פעולות ואובייקטים של פאולי

מטריצות פאולי ממלאות תפקיד מרכזי בפורמליזם המייצב. נפתח את השיעור בדיון על מטריצות פאולי, כולל חלק מהתכונות האלגבריות הבסיסיות שלהן, ונדון גם כיצד מטריצות פאולי (ומכפלות טנסוריות של מטריצות פאולי) יכולות לתאר מדידות.

יסודות פעולות פאולי

להלן מטריצות פאולי, כולל מטריצת הזהות $2\times 2$ ושלוש מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

תכונות מטריצות פאולי

כל ארבע מטריצות פאולי הן גם אוניטריות וגם הרמיטיות. השתמשנו בשמות $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ ו-$\sigma_z$ כדי לציין את מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות מוקדם יותר בסדרה, אך המוסכמה היא להשתמש במקום זאת באותיות הגדולות $X,$ $Y,$ ו-$Z$ בהקשר של תיקון שגיאות. מוסכמה זו הוחלה בשיעור הקודם, ונמשיך לעשות כן בשיעורים הנותרים.

מטריצות פאולי שונות שאינן מטריצת הזהות אנטי-מתחלפות זו עם זו.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

יחסי האנטי-התחלפות האלה פשוטים וקל לאמת אותם על ידי ביצוע הכפלות, אך הם בעלי חשיבות קריטית בפורמליזם המייצב ובמקומות אחרים. כפי שנראה, הסימנים השליליים המופיעים כשסדר שתי מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות מתחלף במכפלת מטריצות מתאים בדיוק לגילוי שגיאות בפורמליזם המייצב.

יש לנו גם את כללי הכפל המופיעים כאן.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

כלומר, כל מטריצת פאולי היא ההופכית של עצמה (וזה תמיד נכון לכל מטריצה שהיא גם אוניטרית וגם הרמיטית), וכפל של שתי מטריצות פאולי שונות שאינן מטריצת הזהות תמיד שווה ל-$\pm i$ כפול מטריצת פאולי הנותרת שאינה מטריצת הזהות. בפרט, עד כדי גורם פאזה, $Y$ שקולה ל-$X Z,$ וזה מסביר את ההתמקדות שלנו בשגיאות $X$ ו-$Z$ ואת חוסר העניין הלכאורי בשגיאות $Y$ בתיקון שגיאות קוונטי; $X$ מייצגת היפוך ביט, $Z$ מייצגת היפוך פאזה, ולכן (עד כדי גורם פאזה גלובלי) $Y$ מייצגת את שתי השגיאות הללו המתרחשות בו-זמנית על אותו Qubit.

פעולות פאולי על Qubits מרובים

ארבע מטריצות פאולי מייצגות כולן פעולות (שיכולות להיות שגיאות) על Qubit בודד — ועל ידי לקיחת מכפלות טנסוריות שלהן אנו מקבלים פעולות על Qubits מרובים. כנקודת מינוח, כשאנו מתייחסים ל-פעולת פאולי על n-Qubits, אנו מתכוונים למכפלה טנסורית של $n$ מטריצות פאולי כלשהן, כמו הדוגמאות המוצגות כאן, שעבורן $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

לעתים קרובות, המונח פעולת פאולי מתייחס למכפלה טנסורית של מטריצות פאולי יחד עם גורם פאזה, או לעיתים רק לגורמי פאזה מסוימים כמו $\pm 1$ ו-$\pm i.$ יש סיבות טובות לאפשר גורמי פאזה כאלה מנקודת מבט מתמטית — אך, כדי לשמור על הפשטות האפשרית, נשתמש במונח פעולת פאולי בקורס זה כדי להתייחס למכפלה טנסורית של מטריצות פאולי ללא אפשרות של גורם פאזה שונה מ-1.

ה-משקל של פעולת פאולי על $n$-Qubits הוא מספר מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות במכפלה הטנסורית. למשל, לדוגמה הראשונה לעיל יש משקל $0,$ לשנייה משקל $2,$ ולשלישית משקל $6.$ באופן אינטואיטיבי, המשקל של פעולת פאולי על $n$-Qubits הוא מספר ה-Qubits עליהם היא פועלת בצורה לא טריוויאלית. בדרך כלל, קודים לתיקון שגיאות קוונטיות מתוכננים כך שיוכלו לאתר ולתקן שגיאות המיוצגות על ידי פעולות פאולי כל עוד המשקל שלהן אינו גבוה מדי.

פעולות פאולי כמחוללים

לעיתים שימושי לשקול אוספים של פעולות פאולי כ-מחוללים של קבוצות (ביתר דיוק, חבורות) של פעולות, במובן אלגברי שאולי תכיר אם אתה מכיר תורת החבורות. אם אינך מכיר תורת החבורות, זה בסדר — זה אינו חיוני לשיעור. היכרות עם יסודות תורת החבורות מומלצת מאוד, עם זאת, למי שמעוניין לחקור את תיקון שגיאות קוונטיות לעומק.

