מידע קוונטי

עכשיו אנחנו מוכנים לעבור למידע קוונטי בהקשר של מערכות מרובות. בדומה לשיעור הקודם על מערכות בודדות, התיאור המתמטי של מידע קוונטי עבור מערכות מרובות דומה מאוד למקרה ההסתברותי ומשתמש במושגים וטכניקות דומים.

מצבים קוונטיים

ניתן להסתכל על מערכות מרובות באופן קולקטיבי כמערכות מורכבות בודדות. כבר ראינו זאת בהקשר ההסתברותי, וההקשר הקוונטי אנלוגי לו. מצבים קוונטיים של מערכות מרובות מיוצגים אפוא על ידי וקטורי עמודה בעלי ערכים מרוכבים ונורמה אוקלידית השווה ל-$1,$ בדיוק כמו מצבים קוונטיים של מערכות בודדות. במקרה של מערכות מרובות, הערכים של וקטורים אלה מתאימים למכפלה הקרטזית של קבוצות המצבים הקלאסיים השייכות לכל אחת מהמערכות הנפרדות, מפני שזוהי קבוצת המצבים הקלאסיים של המערכת המורכבת.

למשל, אם $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם Qubitים, אז קבוצת המצבים הקלאסיים של זוג ה-Qubitים $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ הנחשב באופן קולקטיבי כמערכת אחת, היא המכפלה הקרטזית $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ על ידי ייצוג זוגות של ערכים בינאריים כמחרוזות בינאריות באורך שניים, אנחנו מקשרים את קבוצת המכפלה הקרטזית עם הקבוצה $\{00,01,10,11\}.$ הוקטורים הבאים הם לכן דוגמאות לוקטורי מצב קוונטי של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

ישנן וריאציות על הדרך שבה מצבים קוונטיים של מערכות מרובות מבוטאים, ואנחנו יכולים לבחור את הוריאציה שמתאימה לנו. הנה כמה דוגמאות לוקטור המצב הקוונטי הראשון לעיל.

1. אנחנו יכולים להשתמש בעובדה ש-$\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (לכל מצבים קלאסיים $a$ ו-$b$) ולכתוב במקום זאת

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. אנחנו יכולים לבחור לכתוב את סמל המכפלה הטנזורית במפורש כך:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. אנחנו יכולים להוסיף כתב תחתון לkets כדי לציין כיצד הם מתאימים למערכות הנדונות, כך:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

כמובן, אנחנו יכולים גם לכתוב וקטורי מצב קוונטי במפורש כוקטורי עמודה:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

בהתאם להקשר שבו הם מופיעים, אחת מהוריאציות הללו עשויה להיות מועדפת — אבל כולן שקולות במובן שהן מתארות את אותו הוקטור.

מכפלות טנזוריות של וקטורי מצב קוונטי

בדומה למה שיש לנו עבור וקטורי הסתברות, מכפלות טנזוריות של וקטורי מצב קוונטי הן גם כן וקטורי מצב קוונטי — ושוב הן מייצגות עצמאות בין מערכות.

בפירוט רב יותר, ומתחילים במקרה של שתי מערכות, נניח ש-$\vert \phi \rangle$ הוא וקטור מצב קוונטי של מערכת $\mathsf{X}$ ו-$\vert \psi \rangle$ הוא וקטור מצב קוונטי של מערכת $\mathsf{Y}.$ המכפלה הטנזורית $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ שניתן לכתוב אותה לחלופין כ- $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ או כ-$\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ היא אז וקטור מצב קוונטי של המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ שוב אנחנו מתייחסים למצב בצורה כזו בתור מצב מכפלה.

באופן אינטואיטיבי, כשזוג מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ נמצא במצב מכפלה $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ אנחנו יכולים לפרש זאת כמשמעות ש-$\mathsf{X}$ נמצא במצב קוונטי $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ נמצא במצב קוונטי $\vert \psi \rangle,$ ולמצבים של שתי המערכות אין קשר זה לזה.

העובדה שהוקטור המכפלה הטנזורית $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ הוא אכן וקטור מצב קוונטי עקבית עם הנורמה האוקלידית שהיא מכפילה ביחס למכפלות טנזוריות:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

מכיוון ש-$\vert \phi \rangle$ ו-$\vert \psi \rangle$ הם וקטורי מצב קוונטי, יש לנו $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ ו-$\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ ולכן $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ כך ש-$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ הוא גם כן וקטור מצב קוונטי.

