יסודות הערוצים הקוונטיים

במונחים מתמטיים, ערוצים הם מיפויים ליניאריים ממטריצות צפיפות למטריצות צפיפות שמקיימים דרישות מסוימות. לאורך השיעור הזה נשתמש באותיות יווניות גדולות, כולל $\Phi$ ו-$\Psi,$ וכן באותיות אחרות במקרים ספציפיים, כדי לציין ערוצים.

לכל ערוץ $\Phi$ יש מערכת קלט ומערכת פלט. בדרך כלל נשתמש בשם $\mathsf{X}$ למערכת הקלט ו-$\mathsf{Y}$ למערכת הפלט. מצב נפוץ הוא שמערכת הפלט של ערוץ זהה למערכת הקלט, ובמקרה כזה אפשר להשתמש באותה האות $\mathsf{X}$ לשתיהן.

ערוצים הם מיפויים ליניאריים

ערוצים מתוארים על ידי מיפויים ליניאריים, בדיוק כמו פעולות הסתברותיות בניסוח הקלאסי הסטנדרטי של מידע ופעולות יוניטריות בניסוח המפושט של מידע קוונטי.

אם ערוץ $\Phi$ מופעל על מערכת קלט $\mathsf{X}$ שמצבה מתואר על ידי מטריצת צפיפות $\rho,$ אז מערכת הפלט של הערוץ מתוארת על ידי מטריצת הצפיפות $\Phi(\rho).$ במצב שבו מערכת הפלט של $\Phi$ היא גם $\mathsf{X},$ אפשר פשוט לראות בערוץ שינוי של מצב $\mathsf{X}$ מ-$\rho$ ל-$\Phi(\rho).$ כאשר מערכת הפלט של $\Phi$ היא מערכת שונה, $\mathsf{Y},$ ולא $\mathsf{X},$ יש להבין ש-$\mathsf{Y}$ היא מערכת חדשה שנוצרת בתהליך הפעלת הערוץ, ומערכת הקלט $\mathsf{X}$ אינה זמינה עוד לאחר הפעלת הערוץ — כאילו הערוץ עצמו המיר את $\mathsf{X}$ ל-$\mathsf{Y}$ ונותר במצב $\Phi(\rho).$

ההנחה שערוצים מתוארים על ידי מיפויים ליניאריים ניתן לראות כאקסיומה — כלומר, כהנחת יסוד של התיאוריה ולא כמשהו שמוכיחים. עם זאת, אפשר לראות מדוע ערוצים חייבים לפעול בצורה ליניארית על צירופים קמורים של קלטי מטריצות צפיפות, כדי שיהיו עקביים עם תורת ההסתברות ועם מה שכבר למדנו על מטריצות צפיפות.

כדי להיות יותר מדויקים, נניח שיש לנו ערוץ $\Phi$ ואנחנו מפעילים אותו על מערכת כשהיא נמצאת באחד משני המצבים המיוצגים על ידי מטריצות הצפיפות $\rho$ ו-$\sigma.$ אם נפעיל את הערוץ על $\rho$ נקבל את מטריצת הצפיפות $\Phi(\rho),$ ואם נפעיל אותו על $\sigma$ נקבל את מטריצת הצפיפות $\Phi(\sigma).$ לפיכך, אם נבחר באקראי שמצב הקלט של $\mathsf{X}$ יהיה $\rho$ בהסתברות $p$ ו-$\sigma$ בהסתברות $1-p,$ נקבל את מצב הפלט $\Phi(\rho)$ בהסתברות $p$ ו-$\Phi(\sigma)$ בהסתברות $1-p,$ שאותו אנחנו מייצגים כממוצע משוקלל של מטריצות צפיפות: $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

מצד שני, אפשר לחשוב על מצב הקלט של הערוץ כמיוצג על ידי הממוצע המשוקלל $p\rho + (1-p)\sigma,$ ואז הפלט הוא $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ זהו אותו המצב בלי קשר לאיך אנחנו בוחרים לחשוב עליו, ולכן חייב להתקיים

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

בכל פעם שיש לנו מיפוי שמקיים תנאי זה עבור כל בחירה של מטריצות צפיפות $\rho$ ו-$\sigma$ וסקלרים $p\in [0,1],$ תמיד קיימת דרך יחידה להרחיב את המיפוי לכל קלט מטריצי (כלומר, לא רק קלטי מטריצות צפיפות) כך שיהיה ליניארי.

