלעיתים קרובות טבעי או נקבע לפי מוסכמה סטנדרטית. לדוגמה, האלפבית הבינארי $\{0,1\}$ מסודר באופן טבעי עם $0$ ראשון ו-$1$ שני, לכן הערך הראשון בוקטור ההסתברות המייצג מצב הסתברותי של ביט הוא ההסתברות שהוא יהיה במצב $0,$ והערך השני הוא ההסתברות שהוא יהיה במצב $1.$

דברים אלה לא משתנים בהקשר של מערכות מרובות, אבל יש החלטה לקבל. קבוצת המצבים הקלאסיים של מערכות מרובות יחד, שנבחנות יחד כמערכת אחת, היא המכפלה הקרטזית של קבוצות המצבים הקלאסיים של המערכות הבודדות — לכן עלינו להחליט כיצד לסדר את איברי המכפלות הקרטזיות של קבוצות המצבים הקלאסיים.

ישנה מוסכמה פשוטה שאנחנו פועלים לפיה לצורך זה: להתחיל עם הסדרים הקיימים כבר לקבוצות המצבים הקלאסיים הבודדות, ואז לסדר את איברי המכפלה הקרטזית לפי סדר אלפביתי. דרך נוספת לומר זאת היא שלרכיבים בכל $n$-יה (או, שקול, לסמלים בכל מחרוזת) מתייחסים כאילו יש להם משמעות הפוחתת משמאל לימין. לדוגמה, לפי המוסכמה הזאת, המכפלה הקרטזית $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ מסודרת כך:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

כאשר $n$-יות נכתבות כמחרוזות ומסודרות בדרך זו, אנחנו מבחינים בדפוסים מוכרים, כמו $\{0,1\}\times\{0,1\}$ המסודרת בתור $00, 01, 10, 11,$ והקבוצה $\{0,1\}^{10}$ המסודרת כפי שנכתבה קודם בשיעור. דוגמה נוספת: אם מסתכלים על הקבוצה $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ כקבוצה של מחרוזות, מקבלים את המספרים בני שתי הספרות $00$ עד $99,$ מסודרים לפי סדר מספרי. ברור שזה לא מקרי; מערכת המספרים העשרונית שלנו משתמשת בדיוק בסוג זה של סידור אלפביתי, כאשר המילה אלפביתי צריכה להתפרש במובן רחב הכולל ספרות בנוסף לאותיות.

בחזרה לדוגמה של שני ביטים מלמעלה, המצב ההסתברותי שתואר לעיל מיוצג לכן על ידי וקטור ההסתברות הבא, כאשר הערכים מסומנים במפורש לשם בהירות.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

עצמאות של שתי מערכות

סוג מיוחד של מצב הסתברותי של שתי מערכות הוא כזה שבו המערכות עצמאיות. באופן אינטואיטיבי, שתי מערכות הן עצמאיות אם ידיעת המצב הקלאסי של אחת מהן אינה משפיעה על ההסתברויות הקשורות לאחרת. כלומר, ידיעת המצב הקלאסי של אחת מהמערכות אינה מספקת שום מידע על המצב הקלאסי של האחרת.

כדי להגדיר מושג זה במדויק, נניח שוב ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן מערכות עם קבוצות מצבים קלאסיים $\Sigma$ ו-$\Gamma$ בהתאמה. ביחס למצב הסתברותי נתון של מערכות אלה, אומרים שהן עצמאיות אם מתקיים

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

לכל בחירה של $a\in\Sigma$ ו-$b\in\Gamma.$

כדי לבטא תנאי זה במונחים של וקטורי הסתברות, נניח שהמצב ההסתברותי הנתון של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מתואר על ידי וקטור הסתברות, הכתוב בסימון דיראק כ-

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

התנאי $(2)$ לעצמאות שקול אז לקיומם של שני וקטורי הסתברות

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

המייצגים את ההסתברויות הקשורות למצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ בהתאמה, כך שמתקיים

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

לכל $a\in\Sigma$ ו-$b\in\Gamma.$

לדוגמה, המצב ההסתברותי של זוג ביטים $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המיוצג על ידי הוקטור

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

הוא מצב שבו $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ עצמאיות. ספציפית, התנאי הנדרש לעצמאות מתקיים עבור וקטורי ההסתברות

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

לדוגמה, כדי שההסתברויות עבור מצב ה-$00$ יתאימו, נצטרך $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ ואכן כך הדבר. ניתן לאמת ערכים אחרים בצורה דומה.