הדבר מוכלל ליותר משתי מערכות. אם $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ הם וקטורי מצב קוונטי של מערכות $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ אז $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ הוא וקטור מצב קוונטי המייצג מצב מכפלה של המערכת המשותפת $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ שוב, אנחנו יודעים שזהו וקטור מצב קוונטי מפני ש-

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

מצבים שזורים

לא כל וקטורי המצב הקוונטי של מערכות מרובות הם מצבי מכפלה. לדוגמה, וקטור המצב הקוונטי

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

של שני Qubitים אינו מצב מכפלה. כדי להוכיח זאת, אנחנו יכולים לעקוב בדיוק אחרי אותו הטיעון שהשתמשנו בו בסעיף הקודם עבור מצב הסתברותי. כלומר, אם $(1)$ היה מצב מכפלה, היו קיימים וקטורי מצב קוונטי $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle$ שעבורם

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

אבל אז בהכרח היה מתקיים

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

מה שמשמע ש-$\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ או $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (או שניהם). זה סותר את העובדה ש-

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ו-

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

שניהם שונים מאפס. לכן, וקטור המצב הקוונטי $(1)$ מייצג מתאם בין שתי מערכות, ובאופן ספציפי אנחנו אומרים שהמערכות שזורות.

שימו לב שהערך הספציפי $1/\sqrt{2}$ אינו חשוב לטיעון זה — כל שחשוב הוא שהערך הזה שונה מאפס. לכן, למשל, המצב הקוונטי

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

גם הוא אינו מצב מכפלה, על ידי אותו הטיעון.

שזירה היא תכונה מהותית של מידע קוונטי שתידון בפירוט רב יותר בשיעור מאוחר יותר. שזירה יכולה להיות מסובכת, במיוחד עבור מצבים קוונטיים רועשים שניתן לתאר אותם על ידי מטריצות צפיפות (הנדונות בקורס ניסוח כללי של מידע קוונטי, שהוא הקורס השלישי בסדרה הבנת מידע וחישוב קוונטי). עבור וקטורי מצב קוונטי, לעומת זאת, שזירה שקולה למתאם: כל וקטור מצב קוונטי שאינו מצב מכפלה מייצג מצב שזור.

לעומת זאת, וקטור המצב הקוונטי

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

הוא דוגמה למצב מכפלה.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

לכן, מצב זה אינו שזור.

מצבי Bell

עכשיו נסתכל על כמה דוגמאות חשובות של מצבים קוונטיים של Qubitים מרובים, מתחילים עם מצבי Bell. אלה הם ארבעת מצבי שני ה-Qubitים הבאים:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

מצבי Bell נקראים על שם John Bell. שימו לב שאותו הטיעון שמוכיח ש-$\vert\phi^+\rangle$ אינו מצב מכפלה מראה שגם אף אחד מהמצבי Bell האחרים אינו מצב מכפלה: כל ארבעת מצבי Bell מייצגים שזירה בין שני Qubitים.

האוסף של כל ארבעת מצבי Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

ידוע בתור בסיס Bell. כשמו כן הוא, זהו בסיס; כל וקטור מצב קוונטי של שני Qubitים, ולמעשה כל וקטור מרוכב בעל ערכים המתאימים לארבעת המצבים הקלאסיים של שני ביטים, ניתן להביע כצירוף לינארי של ארבעת מצבי Bell. לדוגמה,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

מצבי GHZ ו-W

עכשיו נבחן שתי דוגמאות מעניינות של מצבים של שלושה Qubitים. הדוגמה הראשונה היא מצב GHZ (נקרא כך לכבוד Daniel Greenberger, Michael Horne ו-Anton Zeilinger, שחקרו לראשונה חלק מתכונותיו):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

הדוגמה השנייה היא מה שנקרא מצב W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

אף אחד מהמצבים הללו אינו מצב מכפלה, כלומר לא ניתן לכתוב אותם כמכפלה טנזורית של שלושה וקטורי מצב קוונטי של qubit. נבחן את שני המצבים הללו מאוחר יותר כשנדון במדידות חלקיות של מצבים קוונטיים של מערכות מרובות.