נניח ש-$P_1, \ldots, P_r$ הן פעולות פאולי על $n$-Qubits. כשאנו מתייחסים ל-הקבוצה המיוצרת על ידי $P_1, \ldots, P_r,$ אנו מתכוונים לקבוצת כל המטריצות שניתן לקבל על ידי כפל המטריצות הללו יחד, בכל שילוב ובכל סדר שנבחר, כשכל אחת נלקחת כמה פעמים שנרצה. הסימון המשמש להתייחסות לקבוצה זו הוא $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

לדוגמה, הקבוצה המיוצרת על ידי שלוש מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות היא כדלקמן.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

ניתן לנמק זאת דרך כללי הכפל שפורטו קודם לכן. יש 16 מטריצות שונות בקבוצה זו, הנקראת בדרך כלל חבורת פאולי.

לדוגמה שנייה, אם נסיר את $Y,$ נקבל מחצית מחבורת פאולי.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

הנה דוגמה אחרונה (לעת עתה), שבה הפעם $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

במקרה זה אנו מקבלים רק ארבעה אלמנטים, בשל העובדה ש-$X\otimes X$ ו-$Z\otimes Z$ מתחלפות:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

אובייקטים של פאולי

מטריצות פאולי, ופעולות פאולי על $n$-Qubits באופן כללי, הן אוניטריות, ולכן הן מתארות פעולות אוניטריות על Qubits. אך הן גם מטריצות הרמיטיות, ומסיבה זו הן מתארות מדידות, כפי שיוסבר כעת.

אובייקטים של מטריצות הרמיטיות

נשקול תחילה מטריצה הרמיטית שרירותית $A.$ כשאנו מתייחסים ל-$A$ כ-אובייקט, אנו משייכים ל-$A$ מדידה השלכתית מסוימת המוגדרת באופן ייחודי. במילים, התוצאות האפשריות הן ערכי הייגן השונים של $A,$ וההשלכות המגדירות את המדידה הן אלה המקרינות על המרחבים שנפרשו על ידי וקטורי הייגן המתאימים של $A.$ לפיכך, התוצאות של מדידה כזו הן מספרים ממשיים — אך מכיוון שלמטריצות יש רק מספר סופי של ערכי ייגן, יהיו רק מספר סופי של תוצאות מדידה שונות לבחירה נתונה של $A.$

בפירוט רב יותר, לפי משפט הספקטרום, ניתן לכתוב

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

עבור ערכי ייגן ממשיים שונים $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ והשלכות $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ המקיימות

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

ביטוי כזה של מטריצה הוא ייחודי עד לסדר ערכי הייגן. דרך אחרת לומר זאת היא שאם נדרוש שערכי הייגן יהיו מסודרים בסדר יורד $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ אז יש רק דרך אחת לכתוב $A$ בצורה לעיל.

בהתבסס על ביטוי זה, המדידה שאנו משייכים לאובייקט $A$ היא המדידה ההשלכתית המתוארת על ידי ההשלכות $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ וערכי הייגן $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ מובנים כתוצאות המדידה המתאימות להשלכות אלה.

מדידות מפעולות פאולי

נראה כיצד נראות מדידות מהסוג שתואר זה עתה עבור פעולות פאולי, החל משלוש מטריצות פאולי שאינן מטריצת הזהות. למטריצות אלה יש פירוקים ספקטרליים כדלקמן.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

המדידות המוגדרות על ידי $X,$ $Y,$ ו-$Z,$ הנתפסות כאובייקטים, הן לפיכך המדידות ההשלכתיות המוגדרות על ידי קבוצות ההשלכות הבאות, בהתאמה.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

בשלושת המקרים, שתי תוצאות המדידה האפשריות הן ערכי הייגן $+1$ ו-$-1.$ מדידות כאלה נקראות בדרך כלל מדידות-$X$, מדידות-$Y$ ומדידות-$Z$. נתקלנו במדידות אלה בשיעור "מדידות כלליות" של "ניסוח כללי של מידע קוונטי," שם הן עלו בהקשר של טומוגרפיית מצב קוונטי.

כמובן, מדידת-$Z$ היא בעצם מדידת בסיס סטנדרטית ומדידת-$X$ היא מדידה ביחס לבסיס פלוס/מינוס של Qubit — אך, כפי שמדידות אלה מתוארות כאן, אנו לוקחים את ערכי הייגן $+1$ ו-$-1$ כתוצאות המדידה בפועל.