מצד שני, המצב ההסתברותי $(1),$ שאותו ניתן לכתוב כ-

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

אינו מייצג עצמאות בין המערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}.$ דרך פשוטה להוכיח זאת היא כדלקמן.

נניח שאכן קיימים וקטורי הסתברות $\vert \phi\rangle$ ו-$\vert \psi \rangle,$ כמו במשוואה $(3)$ לעיל, שעבורם מתקיים התנאי $(4)$ לכל בחירה של $a$ ו-$b.$ אז בהכרח יהיה

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

זה מרמז ש-$q_0 = 0$ או $r_1 = 0,$ כי אם שניהם היו שונים מאפס, גם המכפלה $q_0 r_1$ הייתה שונה מאפס. מכאן מגיעים למסקנה ש-$q_0 r_0 = 0$ (במקרה ש-$q_0 = 0$) או $q_1 r_1 = 0$ (במקרה ש-$r_1 = 0$). אולם אנחנו רואים שאף אחת מהשוויות האלה אינה יכולה להיות נכונה, כי חייב להתקיים $q_0 r_0 = 1/2$ ו-$q_1 r_1 = 1/2.$ לכן לא קיימים וקטורים $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle$ המקיימים את התכונה הנדרשת לעצמאות.

לאחר שהגדרנו עצמאות בין שתי מערכות, נוכל כעת להגדיר את המשמעות של קורלציה: היא היעדר עצמאות. לדוגמה, מכיוון ששני הביטים במצב ההסתברותי המיוצג על ידי הוקטור $(5)$ אינם עצמאיים, הם, בהגדרה, מתואמים.

מכפלות טנזוריות של וקטורים

תנאי האי-תלות שתואר לעיל ניתן לביטוי תמציתי באמצעות מושג המכפלה הטנזורית. אמנם מכפלות טנזוריות הן מושג כללי מאד, וניתן להגדירן בצורה אבסטרקטית למדי וליישמן על מגוון מבנים מתמטיים, אך אנחנו יכולים לאמץ הגדרה פשוטה וקונקרטית למקרה הנוכחי.

בהינתן שני וקטורים

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

המכפלה הטנזורית $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ היא הוקטור המוגדר כך:

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

הרכיבים של הוקטור החדש הזה מתאימים לאיברי המכפלה הקרטזית $\Sigma\times\Gamma,$ הכתובים כמחרוזות במשוואה הקודמת. באופן שקול, הוקטור $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ מוגדר על ידי המשוואה

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

המתקיימת לכל $a\in\Sigma$ ו-$b\in\Gamma.$

כעת נוכל לנסח מחדש את תנאי האי-תלות: עבור מערכת משותפת $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ במצב הסתברותי המיוצג על ידי וקטור הסתברות $\vert \pi \rangle,$ המערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן בלתי-תלויות אם $\vert\pi\rangle$ מתקבל על ידי מכפלה טנזורית

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

של וקטורי הסתברות $\vert \phi \rangle$ ו-$\vert \psi \rangle$ על כל אחד מהתת-מערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}.$ במצב זה, $\vert \pi \rangle$ נקרא מצב מכפלה או וקטור מכפלה.

לרוב משמיטים את הסימן $\otimes$ כשלוקחים מכפלה טנזורית של kets, ולמשל כותבים $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ במקום $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ המוסכמה הזו מבטאת את הרעיון שהמכפלה הטנזורית היא, בהקשר זה, הדרך הטבעית והמובנת-מאליה לקחת מכפלה של שני וקטורים. אמנם פחות נפוץ, אך הסימון $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ משמש לפעמים גם כן.

כאשר משתמשים במוסכמה האלפביתית לסידור איברי מכפלות קרטזיות, מקבלים את המפרט הבא למכפלה הטנזורית של שני וקטורי עמודה.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

כהערת אגב חשובה, שימו לב לביטוי הבא של מכפלות טנזוריות של וקטורי בסיס סטנדרטיים:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

אפשר לחלופין לכתוב $(a,b)$ כזוג סדור, במקום מחרוזת, ואז מקבלים $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ עם זאת, נהוג יותר להשמיט את הסוגריים במצב זה, ולכתוב $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ זהו נוהג טיפוסי במתמטיקה בכלל; סוגריים שאינם מוסיפים בהירות או מסירים עמימות פשוט משמיטים אותם.