דוגמאות נוספות

הדוגמאות למצבים קוונטיים של מערכות מרובות שראינו עד כה הן מצבים של שניים או שלושה Qubitים, אבל אנחנו יכולים גם לבחון מצבים קוונטיים של מערכות מרובות בעלות קבוצות מצבים קלאסיים שונות.

לדוגמה, הנה מצב קוונטי של שלוש מערכות, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ ו-$\mathsf{Z},$ שבו קבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}$ היא האלפבית הבינארי (כך ש-$\mathsf{X}$ הוא qubit) וקבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{Y}$ ו-$\mathsf{Z}$ היא $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

והנה דוגמה למצב קוונטי של שלוש מערכות, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ ו-$\mathsf{Z},$ שכולן חולקות את אותה קבוצת מצבים קלאסיים $\{0,1,2\}:$

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

מערכות בעלות קבוצת מצבים קלאסיים $\{0,1,2\}$ נקראות לעתים קרובות trits או (בהנחה שהן יכולות להיות במצב קוונטי) qutrits. המונח qudit מתייחס למערכת בעלת קבוצת מצבים קלאסיים $\{0,\ldots,d-1\}$ עבור בחירה שרירותית של $d.$

מדידות של מצבים קוונטיים

מדידות בבסיס סטנדרטי של מצבים קוונטיים של מערכות בודדות נדונו בשיעור הקודם: אם מערכת שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\Sigma$ נמצאת במצב קוונטי המיוצג על ידי הוקטור $\vert \psi \rangle,$ ואותה מערכת נמדדת (ביחס למדידה בבסיס סטנדרטי), אז כל מצב קלאסי $a\in\Sigma$ מופיע בהסתברות $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ זה אומר לנו מה קורה כאשר יש לנו מצב קוונטי של מערכות מרובות ואנו בוחרים למדוד את המערכת המורכבת כולה, שזה שקול למדידת כל המערכות.

כדי לנסח זאת במדויק, נניח ש-$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ הן מערכות עם קבוצות מצבים קלאסיים $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ בהתאמה. אפשר אז להתייחס ל-$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ ביחד כמערכת אחת שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא המכפלה הקרטזית $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ אם מצב קוונטי של מערכת זו מיוצג על ידי וקטור המצב הקוונטי $\vert\psi\rangle,$ וכל המערכות נמדדות, אז כל תוצאה אפשרית $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ מופיעה בהסתברות $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

לדוגמה, אם המערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ נמצאות יחד במצב הקוונטי

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

אז מדידת שתי המערכות במדידות בבסיס סטנדרטי נותנת את התוצאה $(0,\heartsuit)$ בהסתברות $9/25$ ואת התוצאה $(1,\spadesuit)$ בהסתברות $16/25.$

מדידות חלקיות

עכשיו נשקול את המצב שבו יש לנו מערכות מרובות במצב קוונטי כלשהו, ואנו מודדים תת-קבוצה ממשית של המערכות. כמקודם, נתחיל עם שתי מערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ עם קבוצות מצבים קלאסיים $\Sigma$ ו-$\Gamma,$ בהתאמה.

בכלל, וקטור מצב קוונטי של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ לובש את הצורה

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

כאשר $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ היא אוסף של מספרים מרוכבים המקיים

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

שזה שקול ל-$\vert \psi \rangle$ שהוא וקטור יחידה.

כבר ידוע לנו, מהדיון לעיל, שאם גם $\mathsf{X}$ וגם $\mathsf{Y}$ נמדדות, אז כל תוצאה אפשרית $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ מופיעה בהסתברות

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

אם נניח במקום זאת שרק המערכת הראשונה $\mathsf{X}$ נמדדת, ההסתברות שכל תוצאה $a\in\Sigma$ תופיע חייבת להיות שווה ל-

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

זה עקבי עם מה שכבר ראינו בהגדרה ההסתברותית, וגם עם ההבנה הנוכחית שלנו בפיזיקה: ההסתברות שכל תוצאה תופיע כאשר $\mathsf{X}$ נמדדת לא יכולה להיות תלויה בשאלה אם $\mathsf{Y}$ נמדדה גם היא, כי זה היה מאפשר תקשורת מהירה מהאור.

