טיהורים

הגדרת טיהורים

נתחיל בהגדרה מתמטית מדויקת של טיהורים.

הגדרה

נניח ש-$\mathsf{X}$ הוא מערכת במצב המיוצג על ידי מטריצת צפיפות $\rho,$ ו-$\vert\psi\rangle$ הוא וקטור מצב קוונטי של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המשאיר את $\rho$ כאשר עושים על $\mathsf{Y}$ עקבה חלקית:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

וקטור המצב $\vert\psi\rangle$ נקרא אז טיהור של $\rho.$

המצב הטהור $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ המבוטא כמטריצת צפיפות במקום כוקטור מצב קוונטי, נקרא גם הוא בדרך כלל טיהור של $\rho$ כאשר המשוואה בהגדרה מתקיימת, אך בדרך כלל נשתמש במונח כדי להתייחס לוקטור מצב קוונטי.

המונח טיהור משמש גם באופן כללי יותר כאשר הסדר של המערכות הפוך, כאשר שמות המערכות והמצבים שונים (כמובן), וכאשר ישנן יותר משתי מערכות. לדוגמה, אם $\vert \psi \rangle$ הוא וקטור מצב קוונטי המייצג מצב טהור של מערכת מרוכבת $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ והמשוואה

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

מתקיימת עבור מטריצת צפיפות $\rho$ המייצגת מצב של המערכת $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ אז $\vert\psi\rangle$ עדיין נקרא טיהור של $\rho.$

לצורך שיעור זה, לעומת זאת, נתמקד בצורה הספציפית המתוארת בהגדרה. תכונות ועובדות הנוגעות לטיהורים, לפי הגדרה זו, ניתנות בדרך כלל להכללה ליותר משתי מערכות על ידי סידור מחדש וחלוקת המערכות לשתי מערכות מרוכבות, אחת המשחקת את תפקיד $\mathsf{X}$ והשנייה את תפקיד $\mathsf{Y}.$

קיום טיהורים

נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הן שתי מערכות כלשהן ו-$\rho$ הוא מצב נתון של $\mathsf{X}.$ נוכיח שקיים וקטור מצב קוונטי $\vert\psi\rangle$ של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ שמטהר את $\rho$ — שזו דרך נוספת לומר ש-$\vert\psi\rangle$ הוא טיהור של $\rho$ — בתנאי שהמערכת $\mathsf{Y}$ גדולה מספיק. בפרט, אם ל-$\mathsf{Y}$ יש לפחות כמה מצבים קלאסיים כמו ל-$\mathsf{X},$ אז טיהור מצורה זו בהכרח קיים עבור כל מצב $\rho.$ מצבים קלאסיים פחותים של $\mathsf{Y}$ נדרשים עבור חלק מהמצבים $\rho;$ באופן כללי, $\operatorname{rank}(\rho)$ מצבים קלאסיים של $\mathsf{Y}$ הכרחיים ומספיקים לקיום וקטור מצב קוונטי של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ שמטהר את $\rho.$

נשקול תחילה כל ביטוי של $\rho$ כצירוף קמור של $n$ מצבים טהורים, עבור כל מספר שלם חיובי $n.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

בביטוי זה, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ הוא וקטור הסתברות ו-$\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ הם וקטורי מצב קוונטיים של $\mathsf{X}.$

דרך אחת לקבל ביטוי כזה היא דרך משפט הספקטרום, שבו $n$ הוא מספר המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ הם ערכי העצם של $\rho,$ ו-$\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ הם וקטורי עצם אורתונורמליים המתאימים לערכי עצם אלו.

למעשה, אין צורך לכלול את האיברים המתאימים לערכי עצם האפסיים של $\rho$ בסכום, מה שמאפשר לנו לחלופין לבחור $n = \operatorname{rank}(\rho)$ ו-$p_0,\ldots,p_{n-1}$ להיות ערכי העצם השונים מאפס של $\rho.$ זהו הערך המינימלי של $n$ שעבורו קיים ביטוי של $\rho$ בצורה שלמעלה.

