קוד החזרה בחינה מחדש

עכשיו נסתכל שוב על קוד החזרה של 3 ביטים, הפעם נגדיר אותו במונחים של פעולות פאולי. זה יהיה הדוגמה הראשונה שלנו לקוד מייצב.

אוּבּסרוובּבּלים של פאולי עבור קוד החזרה

נזכור שכאשר אנחנו מיישמים את קוד החזרה של 3 ביטים על Qubits, וקטור מצב Qubit נתון $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ מקודד כ:

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

כל מצב $\vert\psi\rangle$ בצורה הזו הוא קידוד תקין של 3 Qubits למצב Qubit — אבל אם היה לנו מצב שלא ידענו עליו בוודאות, יכולנו לאמת שיש לנו קידוד תקין על ידי בדיקת שתי המשוואות הבאות.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

המשוואה הראשונה אומרת שהפעלת פעולות $Z$ על שני ה-Qubits השמאליים ביותר של $\vert\psi\rangle$ אינה משנה דבר, כלומר $\vert\psi\rangle$ הוא וקטור עצמי של $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ עם ערך עצמי $1.$ המשוואה השנייה דומה אלא שפעולות $Z$ מוחלות על שני ה-Qubits הימניים ביותר. הרעיון הוא שאם נחשוב על $\vert\psi\rangle$ כצירוף לינארי של מצבי בסיס סטנדרטיים, אז המשוואה הראשונה גוררת שיכולים להיות לנו רק מקדמים שאינם אפס עבור מצבי בסיס סטנדרטיים שבהם שני הביטים השמאליים ביותר הם בעלי זוגיות זוגית (או שווים), והמשוואה השנייה גוררת שיכולים להיות לנו רק מקדמים שאינם אפס עבור מצבי בסיס סטנדרטיים שבהם שני הביטים הימניים ביותר הם בעלי זוגיות זוגית.

בהתאמה, אם נתייחס לשתי פעולות פאולי $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ו-$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ כאוּבּסרוובּבּלים, ונמדוד את שניהם באמצעות המעגלים שהוצעו בסוף הסעיף הקודם, אז נהיה בטוחים לקבל תוצאות מדידה המתאימות לערכים עצמיים $+1$, מכיוון ש-$\vert\psi\rangle$ הוא וקטור עצמי של שני האוּבּסרוובּבּלים עם ערך עצמי $1.$ אבל, הגרסה המפושטת של המעגל (המשולב) למדידה עצמאית של שני האוּבּסרוובּבּלים, המוצגת כאן, אינה אחרת מאשר מעגל בדיקת הזוגיות עבור קוד החזרה של 3 ביטים.

שתי המשוואות לעיל לכן גוררות שמעגל בדיקת הזוגיות מפיק $00,$ שהוא התסמין המעיד שלא זוהו שגיאות.

פעולות פאולי של 3 Qubits $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ו-$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ נקראות מחוללי המייצב של קוד זה, והמייצב של הקוד הוא הקבוצה הנוצרת על ידי מחוללי המייצב.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

המייצב הוא אובייקט מתמטי בסיסי ביותר המשויך לקוד הזה, והתפקיד שהוא ממלא יידון ככל שהשיעור יימשך. לעת עתה, נשים לב שיכולנו לבחור בחירה שונה עבור המחוללים ובדיקות הזוגיות המתאימות להם, ספציפית על ידי לקיחת $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ במקום אחד מהמחוללים שבחרנו, אך המייצב והקוד עצמו היו נשארים ללא שינוי כתוצאה מכך.

זיהוי שגיאות

כעת נבחן את זיהוי היפוך הביט עבור קוד החזרה של 3 ביטים, תוך התמקדות באינטראקציות ובקשרים בין פעולות פאולי המעורבות: מחוללי המייצב והשגיאות עצמן.

נניח שקידדנו Qubit באמצעות קוד החזרה של 3 ביטים, ושגיאת היפוך ביט מתרחשת על ה-Qubit השמאלי ביותר. זה גורם למצב $\vert\psi\rangle$ להשתנות בהתאם לפעולת $X$ (או שגיאת $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

שגיאה זו ניתנת לזיהוי על ידי ביצוע בדיקות הזוגיות עבור קוד החזרה של 3 ביטים, כפי שנדון בשיעור הקודם, שהוא שקול למדידה לא הרסנית של מחוללי המייצב $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ ו-$\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ כאוּבּסרוובּבּלים.