לאחר שהתקבלה תוצאה מסוימת $a\in\Sigma$ ממדידה בבסיס סטנדרטי של $\mathsf{X},$ אנחנו מצפים באופן טבעי שהמצב הקוונטי של $\mathsf{X}$ ישתנה כך שיהיה שווה ל-$\vert a\rangle,$ בדיוק כפי שקרה עבור מערכות בודדות. אבל מה קורה למצב הקוונטי של $\mathsf{Y}$?

כדי לענות על שאלה זו, אנחנו יכולים תחילה לבטא את הוקטור $\vert\psi\rangle$ בצורה

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

כאשר

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

לכל $a\in\Sigma.$ כאן אנחנו פועלים לפי אותה שיטה כמו במקרה ההסתברותי, של בידוד מצבי הבסיס הסטנדרטי של המערכת הנמדדת. ההסתברות שמדידת הבסיס הסטנדרטי של $\mathsf{X}$ תיתן כל תוצאה $a$ היא:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

וכתוצאה ממדידת הבסיס הסטנדרטי של $\mathsf{X}$ שנותנת את התוצאה $a,$ המצב הקוונטי של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ יחד הופך להיות

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

כלומר, המצב "קורס" כמו במקרה של מערכת בודדת, אבל רק במידה הנדרשת כדי שהמצב יהיה עקבי עם מדידת $\mathsf{X}$ שהניבה את התוצאה $a.$

בלשון לא פורמלית, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ מייצג את הרכיב של $\vert \psi\rangle$ שעקבי עם מדידת $\mathsf{X}$ שמניבה את התוצאה $a.$ אנחנו מנרמלים את הוקטור הזה — על ידי חלוקה בנורמה האוקלידית שלו, השווה ל-$\|\vert\phi_a\rangle\|$ — כדי לקבל וקטור מצב קוונטי חוקי שהנורמה האוקלידית שלו שווה ל-$1.$ שלב הנרמול הזה דומה למה שעשינו בהגדרה ההסתברותית כאשר חילקנו וקטורים בסכום הרכיבים שלהם כדי לקבל וקטור הסתברות.

כדוגמה, נשקול את המצב של שני qubit-ים $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מתחילת הפרק:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

כדי להבין מה קורה כאשר המערכת הראשונה $\mathsf{X}$ נמדדת, נתחיל בכתיבה

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

עכשיו אנחנו רואים, על פי התיאור לעיל, שההסתברות שהמדידה תניב את התוצאה $0$ היא

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

ובמקרה זה המצב של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הופך להיות

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

וההסתברות שהמדידה תניב את התוצאה $1$ היא

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

ובמקרה זה המצב של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הופך להיות

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

אותה טכניקה, בשימוש סימטרי, מתארת מה קורה אם המערכת השנייה $\mathsf{Y}$ נמדדת במקום הראשונה. הפעם אנחנו מחדשים את כתיבת הוקטור $\vert \psi \rangle$ בצורה

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

ההסתברות שמדידת $\mathsf{Y}$ נותנת את התוצאה $0$ היא

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

ובמקרה זה המצב של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הופך להיות

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

וההסתברות שתוצאת המדידה היא $1$ היא

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

ובמקרה זה המצב של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ הופך להיות

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

הערה על מצבים קוונטיים מוקטנים

הדוגמה הקודמת מדגימה מגבלה של התיאור הפשוט של מידע קוונטי, והיא שהוא לא מציע לנו דרך לתאר את המצב הקוונטי המוקטן (או השולי) של מערכת אחת בלבד מתוך שתי מערכות (או של תת-קבוצה ממשית מתוך כל מספר של מערכות) כמו במקרה ההסתברותי.

ספציפית, עבור מצב הסתברותי של שתי מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המתואר על ידי וקטור הסתברות

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

אנחנו יכולים לכתוב את המצב ההסתברותי המוקטן או השולי של $\mathsf{X}$ לבדה בצורה

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

עבור וקטורי מצב קוונטי, אין דרך אנלוגית לעשות זאת. בפרט, עבור וקטור מצב קוונטי

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

הוקטור

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

אינו וקטור מצב קוונטי בכלל, ולא מייצג כראוי את המושג של מצב מוקטן או שולי.

מה שאנחנו יכולים לעשות במקום זאת הוא לפנות למושג של מטריצת צפיפות, הנדון בקורס ניסוח כללי של מידע קוונטי. מטריצות צפיפות מספקות לנו דרך משמעותית להגדיר מצבים קוונטיים מוקטנים שהיא אנלוגית להגדרה ההסתברותית.