כדי להבהיר, אין זה הכרחי שהביטוי הנבחר של $\rho,$ כצירוף קמור של מצבים טהורים, ינבע ממשפט הספקטרום — זו רק דרך אחת לקבל ביטוי כזה. בפרט, $n$ יכול להיות כל מספר שלם חיובי, וקטורי היחידה $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ אינם חייבים להיות אורתוגונליים, וההסתברויות $p_0,\ldots,p_{n-1}$ אינן חייבות להיות ערכי עצם של $\rho.$

כעת נוכל לזהות טיהור של $\rho$ כדלקמן.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

כאן אנחנו מניחים שהמצבים הקלאסיים של $\mathsf{Y}$ כוללים את $0,\ldots,n-1.$ אם לא, ניתן להציב בחירה שרירותית של $n$ מצבים קלאסיים שונים של $\mathsf{Y}$ במקום $0,\ldots,n-1.$ אימות שזהו אכן טיהור של $\rho$ הוא עניין פשוט של חישוב העקבה החלקית, שניתן לבצע בשתי הדרכים השקולות הבאות.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

באופן כללי יותר, עבור כל קבוצה אורתונורמלית של וקטורים $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\},$ וקטור המצב הקוונטי

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

הוא טיהור של $\rho.$

דוגמה

נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם שניהם qubit ו

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

היא מטריצת צפיפות המייצגת מצב של $\mathsf{X}.$

נוכל להשתמש במשפט הספקטרום כדי לבטא את $\rho$ בתור

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

כאשר $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ וקטור המצב הקוונטי

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

המתאר מצב טהור של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ הוא אפוא טיהור של $\rho.$

לחלופין, נוכל לכתוב

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

זהו צירוף קמור של מצבים טהורים אך לא פירוק ספקטרלי מכיוון ש-$\vert 0\rangle$ ו-$\vert +\rangle$ אינם אורתוגונליים ו-$1/2$ אינו ערך עצם של $\rho.$ ובכל זאת, וקטור המצב הקוונטי

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

הוא טיהור של $\rho.$

פירוקי שמידט

בהמשך נדון בפירוקי שמידט, שהם ביטויים של וקטורי מצב קוונטיים של זוגות של מערכות הנוטלים צורה מסוימת. פירוקי שמידט קשורים קשר הדוק לטיהורים, והם שימושיים מאוד בפני עצמם. אכן, כאשר מנתחים וקטור מצב קוונטי נתון $\vert\psi\rangle$ של זוג מערכות, הצעד הראשון הוא לעתים קרובות לזהות או לשקול פירוק שמידט של מצב זה.

הגדרה

יהי $\vert \psi\rangle$ וקטור מצב קוונטי נתון של זוג מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ פירוק שמידט של $\vert\psi\rangle$ הוא ביטוי מהצורה

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

כאשר $p_0,\ldots,p_{r-1}$ הם מספרים ממשיים חיוביים שסכומם הוא $1$ ושתי הקבוצות $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ו-$\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ הן אורתונורמליות.

הערכים

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

בפירוק שמידט של $\vert\psi\rangle$ ידועים בשם מקדמי שמידט שלו, שנקבעים באופן יחיד (עד לסדרם) — הם המספרים הממשיים החיוביים היחידים שיכולים להופיע בביטוי כזה של $\vert\psi\rangle.$ הקבוצות

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

לעומת זאת, אינן נקבעות באופן יחיד, והחופש שיש לנו בבחירת קבוצות וקטורים אלו יובהר בהסבר שיבוא.

נאמת כעת שלוקטור מצב קוונטי נתון $\vert\psi\rangle$ יש אכן פירוק שמידט, ובתהליך נלמד כיצד למצוא אחד.