ניתן לעקוב אחר אותה מרשם עבור פעולות פאולי על $n\geq 2$ Qubits, אם כי יש להדגיש שעדיין יהיו רק שתי תוצאות אפשריות למדידות המתוארות בדרך זו: $+1$ ו-$-1,$ שהם ערכי הייגן היחידים האפשריים של פעולות פאולי. לפיכך, שתי ההשלכות המתאימות יהיו בדרגה גבוהה מאחת במקרה זה. ביתר דיוק, עבור כל פעולת פאולי על $n$-Qubits שאינה מטריצת הזהות, מרחב המצבים בממד $2^n$ מתפצל תמיד לשני תת-מרחבים של וקטורי ייגן בעלי ממד שווה, כך ששתי ההשלכות המגדירות את המדידה הנלווית יהיו בדרגה $2^{n-1}.$

המדידה המתוארת על ידי פעולת פאולי על $n$-Qubits, הנחשבת כאובייקט, אינה לפיכך אותו דבר כמו מדידה ביחס ל-בסיס אורתונורמלי של וקטורי ייגן של אותה פעולה, ואינה אותו דבר כמדידה עצמאית של כל אחת ממטריצות פאולי המתאימות בנפרד, כאובייקטים, על $n$ Qubits. שתי החלופות הללו היו מחייבות $2^n$ תוצאות מדידה אפשריות, אך כאן יש לנו רק שתי תוצאות אפשריות $+1$ ו-$-1.$

לדוגמה, נשקול את פעולת פאולי על 2-Qubits $Z\otimes Z$ כאובייקט. אנו יכולים למעשה לקחת את המכפלה הטנסורית של הפירוקים הספקטרליים כדי לקבל פירוק למכפלה הטנסורית.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

כלומר, יש לנו $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ עבור

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

אלה הן לפיכך שתי ההשלכות המגדירות את המדידה. אם, למשל, היינו מודדים מצב בל $\vert\phi^+\rangle$ באופן לא הרסני באמצעות מדידה זו, היינו בטוחים לקבל את התוצאה $+1,$ והמצב לא היה משתנה כתוצאה מהמדידה. בפרט, המצב לא היה קורס ל-$\vert 00\rangle$ או ל-$\vert 11\rangle.$

יישום לא הרסני דרך אמדן פאזה

עבור כל פעולת פאולי על $n$-Qubits, נוכל לבצע את המדידה הנלווית לאותו אובייקט באופן לא הרסני באמצעות אמדן פאזה.

הנה Circuit המבוסס על אמדן פאזה שעובד עבור כל מטריצת פאולי $P,$ כאשר המדידה מתבצעת על ה-Qubit העליון. התוצאות $0$ ו-$1$ של מדידת הבסיס הסטנדרטי ב-Circuit מתאימות לערכי הייגן $+1$ ו-$-1,$ בדיוק כפי שיש לנו בדרך כלל באמדן פאזה עם Qubit בקרה אחד. (שים לב ש-Qubit הבקרה נמצא בתחתית בדיאגרמה זו, בעוד שבשיעור "אמדן פאזה ופירוק לגורמים" של "יסודות אלגוריתמים קוונטיים" ה-Qubits של הבקרה צוירו בחלק העליון.)

שיטה דומה עובדת עבור פעולות פאולי על Qubits מרובים. לדוגמה, דיאגרמת ה-Circuit הבאה ממחישה מדידה לא הרסנית של האובייקט של פאולי על 3-Qubits $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ עבור כל בחירה של $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

גישה זו מכלילה לאובייקטים של פאולי על $n$-Qubits, עבור כל $n,$ בדרך הטבעית. כמובן, אנו צריכים לכלול שערי אוניטריים מבוקרים רק עבור גורמים טנסוריים שאינם מטריצת הזהות של אובייקטים של פאולי בעת יישום מדידות כאלה; שערי זהות מבוקרים הם פשוט שערי זהות ולכן ניתן להשמיטם. משמעות הדבר היא שאובייקטים של פאולי בעלי משקל נמוך יותר מצריכים Circuits קטנים יותר ליישום דרך גישה זו.

שים לב שללא קשר ל-$n,$ ל-Circuits של אמדן הפאזה אלה יש רק Qubit בקרה אחד, מה שתואם את העובדה שיש רק שתי תוצאות מדידה אפשריות למדידות אלה. שימוש ב-Qubits בקרה נוספים לא יגלה מידע נוסף מכיוון שמדידות אלה כבר מושלמות באמצעות Qubit בקרה אחד. (דרך אחת לראות זאת היא ישירות מהנוהל הכללי לאמדן פאזה: ההנחה $U^2 = \mathbb{I}$ הופכת כל Qubit בקרה נוסף מעבר לראשון לחסר תועלת.)

הנה דוגמה ספציפית, של יישום לא הרסני של מדידת $Z\otimes Z,$ הרלוונטית לתיאור קוד החזרה על 3 ביטים כקוד מייצב שנראה בקרוב.

במקרה זה, ועבור מכפלות טנסוריות של יותר משני אובייקטים $Z$ באופן כללי, ניתן לפשט את ה-Circuit.

לפיכך, מדידה זו שקולה למדידה לא הרסנית של הזוגיות (או XOR) של מצבות הבסיס הסטנדרטי של שני Qubits.