ערוצים הופכים מטריצות צפיפות למטריצות צפיפות

באופן טבעי, בנוסף להיותם מיפויים ליניאריים, ערוצים חייבים גם להפוך מטריצות צפיפות למטריצות צפיפות. אם ערוץ $\Phi$ מופעל על מערכת קלט כשהיא במצב המיוצג על ידי מטריצת צפיפות $\rho,$ אנחנו מקבלים מערכת שמצבה מיוצג על ידי $\Phi(\rho),$ שחייבת להיות מטריצת צפיפות תקינה כדי שנוכל לפרשה כמצב.

חשוב ביותר לשקול מצב כללי יותר, שבו ערוץ $\Phi$ ממיר מערכת $\mathsf{X}$ למערכת $\mathsf{Y}$ בנוכחות מערכת נוספת $\mathsf{Z}$ שלא נעשה בה דבר. כלומר, אם מתחילים עם זוג המערכות $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ במצב המתואר על ידי מטריצת צפיפות כלשהי, ואז מפעילים את $\Phi$ רק על $\mathsf{X}$ ומשנים אותה ל-$\mathsf{Y},$ חייבים לקבל מטריצת צפיפות שמתארת מצב של הזוג $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

אפשר לתאר במונחים מתמטיים כיצד ערוץ $\Phi,$ עם מערכת קלט $\mathsf{X}$ ומערכת פלט $\mathsf{Y},$ ממיר מצב של הזוג $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ למצב של $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ כאשר לא עושים כלום ל-$\mathsf{Z}.$ כדי לפשט, נניח שקבוצת המצבים הקלאסית של $\mathsf{Z}$ היא $\{0,\ldots,m-1\}.$ זה מאפשר לנו לכתוב מטריצת צפיפות שרירותית $\rho,$ המייצגת מצב של $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ בצורה הבאה.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

בצד ימין של משוואה זו יש לנו מטריצת בלוקים, שאפשר לחשוב עליה כמטריצה של מטריצות, אלא שהסוגריים הפנימיים הוסרו. זה משאיר אותנו עם מטריצה רגילה שניתן לתאר גם באמצעות סימון דיראק כפי שעשינו בביטוי האמצעי. לכל מטריצה $\rho_{a,b}$ יש שורות ועמודות המתאימות למצבים הקלאסיים של $\mathsf{X},$ וניתן לקבוע את המטריצות האלה על ידי נוסחה פשוטה.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

שימו לב שבדרך כלל אלו אינן מטריצות צפיפות — רק כאשר הן מסודרות יחד ליצירת $\rho$ אנחנו מקבלים מטריצת צפיפות.

המשוואה הבאה מתארת את המצב של $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ שמתקבל כאשר $\Phi$ מופעל על $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

שימו לב שכדי לחשב את הביטוי הזה עבור בחירה נתונה של $\Phi$ ו-$\rho,$ עלינו להבין כיצד $\Phi$ עובד כמיפוי ליניארי על קלטים שאינם מטריצות צפיפות, שכן כל $\rho_{a,b}$ בדרך כלל לא תהיה מטריצת צפיפות בפני עצמה. המשוואה עקבית עם הביטוי $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ שבו $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ מציין את ערוץ הזהות על המערכת $\mathsf{Z}.$ זה מניח שהרחבנו את מושג המכפלה הטנסורית למיפויים ליניאריים ממטריצות למטריצות, דבר שהוא ישיר — אך אינו ממש חיוני לשיעור ולא יוסבר עוד.

לסיכום מה שנאמר לעיל, כדי שמיפוי ליניארי $\Phi$ יהיה ערוץ תקין, עבור כל בחירה של $\mathsf{Z}$ ועבור כל מטריצת צפיפות $\rho$ של הזוג $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ חייבים תמיד לקבל מטריצת צפיפות כאשר $\Phi$ מופעל על $\mathsf{X}.$ במונחים מתמטיים, המאפיינים שמיפוי חייב לקיים כדי להיות ערוץ הם: שימור עקבה — כך שלמטריצה שמתקבלת מהפעלת הערוץ יהיה עקבה שווה לאחד — וכן חיוביות מוחלטת — כך שהמטריצה המתקבלת תהיה חיובית למחצה. שני המאפיינים הללו חשובים וניתן לבחון ולחקור אותם בנפרד, אך אין זה קריטי לצורך שיעור זה לבחון מאפיינים אלו בבידוד.