נשקול תחילה בסיס שרירותי (לא בהכרח אורתוגונלי) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ של מרחב הוקטורים המתאים למערכת $\mathsf{X}.$ מכיוון שזה בסיס, תמיד תהיה קיימת בחירה יחידה הנקבעת של וקטורים $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ שעבורם המשוואה הבאה מתקיימת.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

לדוגמה, נניח ש-$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא הבסיס הסטנדרטי המשויך ל-$\mathsf{X}.$ בהנחה שקבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}$ היא $\{0,\ldots,n-1\},$ משמע ש-$\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ עבור כל $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ ומוצאים ש

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

כאשר

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

עבור כל $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ אנחנו שוקלים לעתים קרובות ביטויים כאלה כאשר אנחנו מהרהרים במדידת בסיס סטנדרטי של $\mathsf{X}.$

חשוב לציין שהנוסחה

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

עבור הוקטורים $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ בדוגמה זו עובדת רק מכיוון ש-$\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי. באופן כללי, אם $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא בסיס שאינו בהכרח אורתונורמלי, אז הוקטורים $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ עדיין נקבעים באופן יחיד על ידי המשוואה $(1),$ אך נדרשת נוסחה שונה. דרך אחת למצוא אותם היא תחילה לזהות וקטורים $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ כך שהמשוואה

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

מתקיימת עבור כל $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ ואז יש לנו

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

עבור בסיס נתון $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ של מרחב הוקטורים המתאים ל-$\mathsf{X},$ הוקטורים הנקבעים באופן יחיד $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ שעבורם המשוואה $(1)$ מתקיימת לא יקיימו בהכרח תכונות מיוחדות, גם אם $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי. אולם, אם נבחר $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ להיות בסיס אורתונורמלי של וקטורי עצם של המצב המוקטן

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

אז קורה משהו מעניין. ספציפית, עבור האוסף הנקבע באופן יחיד $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ שעבורו המשוואה $(1)$ מתקיימת, נמצא שאוסף זה חייב להיות אורתוגונלי.

בפירוט רב יותר, נשקול פירוק ספקטרלי של $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

כאן אנחנו מציינים את ערכי העצם של $\rho$ ב-$p_0,\ldots,p_{n-1}$ בהכרה בעובדה ש-$\rho$ הוא מטריצת צפיפות — כך שוקטור ערכי העצם $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ יוצר וקטור הסתברות — בעוד $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי של וקטורי עצם המתאימים לערכי עצם אלו. כדי לראות שהאוסף הייחודי $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ שעבורו המשוואה $(1)$ מתקיימת הוא בהכרח אורתוגונלי, נוכל להתחיל בחישוב העקבה החלקית.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

ביטוי זה חייב להסכים עם הפירוק הספקטרלי של $\rho.$ מכיוון ש-$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא בסיס, אנחנו מסיקים שקבוצת המטריצות

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

היא בלתי תלויה לינארית, ולכן נובע ש

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

מה שמבסס ש-$\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ הוא אורתוגונלי.

כמעט הגענו לפירוק שמידט של $\vert\psi\rangle.$ נותר להשמיט את האיברים ב-$(1)$ שעבורם $p_a = 0$ ואז לכתוב $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ עבור וקטור יחידה $\vert y_a\rangle$ לכל אחד מהאיברים הנותרים.

דרך נוחה לעשות זאת מתחילה בהתבוננות שאנו חופשיים לממור את זוגות ערך-עצם/וקטור-עצם בפירוק ספקטרלי של המצב המוקטן $\rho$ כרצוננו — כך נוכל להניח שערכי העצם ממוינים בסדר יורד:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

בציון $r = \operatorname{rank}(\rho),$ נמצא ש-$p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ ו-$p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ אז, יש לנו

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

ונוכל לכתוב את וקטור המצב הקוונטי $\vert \psi \rangle$ בתור

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

בהינתן ש

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

עבור $a=0,\ldots,r-1,$ נוכל להגדיר וקטורי יחידה $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ בתור

