נאמנות

בחלק זה של השיעור נדון בנאמנות (fidelity) בין מצבים קוונטיים — מדד לדמיון ביניהם, או למידת ה"חפיפה" שלהם.

בהינתן שני וקטורי מצב קוונטי, הנאמנות בין המצבים הטהורים המתאימים שווה לערך המוחלט של המכפלה הפנימית בין הוקטורים. זוהי דרך בסיסית למדוד את הדמיון ביניהם: התוצאה היא ערך בין $0$ ל-$1,$ כאשר ערכים גבוהים יותר מצביעים על דמיון רב יותר. בפרט, הערך הוא אפס עבור מצבים אורתוגונליים (בהגדרה), בעוד שהערך הוא $1$ עבור מצבים השקולים עד פאזה גלובלית.

באופן אינטואיטיבי, הנאמנות ניתן לראות כהרחבה של מדד דמיון בסיסי זה — מוקטורי מצב קוונטי אל מטריצות צפיפות.

הגדרת הנאמנות

נכון להתחיל בהגדרת הנאמנות. במבט ראשון, ההגדרה שלהלן עשויה להיראות יוצאת דופן או מסתורית, ואולי לא נוחה לעבודה. אולם הפונקציה שהיא מגדירה מתגלה ככזו שיש לה תכונות רבות ומגוונות, ודרכים חלופיות להצגתה — מה שהופך אותה לנוחה בהרבה לעבודה ממה שנראה בתחילה.

הגדרה

יהיו $\rho$ ו-$\sigma$ מטריצות צפיפות המייצגות מצבים קוונטיים של אותה מערכת. הנאמנות בין $\rho$ ל-$\sigma$ מוגדרת כ:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

הערה

למרות שזוהי הגדרה נפוצה, לעיתים קרובות מגדירים את הנאמנות כריבוע של הכמות המוגדרת כאן, ואז מכנים את הכמות המוגדרת כאן שורש-נאמנות. אף הגדרה אינה נכונה או שגויה — מדובר בעיקרו של דבר בעניין של העדפה. יחד עם זאת, יש תמיד לשים לב ולוודא איזו הגדרה משתמשים בה.

כדי להבין את הנוסחה בהגדרה, שים לב תחילה ש-$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ היא מטריצה חיובית למחצה:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

עבור $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ כמו כל מטריצה חיובית למחצה, למטריצה חיובית למחצה זו יש שורש ריבועי חיובי למחצה יחיד, שהעקבה שלו היא הנאמנות.

עבור כל מטריצה ריבועית $M,$ לשתי המטריצות החיוביות למחצה $M^{\dagger} M$ ו-$M M^{\dagger}$ תמיד אותן ערכים עצמיים, ומכאן נובע הדבר גם לשורשים של מטריצות אלו. בחירת $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ ושימוש בעובדה שעקבת מטריצה ריבועית היא סכום ערכיה העצמיים מניבים:

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

כך, למרות שאין זה מיידי מההגדרה, הנאמנות היא סימטרית בשני הארגומנטים שלה.

נאמנות במונחי נורמת העקבה

דרך שקולה לביטוי הנאמנות היא על ידי הנוסחה הבאה:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

כאן אנו רואים את נורמת העקבה, שנתקלנו בה בשיעור הקודם בהקשר של אבחנת מצבים. נורמת העקבה של מטריצה (לא בהכרח ריבועית) $M$ ניתן להגדיר כ:

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

ובהחלת הגדרה זו על המטריצה $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ מתקבלת הנוסחה שבהגדרה.

דרך חלופית לבטא את נורמת העקבה של מטריצה (ריבועית) $M$ היא באמצעות הנוסחה הבאה:

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

כאן המקסימום הוא על פני כל המטריצות היוניטריות $U$ עם אותו מספר שורות ועמודות כמו $M.$ החלת נוסחה זו על המצב הנוכחי מגלה ביטוי נוסף לנאמנות:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

נאמנות עבור מצבים טהורים

נקודה אחרונה לגבי הגדרת הנאמנות היא שכל מצב טהור (כמטריצת צפיפות) שווה לשורש הריבועי של עצמו, מה שמאפשר לפשט את נוסחת הנאמנות בצורה ניכרת כאשר אחד מהמצבים או שניהם הם טהורים. בפרט, אם אחד משני המצבים הוא טהור, מתקיימת הנוסחה הבאה:

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

אם שני המצבים טהורים, הנוסחה מתפשטת לערך המוחלט של המכפלה הפנימית של וקטורי המצב הקוונטי המתאימים, כפי שהוזכר בתחילת הפרק:

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

תכונות בסיסיות של הנאמנות

לנאמנות יש תכונות רבות ומרשימות וכמה ניסוחים חלופיים. להלן מספר תכונות בסיסיות המוצגות ללא הוכחות.