למכפלה הטנזורית של שני וקטורים יש את התכונה החשובה שהיא דו-לינארית, כלומר לינארית בכל אחד משני הארגומנטים בנפרד, בהנחה שהארגומנט השני קבוע. ניתן לבטא תכונה זו דרך המשוואות הבאות:

1. לינאריות בארגומנט הראשון:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. לינאריות בארגומנט השני:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

בהסתכלות על המשוואה השנייה בכל אחד מזוגות המשוואות הללו, רואים שסקלרים "צפים חופשית" בתוך מכפלות טנזוריות:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

לכן אין עמימות בכתיבה פשוטה של $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ או לחלופין $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ או $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ כדי להתייחס לוקטור זה.

אי-תלות ומכפלות טנזוריות עבור שלוש מערכות ויותר

מושגי האי-תלות והמכפלות הטנזוריות מתכללים בצורה ישירה לשלוש מערכות ויותר. אם $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ הן מערכות עם קבוצות מצב קלאסיות $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ בהתאמה, אז מצב הסתברותי של המערכת המשולבת $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ הוא מצב מכפלה אם וקטור ההסתברות המשויך מקבל את הצורה

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

עבור וקטורי הסתברות $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ המתארים מצבים הסתברותיים של $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ כאן, הגדרת המכפלה הטנזורית מתכללת בצורה טבעית: הוקטור

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

מוגדר על ידי המשוואה

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

המתקיימת לכל $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

דרך שונה אך שקולה להגדיר את המכפלה הטנזורית של שלושה וקטורים ויותר היא רקורסיבית, במונחים של מכפלות טנזוריות של שני וקטורים:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

בדומה למכפלה הטנזורית של שני וקטורים בלבד, המכפלה הטנזורית של שלושה וקטורים ויותר היא לינארית בכל אחד מהארגומנטים בנפרד, בהנחה שכל שאר הארגומנטים קבועים. במקרה זה נאמר שהמכפלה הטנזורית של שלושה וקטורים ויותר היא רב-לינארית.

כמו במקרה של שתי מערכות, ניתן לומר שהמערכות $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ הן בלתי-תלויות כשהן נמצאות במצב מכפלה, אך המונח בלתי-תלויות הדדית מדויק יותר. קיימות גם מושגי אי-תלות אחרים עבור שלוש מערכות ויותר, כגון אי-תלות זוגית, שהם מעניינים וחשובים — אך לא בהקשר של קורס זה.

בהכללת ההתבוננות הקודמת לגבי מכפלות טנזוריות של וקטורי בסיס סטנדרטיים, עבור כל מספר שלם חיובי $n$ וכל מצבים קלאסיים $a_0,\ldots,a_{n-1},$ מתקיים

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

מדידות של מצבים הסתברותיים

כעת נעבור למדידות של מצבים הסתברותיים של מערכות מרובות. בבחירה לראות מערכות מרובות יחד כמערכת אחת, מיד מקבלים מפרט של כיצד מדידות חייבות לפעול עבור מערכות מרובות — בתנאי שמודדים את כל המערכות.

לדוגמה, אם המצב ההסתברותי של שני סיביות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מתואר על ידי וקטור ההסתברות

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

אז התוצאה $00$ — כלומר $0$ למדידה של $\mathsf{X}$ ו-$0$ למדידה של $\mathsf{Y}$ — מתקבלת בהסתברות $1/2$ והתוצאה $11$ מתקבלת גם היא בהסתברות $1/2.$ בכל מקרה מעדכנים את תיאור וקטור ההסתברות של הידע שלנו בהתאם, כך שהמצב ההסתברותי הופך ל-$|00\rangle$ או ל-$|11\rangle,$ בהתאמה.

עם זאת, ייתכן שנבחר למדוד לא כל מערכת, אלא רק חלק מהמערכות. הדבר יגרום לתוצאת מדידה עבור כל מערכת שנמדדת, וגם (בדרך כלל) ישפיע על הידע שלנו לגבי המערכות הנותרות שלא מדדנו.