למעשה, קיימים מיפויים ליניאריים שמוציאים תמיד מטריצת צפיפות כאשר מקבלים מטריצת צפיפות כקלט, אך נכשלים במיפוי מטריצות צפיפות למטריצות צפיפות עבור מערכות מורכבות — ולכן אנחנו כן מוציאים חלק מהמיפויים הליניאריים מקבוצת הערוצים. (המיפוי הליניארי הנתון על ידי טרנספוזיציה של מטריצות הוא הדוגמה הפשוטה ביותר.)

יש לנו נוסחה אנלוגית לנוסחה לעיל במקרה שהמערכות $\mathsf{X}$ ו-$\mathsf{Z}$ מוחלפות, כך ש-$\Phi$ מופעל על המערכת בצד שמאל ולא בצד ימין.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

זה מניח ש-$\rho$ הוא מצב של $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ ולא של $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ הפעם תיאור מטריצת הבלוקים לא עובד כי המטריצות $\rho_{a,b}$ לא נמצאות בשורות ועמודות רצופות ב-$\rho,$ אבל זו אותה המבנה המתמטי הבסיסי.

כל מיפוי ליניארי שמקיים את הדרישה שהוא תמיד ממיר מטריצות צפיפות למטריצות צפיפות, אפילו כאשר הוא מופעל רק על חלק ממערכת מורכבת, מייצג ערוץ תקין. לפיכך, במובן מופשט, מושג הערוץ נקבע על ידי מושג מטריצת הצפיפות, יחד עם ההנחה שערוצים פועלים בצורה ליניארית. בהקשר זה, ערוצים אנלוגיים לפעולות יוניטריות בניסוח המפושט של מידע קוונטי, שהן בדיוק המיפויים הליניאריים שתמיד ממירים וקטורי מצב קוונטי לוקטורי מצב קוונטי עבור מערכת נתונה; וכן לפעולות הסתברותיות (המיוצגות על ידי מטריצות סטוכסטיות) בניסוח הסטנדרטי של מידע קלאסי, שהן בדיוק המיפויים הליניאריים שתמיד ממירים וקטורי הסתברות לוקטורי הסתברות.

פעולות יוניטריות כערוצים

נניח ש-$\mathsf{X}$ היא מערכת ו-$U$ היא מטריצה יוניטרית המייצגת פעולה על $\mathsf{X}.$ הערוץ $\Phi$ שמתאר פעולה זו על מטריצות צפיפות מוגדר כך עבור כל מטריצת צפיפות $\rho$ המייצגת מצב קוונטי של $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

פעולה זו, שבה מכפילים ב-$U$ מצד שמאל וב-$U^{\dagger}$ מצד ימין, מכונה בדרך כלל צימוד (conjugation) על ידי המטריצה $U.$

תיאור זה עקבי עם העובדה שמטריצת הצפיפות המייצגת וקטור מצב קוונטי נתון $\vert\psi\rangle$ היא $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ בפרט, אם הפעולה היוניטרית $U$ מופעלת על $\vert\psi\rangle,$ אז מצב הפלט מיוצג על ידי הוקטור $U\vert\psi\rangle,$ ולכן מטריצת הצפיפות המתארת מצב זה שווה ל-

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

לאחר שאנחנו יודעים שכערוץ, לפעולה $U$ יש את הפעולה $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ על מצבים טהורים, אנחנו יכולים להסיק מליניאריות שהיא חייבת לפעול כפי שמצוין על ידי המשוואה $(1)$ לעיל עבור כל מטריצת צפיפות $\rho.$

הערוץ הספציפי שמתקבל כאשר לוקחים $U = \mathbb{I}$ הוא ערוץ הזהות$\;\operatorname{Id},$ שאפשר לתת לו גם מינוי (כמו $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ כפי שכבר נתקלנו בו) כאשר רוצים לציין במפורש על איזו מערכת הערוץ פועל. הפלט שלו תמיד שווה לקלטו: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ זה אולי לא נראה כמו ערוץ מעניין, אך הוא למעשה חשוב מאוד — ומתאים שהוא הדוגמה הראשונה שלנו. ערוץ הזהות הוא הערוץ המושלם בחלק מהקשרים, ומייצג זיכרון אידיאלי או שידור מושלם וחסר רעש של מידע משולח למקבל.