1. לכל שתי מטריצות צפיפות $\rho$ ו-$\sigma$ באותו גודל, הנאמנות $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ נמצאת בין אפס לאחד: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ אם ורק אם לתמונות של $\rho$ ו-$\sigma$ יש העתקות אורתוגונליות (כלומר ניתן להבדיל ביניהן ללא שגיאה), ו-$\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ אם ורק אם $\rho = \sigma.$
2. הנאמנות היא כפלית, כלומר הנאמנות בין שני מצבי מכפלה שווה למכפלת הנאמנויות הבודדות: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. הנאמנות בין מצבים אינה פוחתת תחת פעולת כל ערוץ. כלומר, אם $\rho$ ו-$\sigma$ הן מטריצות צפיפות ו-$\Phi$ הוא ערוץ שיכול לקבל שני מצבים אלו כקלט, אז בהכרח מתקיים: $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. אי-שוויונות פוקס–ון דה גראף קובעים קשר הדוק (אם כי לא מדויק) בין נאמנות למרחק עקבה: לכל שני מצבים $\rho$ ו-$\sigma$ מתקיים: $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

את התכונה האחרונה ניתן לבטא בצורה גרפית:

בפרט, לכל בחירה של מצבים $\rho$ ו-$\sigma$ של אותה מערכת, הישר האופקי החוצה את ציר ה-$y$ ב-$\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ והישר האנכי החוצה את ציר ה-$x$ ב-$\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ חייבים להיחתך בתוך האזור האפור המוגבל מלמטה על ידי הישר $y = 1-x$ ומלמעלה על ידי מעגל היחידה. האזור המעניין ביותר בתרשים זה מנקודת מבט מעשית הוא הפינה השמאלית העליונה של האזור האפור: אם הנאמנות בין שני מצבים קרובה לאחד, אז מרחק העקבה שלהם קרוב לאפס, וגם להפך.

למה המדידה העדינה

כעת נסתכל על עובדה פשוטה אך חשובה, המוכרת כלמה המדידה העדינה, המקשרת בין נאמנות למדידות לא-הרסניות. זוהי למה שימושית מאוד שמופיעה מדי פעם, והיא ראויה לציון גם בגלל שהגדרת הנאמנות המסורבלת לכאורה הופכת את הוכחת הלמה לקלה ביותר.

ההגדרה היא כדלקמן. יהא $\mathsf{X}$ מערכת במצב $\rho$ ויהא $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ אוסף מטריצות חיוביות למחצה המייצגות מדידה כללית של $\mathsf{X}.$ נניח נוסף על כך שאם מדידה זו מבוצעת על המערכת $\mathsf{X}$ כשהיא במצב $\rho,$ אחד התוצאות סביר מאוד. לצורך הדיון, נניח שתוצאת המדידה הסבירה היא $0,$ ובפרט נניח שמתקיים:

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

עבור מספר ממשי חיובי קטן $\varepsilon > 0.$

מה שהלמה קובעת הוא שבהנחות אלו, המדידה הלא-הרסנית המתקבלת מ-$\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ באמצעות משפט נאימרק גורמת רק הפרעה קטנה ל-$\rho$ במקרה שתוצאת המדידה הסבירה $0$ נצפית.

ביתר דיוק, הלמה קובעת שריבוע הנאמנות בין $\rho$ לבין המצב שמתקבל מהמדידה הלא-הרסנית, בהנחה שהתוצאה היא $0,$ גדול מ-$1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

נצטרך עובדה בסיסית אחת על מדידות כדי להוכיח זאת. מטריצות המדידה $P_0, \ldots, P_{m-1}$ הן חיוביות למחצה ומסתכמות לאיבר הזהות, מה שמאפשר לנו להסיק שכל ערכי הייחוד של $P_0$ הם מספרים ממשיים בין $0$ ל-$1.$ זה נובע מהעובדה שעבור כל וקטור יחידה $\vert\psi\rangle,$ הערך $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ הוא מספר ממשי אי-שלילי לכל $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (כי כל $P_a$ חיובי למחצה), יחד עם הסתכמות מספרים אלו לאחד:

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

לכן $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ הוא תמיד מספר ממשי בין $0$ ל-$1,$ וזה מרמז שכל ערך עצמי של $P_0$ הוא מספר ממשי בין $0$ ל-$1,$ כי ניתן לבחור $\vert\psi\rangle$ ספציפית כוקטור עצמי של יחידה המתאים לכל ערך עצמי שמעניין אותנו.

מתצפית זו ניתן להסיק את האי-שוויון הבא לכל מטריצת צפיפות $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

ביתר פירוט, מפירוק ספקטרלי

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

אנו מסיקים ש:

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

מהעובדה ש-$\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ הוא מספר ממשי אי-שלילי ו-$\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ לכל $k = 0,\ldots,n-1.$ (ריבוע מספרים בין $0$ ל-$1$ לעולם לא יכול להגדיל אותם.)