כדי להסביר כיצד זה עובד, נתמקד במקרה של שתי מערכות, שאחת מהן נמדדת. המצב הכללי יותר — שבו תת-קבוצה ממשית של שלוש מערכות ויותר נמדדת — מצטמצם למעשה למקרה של שתי מערכות כשרואים את המערכות שנמדדות ביחד כאילו הן מהוות מערכת אחת ואת המערכות שאינן נמדדות כאילו הן מהוות מערכת שנייה.

ליתר דיוק, נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן מערכות שקבוצות המצב הקלאסי שלהן הן $\Sigma$ ו-$\Gamma,$ בהתאמה, ושתי המערכות יחד נמצאות במצב הסתברותי כלשהו. נבחן מה קורה כשמודדים רק את $\mathsf{X}$ ולא עושים דבר ל-$\mathsf{Y}.$ המצב שבו נמדד רק $\mathsf{Y}$ ולא מתרחש דבר ל-$\mathsf{X}$ מטופל בצורה סימטרית.

ראשית, ידוע שההסתברות לצפות במצב קלאסי מסוים $a\in\Sigma$ כשנמדד רק $\mathsf{X}$ חייבת להיות עקבית עם ההסתברויות שהיינו מקבלים בהנחה שגם $\mathsf{Y}$ היה נמדד. כלומר, חייב להתקיים

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

זוהי הנוסחה למה שנקרא המצב ההסתברותי המצומצם (או השולי) של $\mathsf{X}$ בלבד.

נוסחה זו הגיונית לחלוטין ברמה האינטואיטיבית, במובן שמשהו מאד מוזר היה צריך לקרות כדי שהיא תהיה שגויה. אם היא הייתה שגויה, זה היה אומר שמדידת $\mathsf{Y}$ יכולה איכשהו להשפיע על ההסתברויות הקשורות לתוצאות שונות של מדידת $\mathsf{X},$ ללא קשר לתוצאה הממשית של מדידת $\mathsf{Y}.$ אם $\mathsf{Y}$ היה נמצא במיקום רחוק, כמו איפשהו בגלקסיה אחרת לדוגמה, זה היה מאפשר העברת אותות מהירה מהאור — דבר שאנו דוחים על בסיס הבנתנו את הפיזיקה. דרך נוספת להבין זאת נובעת מהפרשנות של הסתברות כביטוי למידת אמונה. העובדה הגרידא שמישהו אחר עשוי להחליט להסתכל על $\mathsf{Y}$ לא יכולה לשנות את המצב הקלאסי של $\mathsf{X},$ לכן ללא כל מידע על מה שהם ראו או לא ראו, האמונות שלנו לגבי מצב $\mathsf{X}$ לא אמורות להשתנות כתוצאה מכך.

כעת, בהינתן ההנחה שרק $\mathsf{X}$ נמדד ו-$\mathsf{Y}$ לא, עדיין עשויה להתקיים אי-ודאות לגבי המצב הקלאסי של $\mathsf{Y}.$ מסיבה זו, במקום לעדכן את תיאור המצב ההסתברותי של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ל-$\vert ab\rangle$ עבור בחירה כלשהי של $a\in\Sigma$ ו-$b\in\Gamma,$ עלינו לעדכן את תיאורנו כך שאי-הודאות לגבי $\mathsf{Y}$ תבוא לידי ביטוי כראוי.

נוסחת ההסתברות המותנית הבאה משקפת את אי-הודאות הזו.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

כאן, הביטוי $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ מסמן את ההסתברות ש- $\mathsf{Y} = b$ בתנאי (או בהינתן ש-) $\mathsf{X} = a.$ מבחינה טכנית, ביטוי זה הגיוני רק אם $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ אינו אפס, כי אם $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ אז אנחנו מחלקים באפס ומקבלים צורה בלתי-נקבעת $\frac{0}{0}.$ זה לא בעיה, עם זאת, כי אם ההסתברות המשויכת ל-$a$ היא אפס, לעולם לא נקבל $a$ כתוצאה של מדידה של $\mathsf{X},$ אז אין צורך להתעסק בהיתכנות זו.