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

כך ש-$\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ עבור כל $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ מכיוון שהוקטורים $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ הם אורתוגונליים ושונים מאפס, נובע ש-$\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ הוא קבוצה אורתונורמלית, ולכן קיבלנו פירוק שמידט של $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

לגבי בחירת הוקטורים $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ו- $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ נוכל לבחור $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ להיות כל קבוצה אורתונורמלית של וקטורי עצם המתאימים לערכי העצם השונים מאפס של המצב המוקטן $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (כפי שעשינו לעיל), שבמקרה זה הוקטורים $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ נקבעים באופן יחיד.

המצב סימטרי בין שתי המערכות, ולכן נוכל לחלופין לבחור $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ להיות כל קבוצה אורתונורמלית של וקטורי עצם המתאימים לערכי העצם השונים מאפס של המצב המוקטן $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ שבמקרה זה הוקטורים $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ ייקבעו באופן יחיד.

שים לב, עם זאת, שברגע שנבחרת אחת הקבוצות כקבוצת וקטורי עצם של המצב המוקטן המתאים כפי שתואר זה עתה, האחרת נקבעת — כך שלא ניתן לבחור אותן באופן עצמאי.

למרות שזה לא יעלה שוב בסדרה זו, ראוי לציין שערכי העצם השונים מאפס $p_0,\ldots,p_{r-1}$ של המצב המוקטן $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ חייבים תמיד להסכים עם ערכי העצם השונים מאפס של המצב המוקטן $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ עבור כל מצב טהור $\vert\psi\rangle$ של זוג מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

אינטואיטיבית, למצבים המוקטנים של $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ יש בדיוק אותה כמות של אקראיות בהם כאשר הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ נמצא במצב טהור. עובדה זו נחשפת על ידי פירוק שמידט: בשני המקרים ערכי העצם של המצבים המוקטנים חייבים להסכים עם ריבועי מקדמי שמידט של המצב הטהור.

שקילות יוניטרית של טיהורים

אנחנו יכולים להשתמש בפירוקי שמידט כדי לקבוע עובדה חשובה ביסודה לגבי טיהורים, הידועה כשקילות היוניטרית של טיהורים.

משפט

שקילות יוניטרית של טיהורים: נניח ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם מערכות, ו-$\vert\psi\rangle$ ו-$\vert\phi\rangle$ הם וקטורי מצב קוונטי של $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ שמפרים את אותו מצב של $\mathsf{X}.$ כלומר,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

עבור מטריצת צפיפות כלשהי $\rho$ המייצגת מצב של $\mathsf{X}.$ אז בהכרח קיימת פעולה יוניטרית $U$ על $\mathsf{Y}$ בלבד שמעבירה את הפיור הראשון לשני:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

נדון בכמה מהשלכות המשפט הזה בהמשך השיעור, אבל קודם כל נראה כיצד הוא נובע מהדיון הקודם שלנו על פירוקי שמידט.

ההנחה שלנו היא ש-$\vert\psi\rangle$ ו-$\vert\phi\rangle$ הם וקטורי מצב קוונטי של זוג מערכות $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ המקיימים את המשוואה

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

עבור מטריצת צפיפות כלשהי $\rho$ המייצגת מצב של $\mathsf{X}.$

נשקול פירוק ספקטרלי של $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

כאן $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של $\rho.$ על ידי יישום המרשם שתואר קודם, נוכל לקבל פירוקי שמידט עבור $\vert\psi\rangle$ ו-$\vert\phi\rangle$ בצורה הבאה.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

בביטויים האלה, $r$ הוא הדרגה של $\rho$ ו-$\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ ו-$\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ הם קבוצות אורתונורמליות של וקטורים במרחב המתאים ל-$\mathsf{Y}.$