כל ערוץ המוגדר על ידי פעולה יוניטרית בדרך זו הוא אכן ערוץ תקין: צימוד על ידי מטריצה $U$ מעניק לנו מיפוי ליניארי; ואם $\rho$ היא מטריצת צפיפות של מערכת $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ו-$U$ יוניטרית, אז התוצאה, שאפשר לבטא אותה כ-

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

היא גם מטריצת צפיפות. ספציפית, מטריצה זו חייבת להיות חיובית למחצה, שכן אם $\rho = M^{\dagger} M$ אז

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

עבור $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ והעקבה שלה חייב להיות אחד מהתכונה המעגלית של העקבה.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

צירופים קמורים של ערוצים

נניח שיש לנו שני ערוצים, $\Phi_0$ ו-$\Phi_1,$ שחולקים את אותה מערכת קלט ואת אותה מערכת פלט. עבור כל מספר ממשי $p\in[0,1],$ אפשר להחליט להפעיל את $\Phi_0$ בהסתברות $p$ ואת $\Phi_1$ בהסתברות $1-p,$ מה שנותן לנו ערוץ חדש שניתן לכתוב כ-$p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ במפורש, האופן שבו ערוץ זה פועל על מטריצת צפיפות נתונה מצוין על ידי המשוואה הפשוטה הבאה.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

באופן כללי יותר, אם יש לנו ערוצים $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ וקטור הסתברות $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ אז אפשר לממצע את הערוצים האלה כדי לקבל ערוץ חדש.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

זהו צירוף קמור של ערוצים, ותמיד מקבלים ערוץ תקין בתהליך זה. דרך פשוטה לאמר זאת במונחים מתמטיים היא שעבור בחירה נתונה של מערכת קלט ופלט, קבוצת כל הערוצים היא קבוצה קמורה.

כדוגמה, אפשר לבחור להפעיל אחת מאוסף פעולות יוניטריות על מערכת מסוימת. מקבלים מה שמכונה ערוץ יוניטרי מעורב, שהוא ערוץ שניתן לבטא בצורה הבאה.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

ערוצים יוניטריים מעורבים שבהם כל הפעולות היוניטריות הן מטריצות פאולי (או מכפלות טנסוריות של מטריצות פאולי) נקראים ערוצי פאולי, ונתקלים בהם לעתים קרובות בחישוב קוונטי.

דוגמאות לערוצי Qubit

עכשיו נבחן כמה דוגמאות ספציפיות לערוצים שאינם יוניטריים. בכל הדוגמאות הללו, מערכות הקלט והפלט הן שתיהן Qubit בודד, כלומר אלו דוגמאות לערוצי Qubit.

ערוץ איפוס ה-Qubit

ערוץ זה עושה דבר פשוט מאוד: הוא מאפס Qubit למצב $\vert 0\rangle.$ כמיפוי ליניארי, אפשר לבטא ערוץ זה כך עבור כל מטריצת צפיפות של Qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

למרות שהעקבה של כל מטריצת צפיפות $\rho$ שווה ל-$1,$ כתיבת הערוץ בדרך זו מבהירה שמדובר במיפוי ליניארי שניתן להפעיל על כל מטריצה $2\times 2,$ לא רק על מטריצת צפיפות. כפי שכבר ציינו, עלינו להבין כיצד ערוצים פועלים כמיפויים ליניאריים על קלטים שאינם מטריצות צפיפות כדי לתאר מה קורה כאשר הם מופעלים רק על חלק ממערכת מורכבת.