מדידות חלקיות עבור שלוש מערכות או יותר

מדידות חלקיות עבור שלוש מערכות או יותר, שבהן נמדדת תת-קבוצה ממשית של המערכות, ניתנות לצמצום למקרה של שתי מערכות על ידי חלוקת המערכות לשתי אוספות — אלה שנמדדות ואלה שלא. הנה דוגמה ספציפית שממחישה כיצד ניתן לעשות זאת. היא מדגימה באופן ספציפי כיצד הוספת כתבי-תחתית לקטים המציינים אילו מערכות הם מייצגים יכולה להיות שימושית — במקרה זה מפני שהיא מספקת לנו דרך פשוטה לתאר תמורות של המערכות.

בדוגמה זו, נשקול מצב קוונטי של 5-יה של מערכות $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ כאשר לכל חמש המערכות אותה קבוצת מצבים קלאסיים $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

נשקול את המצב שבו המערכות הראשונה והשלישית נמדדות, והמערכות הנותרות נשארות כמות שהן.

מבחינה קונספטואלית, אין הבדל יסודי בין מצב זה לבין אחד שבו אחת משתי מערכות נמדדת. לצערנו, מכיוון שהמערכות הנמדדות מפוזרות בין המערכות שאינן נמדדות, אנחנו נתקלים במכשול בכתיבת הביטויים הנדרשים לביצוע החישובים הללו.

אחת הדרכים להמשיך, כפי שהוצע לעיל, היא להוסיף כתבי-תחתית לקטים כדי לציין אילו מערכות הם מתייחסים אליהן. זה נותן לנו דרך לעקוב אחר המערכות כשאנו מסדרים מחדש את הקטים, מה שמפשט את המתמטיקה.

ראשית, וקטור המצב הקוונטי לעיל ניתן לכתוב לחלופין בצורה

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

לא השתנה דבר, פרט לכך שלכל קט יש עכשיו כתב-תחתית המציין לאיזו מערכת הוא מתאים. כאן השתמשנו בכתבי-תחתית $0,\ldots,4,$ אך שמות המערכות עצמם יכולים לשמש גם הם (במצב שבו יש לנו שמות מערכות כגון $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ ו-$\mathsf{Z},$ למשל).

עכשיו אנחנו יכולים לסדר מחדש את הקטים ולאסוף איברים כדלקמן:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

מכפלות הטנסור עדיין מרומזות, גם כאשר נעשה שימוש בסוגריים, כפי שבדוגמה זו.

כדי להיות ברורים לגבי סידור מחדש של הקטים, מכפלות טנסור אינן חילופיות: אם $\vert \phi\rangle$ ו-$\vert \pi \rangle$ הם וקטורים, אז בכלל, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ שונה מ-$\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ וכן הלאה עבור מכפלות טנסור של שלושה וקטורים או יותר. למשל, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ הוא וקטור שונה מ- $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ סידור מחדש של הקטים כפי שעשינו זה עתה לא צריך להתפרש כסותר זאת.

למעשה, לצורך ביצוע חישובים, אנחנו פשוט מחליטים שנוח יותר לקבץ את המערכות כ-$(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ במקום $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ כתבי-התחתית על הקטים משמשים לשמירת הסדר, ואנו חופשיים לחזור לסדר המקורי מאוחר יותר אם נרצה.

עכשיו אנחנו רואים שאם המערכות $\mathsf{X}_4$ ו-$\mathsf{X}_2$ נמדדות, ההסתברויות השונות (השונות מאפס) של התוצאות הן:

• תוצאת המדידה $(\heartsuit,\diamondsuit)$ מתרחשת בהסתברות

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• תוצאת המדידה $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ מתרחשת בהסתברות

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• תוצאת המדידה $(\spadesuit,\clubsuit)$ מתרחשת בהסתברות

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

אם תוצאת המדידה היא $(\heartsuit,\diamondsuit),$ למשל, המצב המתקבל של חמש המערכות שלנו הופך להיות

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

כאן, בתשובה הסופית, חזרנו לסדר המקורי של המערכות, רק כדי להמחיש שאנו יכולים לעשות זאת. עבור תוצאות המדידה האפשריות האחרות, ניתן לקבוע את המצב בדרך דומה.