לכל שתי קבוצות אורתונורמליות באותו מרחב עם אותו מספר איברים, קיימת תמיד מטריצה יוניטרית שמעבירה את הקבוצה הראשונה לשנייה, אז נוכל לבחור מטריצה יוניטרית $U$ כך ש-$U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ עבור $a = 0,\ldots,r-1.$ בפרט, כדי למצוא מטריצה $U$ כזו, נוכל תחילה להשתמש בתהליך הגרם-שמידט להרחבת הקבוצות האורתונורמליות שלנו לבסיסים אורתונורמליים $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ ו-$\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ כאשר $m$ הוא מימד המרחב המתאים ל-$\mathsf{Y},$ ואז לקחת

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

כעת נמצא ש:

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

ובזה מסתיים ההוכחה.

הנה רק כמה מבין דוגמאות והשלכות רבות ומעניינות הקשורות לשקילות היוניטרית של טיהורים. נראה עוד אחת, שהיא קריטית ביותר, בהמשך השיעור, בהקשר של נאמנות, המוכרת כמשפט אוהלמן.

קידוד על-צפוף

בפרוטוקול הקידוד הסופר-צפוף, אליס ובוב חולקים ביט-e, כלומר אליס מחזיקה qubit $\mathsf{A},$ בוב מחזיק qubit $\mathsf{B},$ והזוג $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ יחד נמצא במצב Bell $\vert\phi^{+}\rangle.$ הפרוטוקול מתאר כיצד אליס יכולה להמיר את המצב המשותף לאחד מארבעת מצבי Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ ו-$\vert\psi^-\rangle,$ על ידי יישום פעולה יוניטרית על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}.$ לאחר שעשתה זאת, היא שולחת את $\mathsf{A}$ לבוב, ואז בוב מבצע מדידה על הזוג $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ כדי לראות איזה מצב Bell הוא מחזיק.

עבור כל ארבעת מצבי Bell, המצב המצומצם של ה-Qubit $\mathsf{B}$ של בוב הוא המצב המעורב לחלוטין.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

מהשקילות היוניטרית של טיהורים, אנחנו מסיקים מיד שעבור כל מצב Bell חייבת להתקיים פעולה יוניטרית על ה-Qubit $\mathsf{A}$ של אליס בלבד שמעבירה את $\vert\phi^+\rangle$ למצב Bell הנבחר. אף שזה לא חושף את הפרטים המדויקים של הפרוטוקול, השקילות היוניטרית של טיהורים אכן מרמזת מיד שקידוד על-צפוף אפשרי.

אנחנו יכולים גם להסיק שהכללות של קידוד על-צפוף למערכות גדולות יותר תמיד אפשריות, בתנאי שנחליף את מצבי Bell בבסיס אורתונורמלי כלשהו של טיהורים של המצב המעורב לחלוטין.

השלכות קריפטוגרפיות

לשקילות היוניטרית של טיהורים יש השלכות לגבי יישום פרימיטיבים קריפטוגרפיים באמצעות מידע קוונטי. לדוגמה, השקילות היוניטרית של טיהורים מגלה שאי-אפשר לממש צורה אידיאלית של מחויבות סיבית (bit commitment) באמצעות מידע קוונטי.

הפרימיטיב של מחויבות סיבית כולל שני משתתפים, אליס ובוב (שלא סומכים זה על זה), ויש לו שני שלבים.

• השלב הראשון הוא שלב ההתחייבות, שבו אליס מתחייבת לערך בינארי $b\in\{0,1\}.$ התחייבות זו חייבת להיות מחייבת, כלומר שאליס לא יכולה לחזור בה, וגם מסתירה, כלומר שבוב לא יכול לדעת לאיזה ערך התחייבה אליס.
• השלב השני הוא שלב הגילוי, שבו הביט שהתחייבה אליס נודע לבוב, שאמור להשתכנע שאכן זה הערך שהוא שהתגלה.