כדי לבטא נוסחאות אלה במונחים של וקטורי הסתברות, נשקול וקטור הסתברות $\vert \pi \rangle$ המתאר מצב הסתברותי משותף של $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

מדידה של $\mathsf{X}$ בלבד מניבה כל תוצאה אפשרית $a\in\Sigma$ בהסתברות

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

הוקטור המייצג את המצב ההסתברותי של $\mathsf{X}$ בלבד נתון לכן על ידי

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

לאחר קבלת תוצאה מסוימת $a\in\Sigma$ של מדידת $\mathsf{X},$ המצב ההסתברותי של $\mathsf{Y}$ מתעדכן לפי נוסחת ההסתברויות המותנות, כך שהוא מיוצג על ידי וקטור ההסתברות הבא:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

במקרה שמדידת $\mathsf{X}$ הניבה את המצב הקלאסי $a,$ מעדכנים אפוא את תיאור המצב ההסתברותי של המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ל- $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

דרך אחת לחשוב על הגדרת $\vert\psi_a\rangle$ זו היא לראות בה נירמול של הוקטור $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ שבו מחלקים בסכום הרכיבים של וקטור זה כדי לקבל וקטור הסתברות. נירמול זה מחשב בפועל את ההתניה על האירוע שמדידת $\mathsf{X}$ הניבה את התוצאה $a.$

לדוגמה ספציפית, נניח שקבוצת המצב הקלאסי של $\mathsf{X}$ היא $\Sigma = \{0,1\},$ קבוצת המצב הקלאסי של $\mathsf{Y}$ היא $\Gamma = \{1,2,3\},$ והמצב ההסתברותי של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הוא

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

המטרה שלנו תהיה לקבוע את ההסתברויות של שתי התוצאות האפשריות ($0$ ו-$1$), ולחשב מהו המצב ההסתברותי של $\mathsf{Y}$ עבור שתי התוצאות, בהנחה שמערכת $\mathsf{X}$ נמדדת.

בשימוש בדו-לינאריות של המכפלה הטנזורית, ובמיוחד בעובדה שהיא לינארית בארגומנט השני, ניתן לכתוב מחדש את הוקטור $\vert \pi \rangle$ כדלקמן:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

במילים, מה שעשינו הוא לבודד את וקטורי הבסיס הסטנדרטיים השונים עבור המערכת הראשונה (כלומר זו שנמדדת), ולקחת לכל אחד מהם טנזור עם הצירוף הלינארי של וקטורי הבסיס הסטנדרטיים של המערכת השנייה שמתקבל על ידי בחירת הרכיבים בוקטור המקורי שעקביים עם המצב הקלאסי המתאים של המערכת הראשונה. רגע של מחשבה מגלה שזה תמיד אפשרי, ללא קשר לאיזה וקטור התחלנו.

לאחר שביטאנו את וקטור ההסתברות שלנו בצורה זו, השפעות מדידת המערכת הראשונה נעשות קלות לניתוח. ניתן לקבל את ההסתברויות של שתי התוצאות על ידי סכימת ההסתברויות שבסוגריים.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

ההסתברויות הללו מסתכמות לאחד, כמצופה — אך זוהי בדיקה שימושית של חישובינו.

וכעת, ניתן להסיק את המצב ההסתברותי של $\mathsf{Y}$ בתנאי של כל תוצאה אפשרית על ידי נירמול הוקטורים שבסוגריים. כלומר, מחלקים את הוקטורים הללו בהסתברויות המשויכות שזה עתה חישבנו, כך שיהפכו לוקטורי הסתברות.

לכן, בתנאי ש-$\mathsf{X}$ הוא $0,$ המצב ההסתברותי של $\mathsf{Y}$ הופך להיות

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

ובתנאי שמדידת $\mathsf{X}$ היא $1,$ המצב ההסתברותי של $\mathsf{Y}$ הופך להיות

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

פעולות על מצבים הסתברותיים

כדי לסיים את הדיון על מידע קלאסי עבור מערכות מרובות, נתבונן בפעולות על מערכות מרובות במצבים הסתברותיים. בהמשך לאותו רעיון כמקודם, אפשר להסתכל על מערכות מרובות כמערכת מורכבת אחת, ואז לחזור לשיעור הקודם כדי לראות כיצד זה עובד.

בחזרה להגדרה הרגילה שבה יש לנו שתי מערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y},$ נבחן פעולות קלאסיות על המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ על פי השיעור הקודם והדיון שלעיל, כל פעולה כזו מיוצגת על ידי מטריצה סטוכסטית שהשורות והעמודות שלה ממוספרות על ידי המכפלה הקרטזית $\Sigma\times\Gamma.$

לדוגמה, נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם ביטים, ונתבונן בפעולה עם התיאור הבא.