לבסוף, הנה שתי דוגמאות שהובטחו קודם, מתחילים במצב GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

אם רק המערכת הראשונה נמדדת, נקבל את התוצאה $0$ בהסתברות $1/2,$ ובמקרה זה המצב של שלושת ה-Qubit-ים הופך ל-$\vert 000\rangle;$ ונקבל גם את התוצאה $1$ בהסתברות $1/2,$ ובמקרה זה המצב של שלושת ה-Qubit-ים הופך ל-$\vert 111\rangle.$

עבור מצב W, לעומת זאת, בהנחה שוב שרק המערכת הראשונה נמדדת, נתחיל בכתיבת מצב זה כך:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

ההסתברות שמדידת ה-Qubit הראשון מניבה את התוצאה 0 שווה אפוא ל-

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

ובהתניה על כך שהמדידה מניבה תוצאה זו, המצב הקוונטי של שלושת ה-Qubit-ים הופך להיות

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

ההסתברות שתוצאת המדידה היא 1 היא $1/3,$ ובמקרה זה המצב של שלושת ה-Qubit-ים הופך ל-$\vert 100\rangle.$

מצב W הוא סימטרי, במובן שהוא לא משתנה אם נחליף את הסדר של ה-Qubit-ים. לכן נקבל תיאור דומה עבור מדידת ה-Qubit השני או השלישי במקום הראשון.

פעולות יוניטריות

באופן עקרוני, כל מטריצה יוניטרית שהשורות והעמודות שלה מתאימות למצבים הקלאסיים של מערכת מסוימת מייצגת פעולה קוונטית תקינה על אותה מערכת. כמובן, הדבר נכון גם למערכות מורכבות, שקבוצות המצבים הקלאסיים שלהן הן מכפלות קרטזיות של קבוצות המצבים הקלאסיים של המערכות הנפרדות.

אם נתמקד בשתי מערכות: נניח ש-$\mathsf{X}$ היא מערכת עם קבוצת מצבים קלאסיים $\Sigma,$ ו-$\mathsf{Y}$ היא מערכת עם קבוצת מצבים קלאסיים $\Gamma,$ אז קבוצת המצבים הקלאסיים של המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא $\Sigma\times\Gamma.$ לכן, פעולות קוונטיות על מערכת משותפת זו מיוצגות על ידי מטריצות יוניטריות שהשורות והעמודות שלהן מתאימות לקבוצה $\Sigma\times\Gamma.$ הסדר של השורות והעמודות במטריצות הללו זהה לסדר המשמש לוקטורי המצב הקוונטי של המערכת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

לדוגמה, נניח ש-$\Sigma = \{1,2,3\}$ ו-$\Gamma = \{0,1\},$ ונזכור שהמוסכמה הסטנדרטית לסידור איברי המכפלה הקרטזית $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ היא:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

הנה דוגמה למטריצה יוניטרית המייצגת פעולה על $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

מטריצה יוניטרית זו אינה מיוחדת — היא רק דוגמה. כדי לוודא ש-$U$ אכן יוניטרית, מספיק לחשב ולבדוק ש-$U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ למשל. לחלופין, ניתן לבדוק שהשורות (או העמודות) הן אורתונורמליות, מה שפשוט יותר במקרה זה בשל הצורה הפרטיקולרית של המטריצה $U.$

הפעולה של $U$ על וקטור הבסיס הסטנדרטי $\vert 1, 1 \rangle,$ למשל, היא

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

וניתן לראות זאת על ידי בחינת העמודה השנייה של $U,$ בהתחשב בסדר שבחרנו לקבוצה $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

כמו עם כל מטריצה, ניתן לבטא את $U$ באמצעות סימון דיראק, שידרוש 20 איברים עבור 20 הכניסות השונות מאפס של $U.$ אבל אם היינו כותבים את כל האיברים הללו, במקום לכתוב מטריצה $6\times 6,$ זה היה מבולגן וכנראה לא היה מדגיש את הדפוסים הניכרים מביטוי המטריצה. פשוט: סימון דיראק לא תמיד הוא הבחירה הטובה ביותר.