במונחים אינטואיטיביים ואופרציונליים, השלב הראשון של מחויבות סיבית אמור לפעול כאילו אליס כתבה ערך בינארי על פיסת נייר, נעלה את הנייר בתוך כספת, ומסרה את הכספת לבוב תוך שמירת המפתח אצלה. אליס התחייבה לערך הבינארי שנכתב על הנייר מכיוון שהכספת ברשות בוב (אז זה מחייב), אבל מכיוון שבוב לא יכול לפתוח את הכספת הוא לא יכול לדעת לאיזה ערך התחייבה אליס (אז זה מסתיר). השלב השני אמור לפעול כאילו אליס מסרה את המפתח לכספת לבוב, כדי שיוכל לפתוח אותה ולגלות את הערך שאליס התחייבה לו.

כפי שמסתבר, אי-אפשר לממש פרוטוקול מחויבות סיבית מושלם באמצעות מידע קוונטי בלבד, שכן זה סותר את השקילות היוניטרית של טיהורים. הנה סיכום ברמה גבוהה של טיעון שמוכיח זאת.

ראשית, נוכל להניח שאליס ובוב מבצעים רק פעולות יוניטריות או מכניסים מערכות מאותחלות חדשות בעת ביצוע הפרוטוקול. העובדה שלכל ערוץ יש ייצוג שטיינספרינג מאפשרת לנו לעשות הנחה זו.

בסוף שלב ההתחייבות בפרוטוקול, בוב מחזיק ברשותו מערכת מורכבת כלשהי שחייבת להיות באחד משני מצבים קוונטיים: $\rho_0$ אם אליס התחייבה לערך $0$ ו-$\rho_1$ אם אליס התחייבה לערך $1.$ כדי שהפרוטוקול יהיה מסתיר לחלוטין, בוב לא אמור להיות מסוגל להבדיל בין שני המצבים האלה — אז חייב להתקיים $\rho_0 = \rho_1.$ (אחרת הייתה קיימת מדידה שמבדילה בין המצבים האלה בצורה הסתברותית.)

אולם, מכיוון שאליס ובוב השתמשו רק בפעולות יוניטריות, המצב של כל המערכות המעורבות בפרוטוקול יחד לאחר שלב ההתחייבות חייב להיות במצב טהור. בפרט, נניח ש-$\vert\psi_0\rangle$ הוא המצב הטהור של כל המערכות המעורבות בפרוטוקול כשאליס מתחייבת ל-$0,$ ו-$\vert\psi_1\rangle$ הוא המצב הטהור של כל המערכות המעורבות בפרוטוקול כשאליס מתחייבת ל-$1.$ אם נסמן ב-$\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B}$ את המערכות (שיכולות להיות מורכבות) של אליס ובוב, אז

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

בהינתן הדרישה ש-$\rho_0 = \rho_1$ לפרוטוקול מסתיר לחלוטין, אנחנו מוצאים ש-$\vert\psi_0\rangle$ ו-$\vert\psi_1\rangle$ הם טיהורים של אותו מצב — ולכן, מהשקילות היוניטרית של טיהורים, חייבת להתקיים פעולה יוניטרית $U$ על $\mathsf{A}$ בלבד כך ש:

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

אליס חופשית לכן לשנות את התחייבותה מ-$0$ ל-$1$ על ידי יישום $U$ על $\mathsf{A},$ או מ-$1$ ל-$0$ על ידי יישום $U^{\dagger},$ וכך הפרוטוקול ההיפותטי שנבחן נכשל לחלוטין מבחינת היותו מחייב.

משפט יוסטון-ג'וזסה-וווטרס

ההשלכה האחרונה של השקילות היוניטרית של טיהורים שנדון בה בחלק זה של השיעור היא המשפט הבא, המוכר כמשפט יוסטון-ג'וזסה-וווטרס. (זהו, למעשה, ניסוח מעט פשוט יותר של המשפט הידוע בשם זה.)