כעת ניתן להוכיח את למה המדידה העדינה על ידי חישוב הנאמנות ושימוש באי-שוויון שלנו. ראשית, נפשט את הביטוי שמעניין אותנו:

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

שים לב שאלו כולם שוויונות — לא השתמשנו באי-שוויון שלנו (או בכל אי-שוויון אחר) עד לנקודה זו, כך שיש בידינו ביטוי מדויק לנאמנות. כעת ניתן להשתמש באי-שוויון שלנו ולהסיק:

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

ולכן, בריבוע שני הצדדים:

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

משפט אולמן

לסיום השיעור, נסתכל על משפט אולמן, שהוא עובדה יסודית על הנאמנות המקשרת אותה עם מושג הטיהור. מה שהמשפט אומר, במילים פשוטות, הוא שהנאמנות בין שני מצבים קוונטיים שווה למקסימום המכפלה הפנימית (בערך מוחלט) בין שני טיהורים של אותם מצבים.

משפט

משפט אולמן: יהיו $\rho$ ו-$\sigma$ מטריצות צפיפות המייצגות מצבים של מערכת $\mathsf{X},$ ויהא $\mathsf{Y}$ מערכת עם לפחות כמה מצבים קלאסיים כ-$\mathsf{X}.$ הנאמנות בין $\rho$ ל-$\sigma$ נתונה על ידי:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

כאשר המקסימום נלקח על פני כל וקטורי המצב הקוונטי $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle$ של $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

ניתן להוכיח משפט זה באמצעות שקילות יוניטרית של טיהורים — אך זה אינו לגמרי ישיר ונשתמש בטריק בדרך.

כדי להתחיל, נסתכל על פירוקים ספקטרליים של שתי מטריצות הצפיפות $\rho$ ו-$\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

שני האוספים $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ ו-$\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ הם בסיסים אורתונורמליים של וקטורים עצמיים של $\rho$ ו-$\sigma$ בהתאמה, ו-$p_0,\ldots,p_{n-1}$ ו-$q_0,\ldots,q_{n-1}$ הם הערכים העצמיים המתאימים.

נגדיר גם $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ ו- $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ כוקטורים המתקבלים מלקיחת הצמוד המרוכב של כל רכיב של $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ ו-$\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ כלומר, עבור וקטור שרירותי $\vert w\rangle$ ניתן להגדיר $\vert\overline{w}\rangle$ לפי המשוואה הבאה לכל $c\in\{0,\ldots,n-1\}:$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

שים לב שלכל שני וקטורים $\vert u\rangle$ ו-$\vert v\rangle$ מתקיים $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ באופן כללי יותר, לכל מטריצה ריבועית $M$ מתקיימת הנוסחה הבאה:

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

מכאן נובע ש-$\vert u\rangle$ ו-$\vert v\rangle$ אורתוגונליים אם ורק אם $\vert \overline{u}\rangle$ ו-$\vert \overline{v}\rangle$ אורתוגונליים, ולכן $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ ו- $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ הם שניהם בסיסים אורתונורמליים.

כעת נסתכל על שני הוקטורים הבאים $\vert\phi\rangle$ ו-$\vert\psi\rangle,$ שהם טיהורים של $\rho$ ו-$\sigma$ בהתאמה:

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

זהו הטריק שהוזכר קודם לכן. אין דבר שמציין במפורש בנקודה זו שכדאי לבחור טיהורים ספציפיים אלו עבור $\rho$ ו-$\sigma,$ אבל אלו טיהורים תקינים, והצמדות המרוכבות יאפשרו לאלגברה לעבוד כנדרש.

מתוך שקילות יוניטרית של טיהורים, ידוע לנו שכל טיהור של $\rho$ עבור צמד המערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ חייב לקבל את הצורה $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ עבור מטריצה יוניטרית כלשהי $U,$ וכן כל טיהור של $\sigma$ עבור הצמד $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ חייב לקבל את הצורה $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ עבור מטריצה יוניטרית כלשהי $V.$ המכפלה הפנימית של שני טיהורים כאלו ניתן לפשט כדלקמן:

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

כאשר $U$ ו-$V$ עוברים על כל המטריצות היוניטריות האפשריות, המטריצה $(U^{\dagger} V)^T$ גם היא עוברת על כל המטריצות היוניטריות האפשריות. לכן, מקסימום הערך המוחלט של המכפלה הפנימית של שני טיהורים של $\rho$ ו-$\sigma$ מניב את המשוואה הבאה:

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

סקר בסיום הקורס

ברכות על השלמת הקורס! אנא הקדישו רגע לעזור לנו לשפר את הקורס על ידי מילוי הסקר הקצר הבא. המשוב שלכם ישמש לשיפור תוכן הקורסים וחוויית המשתמש. תודה!