פעולות יוניטריות על שלוש מערכות או יותר פועלות בדרך דומה, כאשר למטריצות היוניטריות שורות ועמודות המתאימות למכפלה הקרטזית של קבוצות המצבים הקלאסיים של המערכות. כבר ראינו דוגמה אחת בשיעור זה: פעולת שלושת ה-Qubit

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

כאשר מספרים בסוגריים מייצגים את הקידוד הבינארי ב-$3$ ביטים שלהם. בנוסף להיותה פעולה דטרמיניסטית, זוהי גם פעולה יוניטרית. פעולות שהן גם דטרמיניסטיות וגם יוניטריות נקראות פעולות הפיכות. הצמוד ההרמוני של מטריצה זו ניתן לכתיבה כך:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

זה מייצג את ההפך, או במונחים מתמטיים ההופכי, של הפעולה המקורית — בדיוק כפי שניתן לצפות מהצמוד ההרמוני של מטריצה יוניטרית. נראה דוגמאות נוספות לפעולות יוניטריות על מערכות מרובות בהמשך השיעור.

פעולות יוניטריות המבוצעות באופן עצמאי על מערכות נפרדות

כאשר פעולות יוניטריות מבוצעות באופן עצמאי על אוסף של מערכות נפרדות, הפעולה המשולבת של פעולות עצמאיות אלו מתוארת על ידי המכפלה הטנסורית של המטריצות היוניטריות המייצגות אותן. כלומר, אם $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ הן מערכות קוונטיות, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ הן מטריצות יוניטריות המייצגות פעולות על מערכות אלו, והפעולות מבוצעות באופן עצמאי על המערכות, אז הפעולה המשולבת על $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ מיוצגת על ידי המטריצה $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ שוב, אנחנו מוצאים שההגדרות ההסתברותיות והקוונטיות אנלוגיות בהקשר זה.

מצופה, לאחר קריאת הפסקה הקודמת, שהמכפלה הטנסורית של כל אוסף מטריצות יוניטריות היא יוניטרית. אכן, הדבר נכון, וניתן לאמת זאת כך.

שימו לב תחילה שפעולת הצמוד ההרמוני מקיימת

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

לכל בחירת מטריצות $M_0,\ldots,M_{n-1}.$ ניתן לבדוק זאת על ידי חזרה להגדרת המכפלה הטנסורית ושל הצמוד ההרמוני, ולאמת שכל כניסה בשני הצדדים של המשוואה זהה. משמעות הדבר היא ש-

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

מכיוון שהמכפלה הטנסורית של מטריצות היא מולטיפליקטיבית, נמצא ש-

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

כאן כתבנו $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ כדי להתייחס למטריצות המייצגות את פעולת הזהות על המערכות $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ כלומר אלו הן מטריצות יחידה שגודלן תואם את מספר המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

לבסוף, המכפלה הטנסורית $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ שווה למטריצת היחידה שיש לה מספר שורות ועמודות השווה למכפלת מספר השורות והעמודות של המטריצות $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ מטריצת יחידה גדולה זו מייצגת את פעולת הזהות על המערכת המשותפת $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

לסיכום, קיבלנו את רצף השוויונות הבא:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

לכן אנחנו מסיקים ש-$U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ היא יוניטרית.

מצב חשוב שעולה לעיתים קרובות הוא כזה שבו פעולה יוניטרית מוחלת על מערכת אחת בלבד — או תת-קבוצה מתאימה של מערכות — בתוך מערכת משותפת גדולה יותר. לדוגמה, נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן מערכות שניתן לראות אותן יחד כמערכת מורכבת אחת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ ואנו מבצעים פעולה רק על המערכת $\mathsf{X}.$ ליתר דיוק, נניח ש-$U$ היא מטריצה יוניטרית המייצגת פעולה על $\mathsf{X},$ כך שהשורות והעמודות שלה מתאימות למצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}.$

לומר שאנו מבצעים את הפעולה המיוצגת על ידי $U$ רק על המערכת $\mathsf{X}$ מרמז שאנו לא עושים דבר ל-$\mathsf{Y},$ כלומר שאנו מבצעים באופן עצמאי את $U$ על $\mathsf{X}$ ואת פעולת הזהות על $\mathsf{Y}.$ כלומר, "לא לעשות דבר" ל-$\mathsf{Y}$ שקול לביצוע פעולת הזהות על $\mathsf{Y},$ המיוצגת על ידי מטריצת היחידה $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (האינדקס $\mathsf{Y}$ מציין ש-$\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ מתייחסת למטריצת יחידה שמספר השורות והעמודות שלה תואם את קבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{Y}.$) הפעולה על $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המתקבלת כאשר מבצעים את $U$ על $\mathsf{X}$ ולא עושים דבר ל-$\mathsf{Y}$ מיוצגת לכן על ידי המטריצה היוניטרית