נתחיל עם מחולל המייצב הראשון. המצב $\vert\psi\rangle$ הושפע משגיאת $X$ על ה-Qubit השמאלי ביותר, ומטרתנו היא להבין כיצד מדידת מחולל המייצב הזה, כאוּבּסרוובּבּל, מושפעת משגיאה זו. מאחר ש-$X$ ו-$Z$ הם אנטי-קומוטטיביים, בעוד שכל מטריצה מתחלפת עם מטריצת הזהות, נובע ש-$Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ אנטי-קומוטטיבי עם $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ בינתיים, מאחר ש-$\vert\psi\rangle$ הוא קידוד תקין של Qubit, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ פועל טריוויאלית על $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

לפיכך, $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ הוא וקטור עצמי של $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ עם ערך עצמי $-1.$ כאשר המדידה המשויכת לאוּבּסרוובּבּל $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ מבוצעת על המצב $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ התוצאה בטוחה להיות זו המשויכת לערך העצמי $-1.$

ניתן להחיל היגיון דומה על מחולל המייצב השני, אבל הפעם השגיאה מתחלפת עם מחולל המייצב ולא אנטי-קומוטטיבית, ולכן התוצאה עבור מדידה זו היא זו המשויכת לערך העצמי $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

מה שאנחנו מגלים כאשר בוחנים משוואות אלו הוא שללא תלות במצב המקורי $\vert\psi\rangle,$ המצב הפגום הוא וקטור עצמי של שני מחוללי המייצב, וכן שהערך העצמי הוא $+1$ או $-1$ נקבע על ידי האם השגיאה מתחלפת או אנטי-קומוטטיבית עם כל מחולל מייצב. עבור שגיאות המיוצגות על ידי פעולות פאולי, תמיד יהיה אחד מהשניים, מכיוון שכל שתי פעולות פאולי מתחלפות או אנטי-קומוטטיביות. בינתיים, המצב הממשי $\vert\psi\rangle$ אינו ממלא תפקיד חשוב, פרט לעובדה שמחוללי המייצב פועלים טריוויאלית על מצב זה.

מסיבה זו, בדרך כלל אנחנו לא צריכים להתעסק עם המצב המקודד הספציפי שאנחנו עובדים איתו. כל שחשוב הוא האם השגיאה מתחלפת או אנטי-קומוטטיבית עם כל מחולל מייצב. בפרט, אלה הן המשוואות הרלוונטיות ביחס לשגיאה מסוימת זו עבור קוד זה.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

הנה טבלה עם שורה אחת לכל מחולל מייצב ועמודה אחת לכל שגיאה. הערך בטבלה הוא $+1$ או $-1$ בהתאם לכך שהשגיאה ומחולל המייצב מתחלפים או אנטי-קומוטטיביים. הטבלה כוללת רק עמודות עבור השגיאות המתאימות להיפוך ביט יחיד, וכן ללא שגיאה כלל, המתוארת על ידי הזהות מוכפלת בטנסור עם עצמה שלוש פעמים. יכולנו להוסיף עמודות נוספות עבור שגיאות אחרות, אבל לעת עתה נתמקד רק בשגיאות אלו.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

עבור כל שגיאה בטבלה, העמודה המתאימה מגלה כיצד שגיאה זו הופכת כל קידוד נתון לוקטור עצמי $+1$ או $-1$ של כל מחולל מייצב. בהתאמה, העמודות מתארות את התסמין שנקבל מבדיקות הזוגיות, שהן שקולות למדידות לא הרסניות של מחוללי המייצב כאוּבּסרוובּבּלים. כמובן, לטבלה יש ערכי $+1$ ו-$-1$ ולא ערכי $0$ ו-$1$ — ורגיל לחשוב על תסמין כמחרוזת בינארית ולא כעמודה של ערכי $+1$ ו-$-1$ — אבל אנחנו יכולים לחשוב באותה מידה על וקטורים אלה עם ערכי $+1$ ו-$-1$ כתסמינים כדי לקשור אותם ישירות לערכים העצמיים של מחוללי המייצב. בדרך כלל, התסמינים מספרים לנו משהו על השגיאה שהתרחשה, ואם אנחנו יודעים שאחת מארבע השגיאות האפשריות המפורטות בטבלה התרחשה, התסמין מציין איזו מהן.