משפט

יוסטון-ג'וזסה-וווטרס: תהיינה $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ מערכות ויהי $\vert\phi\rangle$ וקטור מצב קוונטי של הזוג $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ כמו כן, יהי $N$ מספר שלם חיובי שרירותי, יהי $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ וקטור הסתברות, ויהיו $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ וקטורי מצב קוונטי המייצגים מצבים של $\mathsf{X}$ כך ש:

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

קיימת מדידה (כללית) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ על $\mathsf{Y}$ כך ששני הטענות הבאות מתקיימות כאשר מדידה זו מתבצעת על $\mathsf{Y}$ כאשר $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ נמצאת במצב $\vert\phi\rangle:$

1. כל תוצאת מדידה $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ מתקבלת בהסתברות $p_a$.
2. בהינתן שקיבלנו את תוצאת המדידה $a,$ המצב של $\mathsf{X}$ הופך ל-$\vert\psi_a\rangle.$

באופן אינטואיטיבי, המשפט הזה אומר שכל עוד יש לנו מצב טהור של שתי מערכות, אז לכל דרך לחשוב על המצב המצומצם של המערכת הראשונה כצירוף קמור של מצבים טהורים, קיימת מדידה של המערכת השנייה שהופכת את דרך החשיבה הזו על המערכת הראשונה למציאות. שים לב שהמספר $N$ לאו דווקא חסום על ידי מספר המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}$ או $\mathsf{Y}.$ לדוגמה, ייתכן ש-$N = 1,000,000$ בעוד ש-$\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Y}$ הם qubits.

נוכיח משפט זה תוך שימוש בשקילות היוניטרית של טיהורים, החל מהכנסת מערכת חדשה $\mathsf{Z}$ שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\{0,\ldots,N-1\}.$ נשקול את שני וקטורי המצב הקוונטי הבאים של השלישייה $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

הוקטור הראשון $\vert\gamma_0\rangle$ הוא פשוט וקטור המצב הקוונטי הנתון $\vert\phi\rangle$ מוכפל בטנסור עם $\vert 0\rangle$ עבור המערכת החדשה $\mathsf{Z}.$ לגבי הוקטור השני $\vert\gamma_1\rangle,$ יש לנו בעצם וקטור מצב קוונטי שהיה הופך את המשפט לטריוויאלי — לפחות אם $\mathsf{Y}$ הייתה מוחלפת ב-$\mathsf{Z}$ — מכיוון שמדידת בסיס סטנדרטי המבוצעת על $\mathsf{Z}$ מניבה בבירור כל תוצאה $a$ בהסתברות $p_a,$ ובהינתן קבלת תוצאה זו המצב של $\mathsf{X}$ הופך ל-$\vert\psi_a\rangle.$

על ידי התייחסות לזוג $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ כמערכת מרוכבת אחת שניתן לנטרל אותה כדי להשאיר את $\mathsf{X},$ אנחנו מגלים שזיהינו שני טיהורים שונים של המצב

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

ספציפית, עבור הראשון יש לנו

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

ועבור השני יש לנו

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

לכן חייבת להתקיים פעולה יוניטרית $U$ על $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ המקיימת

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

מהשקילות היוניטרית של טיהורים.

באמצעות הפעולה היוניטרית $U$ הזו, נוכל לממש מדידה המקיימת את דרישות המשפט כפי שממחיש הדיאגרמה הבאה. במילים, אנחנו מכניסים את המערכת החדשה $\mathsf{Z}$ מאותחלת למצב $\vert 0\rangle,$ מיישמים את $U$ על $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ שמעבירה את מצב $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ מ-$\vert\gamma_0\rangle$ ל-$\vert\gamma_1\rangle,$ ואז מודדים את $\mathsf{Z}$ עם מדידת בסיס סטנדרטי, שכבר ראינו שנותנת את ההתנהגות הרצויה.

המלבן המנוקד בתרשים מייצג מימוש של מדידה זו, שניתן לתאר אותה כאוסף של מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ כדלקמן.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$