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

לדוגמה, אם $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם qubit, ביצוע פעולת Hadamard על $\mathsf{X}$ ואי-עשיית דבר ל-$\mathsf{Y}$ שקול לביצוע הפעולה

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

על המערכת המשותפת $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

באופן דומה, אם פעולה המיוצגת על ידי מטריצה יוניטרית $U$ מוחלת על $\mathsf{Y}$ ולא נעשה דבר ל-$\mathsf{X},$ הפעולה המתקבלת על $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מיוצגת על ידי המטריצה היוניטרית

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

לדוגמה, אם שוב נשקול את המצב שבו $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם qubit ו-$U$ היא פעולת Hadamard, הפעולה המתקבלת על $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ מיוצגת על ידי המטריצה

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

לא כל פעולה יוניטרית על אוסף מערכות ניתנת לכתיבה כמכפלה טנסורית של פעולות יוניטריות כזו, בדיוק כשם שלא כל וקטור מצב קוונטי של מערכות אלו הוא מצב מכפלה. לדוגמה, לא פעולת ה-SWAP ולא פעולת ה-controlled-NOT על שני qubit, המתוארות להלן, ניתנות לביטוי כמכפלה טנסורית של פעולות יוניטריות.

פעולת ה-SWAP

לסיום השיעור, נבחן שתי קבוצות של דוגמאות לפעולות יוניטריות על מערכות מרובות, החל מפעולת ה-SWAP.

נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן מערכות החולקות את אותה קבוצת מצבים קלאסיים $\Sigma.$ פעולת ה-swap על הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא הפעולה שמחליפה את תוכן שתי המערכות, אך משאירה אותן כפי שהן — כך ש-$\mathsf{X}$ נשאר משמאל ו-$\mathsf{Y}$ נשאר מימין. נסמן פעולה זו כ-$\operatorname{SWAP},$ והיא פועלת כך לכל בחירת מצבים קלאסיים $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

אחת הדרכים לכתוב את המטריצה המשויכת לפעולה זו באמצעות סימון דיראק היא כדלקמן:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

ייתכן שלא מיד ברור שמטריצה זו מייצגת את $\operatorname{SWAP},$ אבל ניתן לבדוק שהיא מקיימת את התנאי $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ לכל בחירת מצבים קלאסיים $a,b\in\Sigma.$ כדוגמה פשוטה, כאשר $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם qubit, נמצא ש-

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

פעולות controlled-unitary

כעת נניח ש-$\mathsf{Q}$ הוא qubit ו-$\mathsf{R}$ היא מערכת שרירותית, עם כל קבוצת מצבים קלאסיים שנרצה. לכל פעולה יוניטרית $U$ הפועלת על המערכת $\mathsf{R},$ פעולת controlled-$U$ היא פעולה יוניטרית על הזוג $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ המוגדרת כך:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

לדוגמה, אם $\mathsf{R}$ הוא גם qubit, ואנו שוקלים את פעולת Pauli $X$ על $\mathrm{R},$ אז פעולת controlled-$X$ נתונה על ידי

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

כבר נתקלנו בפעולה זו בהקשר של מידע קלאסי ופעולות הסתברותיות מוקדם יותר בשיעור. החלפת פעולת Pauli $X$ על $\mathsf{R}$ בפעולת $Z$ נותנת את הפעולה הבאה:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

אם במקום זאת ניקח את $\mathsf{R}$ כשני qubit, ונבחר את $U$ כפעולת ה-swap בין שני ה-Qubit הללו, נקבל את הפעולה הבאה:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

פעולה זו ידועה גם כפעולת Fredkin, או ביתר שכיחות, Fredkin gate. הפעולה שלה על מצבי בסיס סטנדרטיים ניתן לתאר כך:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

לבסוף, פעולת controlled-controlled-NOT, שנסמן אותה כ-$CCX,$ נקראת פעולת Toffoli או Toffoli gate. ייצוג המטריצה שלה נראה כך:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

ניתן לבטאה לחלופין באמצעות סימון דיראק כך:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$