לדוגמה, נניח ש-$\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B}$ הם Qubit ויחד הזוג $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ נמצא במצב בל $\vert \phi^+\rangle.$ כמטריצת צפיפות, מצב זה נתון על ידי

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

באמצעות סימון דיראק אפשר לבטא מצב זה גם כך.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

על ידי הפעלת ערוץ איפוס ה-Qubit על $\mathsf{A}$ ואי-עשיית דבר ל-$\mathsf{B},$ מקבלים את המצב הבא.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

אולי יש פיתוי לומר שאיפוס $\mathsf{A}$ השפיע על $\mathsf{B}$ וגרם לו להפוך לשיכוח מוחלט — אך במובן מסוים זה ההיפך. לפני שאופסה $\mathsf{A},$ המצב המוּפחת של $\mathsf{B}$ היה המצב המעורבב לחלוטין, וזה לא משתנה כתוצאה מאיפוס $\mathsf{A}.$

ערוץ הדיפייזינג המוחלט

הנה דוגמה לערוץ Qubit שנקרא $\Delta,$ המתואר על ידי פעולתו על מטריצות $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

במילים, $\Delta$ מאפס את האיברים שמחוץ לאלכסון של מטריצה $2\times 2.$ דוגמה זו ניתנת להכללה למערכות שרירותיות, ולא רק Qubit: עבור כל מטריצת צפיפות שתהיה הקלט, הערוץ מאפס את כל האיברים שמחוץ לאלכסון ומשאיר את האלכסון בשלמותו.

ערוץ זה נקרא ערוץ הדיפייזינג המוחלט, וניתן לחשוב עליו כמייצג צורה קיצונית של התהליך המכונה דיקוהרנס — שבעצם הורס סופרפוזיציות קוונטיות והופך אותן למצבים הסתברותיים קלאסיים.

דרך נוספת לחשוב על ערוץ זה היא שהוא מתאר מדידת בסיס סטנדרטי על Qubit, שבה Qubit קלט נמדד ואז נזרק, ואיבוד הפלט הוא מטריצת צפיפות המתארת את תוצאת המדידה. לחלופין, אך בצורה שקולה, אפשר לדמיין שתוצאת המדידה נזרקת, ומשאירה את ה-Qubit במצב שלאחר המדידה.

נשקול שוב e-bit, ונראה מה קורה כאשר $\Delta$ מופעל רק על אחד משני ה-Qubit. ספציפית, יש לנו Qubit $\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B}$ שעבורם $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ נמצא במצב $\vert\phi^+\rangle,$ והפעם נפעיל את הערוץ על ה-Qubit השני. הנה המצב שמקבלים.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

לחלופין אפשר לבטא משוואה זו באמצעות מטריצות בלוקים.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

אפשר גם לשקול ערוץ Qubit שרק מדפייז קצת את ה-Qubit, בניגוד לדיפייזינג מוחלט, שהוא צורת דיקוהרנס פחות קיצונית מזו המיוצגת על ידי ערוץ הדיפייזינג המוחלט. בפרט, נניח ש-$\varepsilon \in (0,1)$ הוא מספר ממשי קטן אך שונה מאפס. אפשר להגדיר ערוץ

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

שממיר מטריצת צפיפות נתונה של Qubit $\rho$ כך:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

כלומר, לא קורה דבר בהסתברות $1-\varepsilon,$ ובהסתברות $\varepsilon$ ה-Qubit עובר דיפייזינג. במונחים של מטריצות, פעולה זו ניתנת לביטוי כך, שבו האיברים האלכסוניים נשארים ללא שינוי והאיברים שמחוץ לאלכסון מוכפלים ב-$1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

ערוץ הדפולריזציה המוחלטת

הנה דוגמה נוספת לערוץ Qubit שנקרא $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

כאן $\mathbb{I}$ מציין את מטריצת הזהות $2\times 2.$ במילים, עבור כל קלט של מטריצת צפיפות $\rho,$ הערוץ $\Omega$ מוציא את המצב המעורבב לחלוטין. יותר רועש מזה — כבר אי-אפשר! ערוץ זה נקרא ערוץ הדפולריזציה המוחלטת, וכמו ערוץ הדיפייזינג המוחלט ניתן להכלילו למערכות שרירותיות במקום Qubit.

אפשר גם לשקול גרסה פחות קיצונית של ערוץ זה שבה דפולריזציה מתרחשת בהסתברות $\varepsilon,$ בדומה למה שראינו עבור ערוץ הדיפייזינג.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$