פעולה

אם $\mathsf{X} = 1,$ בצע פעולת NOT על $\mathsf{Y}.$
אחרת, אל תעשה דבר.

זוהי פעולה דטרמיניסטית הידועה בשם controlled-NOT, שבה $\mathsf{X}$ הוא ביט הבקרה שקובע האם לבצע פעולת NOT על ביט המטרה $\mathsf{Y}.$ הנה ייצוג המטריצה של פעולה זו:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

פעולתה על מצבי הבסיס הסטנדרטי היא כדלקמן.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

אם נחליף את תפקידי $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y},$ כך ש-$\mathsf{Y}$ יהיה ביט הבקרה ו-$\mathsf{X}$ יהיה ביט המטרה, אז ייצוג המטריצה של הפעולה יהפוך ל-

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

ופעולתה על מצבי הבסיס הסטנדרטי תהיה כך:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

דוגמה נוספת היא פעולה עם התיאור הבא:

פעולה

בצע אחת משתי הפעולות הבאות, כל אחת בהסתברות $1/2:$

1. קבע את $\mathsf{Y}$ כך שיהיה שווה ל-$\mathsf{X}.$
2. קבע את $\mathsf{X}$ כך שיהיה שווה ל-$\mathsf{Y}.$

ייצוג המטריצה של פעולה זו הוא כדלקמן:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

פעולת הפעולה הזו על וקטורי הבסיס הסטנדרטי היא כדלקמן:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

בדוגמאות אלה, אנחנו פשוט מתייחסים לשתי המערכות יחד כמערכת אחת וממשיכים כפי שעשינו בשיעור הקודם.

אותו הדבר ניתן לעשות עבור כל מספר של מערכות. לדוגמה, נדמיין שיש לנו שלושה ביטים, ואנחנו מגדילים את שלושת הביטים מודולו $8$ — כלומר, אנחנו מתייחסים לשלושת הביטים כמקודדים מספר בין $0$ ל-$7$ בייצוג בינארי, מוסיפים $1,$ ואז לוקחים את השארית לאחר חלוקה ב-$8.$ אחת הדרכים לבטא פעולה זו היא כך:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

דרך נוספת לבטא זאת היא

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

בהנחה שהסכמנו שמספרים מ-$0$ עד $7$ בתוך kets מתייחסים לקידוד הבינארי בשלושה ביטים של אותם מספרים. אפשרות שלישית היא לבטא פעולה זו כמטריצה.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

פעולות בלתי תלויות

כעת נניח שיש לנו מערכות מרובות ואנחנו מבצעים בצורה עצמאית פעולות שונות על כל מערכת בנפרד.

לדוגמה, בחזרה להגדרה הרגילה של שתי מערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ עם קבוצות המצבים הקלאסיים $\Sigma$ ו-$\Gamma$ בהתאמה, נניח שאנחנו מבצעים פעולה אחת על $\mathsf{X}$ ופעולה אחרת, בצורה עצמאית לחלוטין, על $\mathsf{Y}.$ כפי שידוע לנו מהשיעור הקודם, פעולות אלה מיוצגות על ידי מטריצות סטוכסטיות — ובדיוק יותר, נגיד שהפעולה על $\mathsf{X}$ מיוצגת על ידי המטריצה $M$ והפעולה על $\mathsf{Y}$ מיוצגת על ידי המטריצה $N.$ כך, השורות והעמודות של $M$ ממוספרות בהתאם לאלמנטים של $\Sigma$ ובאותה מידה, השורות והעמודות של $N$ מתאימות לאלמנטים של $\Gamma.$

שאלה טבעית לשאול היא: אם אנחנו מתייחסים ל-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ יחד כמערכת מורכבת אחת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ מהי המטריצה שמייצגת את הפעולה המשולבת של שתי הפעולות על מערכת מורכבת זו? כדי לענות על שאלה זו, עלינו קודם להציג מכפלות טנסוריות של מטריצות, שדומות למכפלות טנסוריות של וקטורים ומוגדרות באופן אנלוגי.