תסמינים

קידודים עבור קוד החזרה של 3 ביטים הם מצבי 3 Qubits, אז הם וקטורים יחידה במרחב וקטורי מרוכב בן 8 ממדים. ארבעת התסמינים האפשריים מחלקים ביעילות את המרחב בן 8 הממדים הזה לארבעה תת-מרחבים דו-ממדיים, כשוקטורי מצב קוונטי בכל תת-מרחב מניבים תמיד את אותו תסמין. הדיאגרמה הבאה ממחישה באופן ספציפי כיצד המרחב בן 8 הממדים מחולק על ידי שני מחוללי המייצב.

כל מחולל מייצב מחלק את המרחב לשני תת-מרחבים בעלי ממד שווה, כלומר המרחב של וקטורים עצמיים $+1$ והמרחב של וקטורים עצמיים $-1$ עבור אותו אוּבּסרוובּבּל. לדוגמה, הוקטורים העצמיים $+1$ של $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ הם צירופים לינאריים של מצבי בסיס סטנדרטיים שבהם שני הביטים השמאליים ביותר הם בעלי זוגיות זוגית, והוקטורים העצמיים $-1$ הם צירופים לינאריים של מצבי בסיס סטנדרטיים שבהם שני הביטים השמאליים ביותר הם בעלי זוגיות אי-זוגית. המצב דומה עבור מחולל המייצב האחר, אלא שעבורו מדובר בשני הביטים הימניים ביותר ולא בשני השמאליים ביותר.

ארבעת תת-המרחבים הדו-ממדיים המתאימים לארבעת התסמינים האפשריים קלים לתיאור במקרה הזה, הודות לעובדה שמדובר בקוד פשוט מאוד. בפרט, תת-המרחב המתאים לתסמין $(+1,+1)$ הוא המרחב שנוצר על ידי $\vert 000\rangle$ ו-$\vert 111\rangle$, שהוא המרחב של קידודים תקינים (הידוע גם כמרחב הקוד), ובדרך כלל המרחבים נוצרים על ידי הבסיס הסטנדרטי המוצג בריבועים המתאימים.

התסמינים גם מחלקים את כל פעולות פאולי של 3 Qubits ל-4 אוספים שווי גודל, בהתאם לתסמין שפעולה זו (כשגיאה) תגרום. לדוגמה, כל פעולת פאולי שמתחלפת עם שני מחוללי המייצב מביאה לתסמין $(+1,+1),$ ומבין 64 פעולות פאולי אפשריות של 3 Qubits, יש בדיוק 16 מהן בקטגוריה זו (כולל $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ ו-$X\otimes X\otimes X$ למשל), וכן הלאה עבור 3 התסמינים האחרים.

שתי התכונות הללו — שהתסמינים מחלקים הן את מרחב המצבים שבו חיים הקידודים והן את כל פעולות פאולי על מרחב זה לאוספים שווי גודל — נכונות בדרך כלל עבור קודי מייצב, שנגדיר במדויק בסעיף הבא.

למרות שזה בעיקר הערת שוליים בשלב זה, כדאי לציין שפעולות פאולי שמתחלפות עם שני מחוללי המייצב, או שקול לכך פעולות פאולי שמביאות לתסמין $(+1,+1),$ אבל אינן עצמן פרופורציונליות לאלמנטים של המייצב, מתבררות כמתנהגות בדיוק כמו פעולות פאולי של Qubit יחיד על ה-Qubit המקודד (כלומר, ה-Qubit הלוגי) עבור קוד זה. לדוגמה, $X\otimes X \otimes X$ מתחלפת עם שני מחוללי המייצב, אבל אינה עצמה פרופורציונלית לאף אלמנט במייצב, ואכן השפעת פעולה זו על קידוד שקולה ל-Gate של $X$ על ה-Qubit הלוגי המקודד.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

שוב, זהו תופעה שמכלילה לכל קודי המייצב.