מכפלות טנסוריות של מטריצות

המכפלה הטנסורית $M\otimes N$ של המטריצות

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

ו-

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

היא המטריצה

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

שקולה לכך, המכפלה הטנסורית של $M$ ו-$N$ מוגדרת על ידי המשוואה

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

שמתקיימת לכל בחירה של $a,b\in\Sigma$ ו-$c,d\in\Gamma.$

דרך חלופית, אך שקולה, לתאר את $M\otimes N$ היא שזוהי המטריצה היחידה שמקיימת את המשוואה

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

לכל בחירה אפשרית של וקטורים $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle,$ בהנחה שהאינדקסים של $\vert\phi\rangle$ מתאימים לאלמנטים של $\Sigma$ והאינדקסים של $\vert\psi\rangle$ מתאימים ל-$\Gamma.$

בהתאם למוסכמה שתוארה קודם לגבי סדר האלמנטים של מכפלות קרטזיות, ניתן גם לכתוב את המכפלה הטנסורית של שתי מטריצות במפורש כך:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

מכפלות טנסוריות של שלוש מטריצות או יותר מוגדרות בצורה אנלוגית. אם $M_0, \ldots, M_{n-1}$ הן מטריצות שאינדקסיהן מתאימים לקבוצות מצב קלאסיות $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ אז המכפלה הטנסורית $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ מוגדרת על ידי התנאי ש-

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

מתקיים לכל בחירה של מצבים קלאסיים $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ לחלופין, מכפלות טנסוריות של שלוש מטריצות או יותר ניתן להגדיר באופן רקורסיבי, במונחים של מכפלות טנסוריות של שתי מטריצות, בדומה למה שראינו עבור וקטורים.

אומרים שהמכפלה הטנסורית של מטריצות היא כפלית מכיוון שהמשוואה

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

תמיד נכונה, לכל בחירה של מטריצות $M_0,\ldots,M_{n-1}$ ו-$N_0\ldots,N_{n-1},$ בתנאי שהמכפלות $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ מוגדרות.

פעולות בלתי תלויות (המשך)

כעת נוכל לענות על השאלה שנשאלה קודם: אם $M$ היא פעולה הסתברותית על $\mathsf{X},$ $N$ היא פעולה הסתברותית על $\mathsf{Y},$ ושתי הפעולות מבוצעות בצורה עצמאית, אז הפעולה המתקבלת על המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא המכפלה הטנסורית $M\otimes N.$

כך, הן עבור מצבים הסתברותיים והן עבור פעולות הסתברותיות, מכפלות טנסוריות מייצגות עצמאות. אם יש לנו שתי מערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ שנמצאות באופן עצמאי במצבים הסתברותיים $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle,$ אז המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ נמצאת במצב ההסתברותי $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ ואם אנחנו מיישמים פעולות הסתברותיות $M$ ו-$N$ על שתי המערכות באופן עצמאי, אז הפעולה המתקבלת על המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מתוארת על ידי הפעולה $M\otimes N.$

בואו נסתכל על דוגמה, שמזכירה פעולה הסתברותית על ביט יחיד מהשיעור הקודם: אם המצב הקלאסי של הביט הוא $0,$ הוא נשאר כפי שהוא; ואם המצב הקלאסי של הביט הוא $1,$ הוא נהפך ל-0 בהסתברות $1/2.$ ראינו שפעולה זו מיוצגת על ידי המטריצה

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

אם פעולה זו מבוצעת על ביט $\mathsf{X},$ ופעולת NOT מבוצעת (באופן עצמאי) על ביט שני $\mathsf{Y},$ אז הפעולה המשותפת על המערכת המורכבת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ בעלת ייצוג המטריצה

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

בבדיקה, אפשר לראות שזוהי מטריצה סטוכסטית. זה תמיד יהיה המצב: המכפלה הטנסורית של שתי מטריצות סטוכסטיות או יותר היא תמיד סטוכסטית.

מצב נפוץ שאנחנו נתקלים בו הוא כזה שבו פעולה אחת מבוצעת על מערכת אחת ושום דבר לא נעשה לאחרת. במקרה כזה, בדיוק אותה גישה מיושמת, תוך שמירה בראש שהאי-עשייה מיוצגת על ידי מטריצת הזהות. לדוגמה, איפוס הביט $\mathsf{X}$ למצב $0$ ואי-עשייה דבר ל-$\mathsf{Y}$ מניבים את הפעולה ההסתברותית (ולמעשה הדטרמיניסטית) על $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המיוצגת על ידי המטריצה

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$