ייצוגים של ערוצים

בחלק הזה נדון בייצוגים המתמטיים של ערוצים.

מיפויים לינאריים מוקטורים לוקטורים ניתן לייצג באמצעות מטריצות בדרך המוכרת, שבה פעולת המיפוי הלינארי מתוארת על ידי כפל מטריצה-וקטור. אבל ערוצים הם מיפויים לינאריים ממטריצות למטריצות, לא מוקטורים לוקטורים. אז, באופן כללי, כיצד ניתן לבטא ערוצים במונחים מתמטיים?

עבור ערוצים מסוימים, יכולה להיות לנו נוסחה פשוטה שמתארת אותם, כמו בשלושת הדוגמאות של ערוצי Qubit לא-יוניטריים שתוארו קודם לכן. אבל ערוץ שרירותי אולי אין לו נוסחה כזו נחמדה, ולכן לא מעשי באופן כללי לבטא ערוץ בצורה הזו.

כנקודת השוואה, בניסוח הפשוט של אינפורמציה קוונטית אנחנו משתמשים במטריצות יוניטריות כדי לייצג פעולות על וקטורי מצב קוונטי: כל מטריצה יוניטרית מייצגת פעולה חוקית וכל פעולה חוקית ניתנת לביטוי כמטריצה יוניטרית. בעצם, השאלה שנשאלת כאן היא: כיצד ניתן לעשות משהו דומה עבור ערוצים?

כדי לענות על שאלה זו, נצטרך כמה כלים מתמטיים נוספים. נראה שערוצים יכולים, למעשה, להיות מתוארים מתמטית בכמה דרכים שונות, כולל ייצוגים הקרויים לכבוד שלושה אנשים שמילאו תפקידי מפתח בפיתוחם: Stinespring, Kraus, ו- Choi. יחד, דרכים שונות אלה לתיאור ערוצים מציעות זוויות שונות שמהן ניתן לצפות בהם ולנתחם.

ייצוגי Stinespring

ייצוגי Stinespring מבוססים על הרעיון שכל ערוץ ניתן למימוש בצורה סטנדרטית, שבה מערכת הקלט מתחברת תחילה עם מערכת סביבת עבודה מאותחלת, ויוצרת מערכת מורכבת; לאחר מכן מתבצעת פעולה יוניטרית על המערכת המורכבת; ולבסוף מערכת סביבת העבודה מושלכת (או נמחקת עקבותיה), ונותרת פלט הערוץ.

האיור הבא מציג מימוש כזה, בצורת דיאגרמת מעגל, עבור ערוץ שמערכות הקלט והפלט שלו הן אותה מערכת, $\mathsf{X}.$

בדיאגרמה זו, הקווים מייצגים מערכות שרירותיות, כפי שמצוין בתוויות מעל הקווים, ולא בהכרח Qubit בודד. כמו כן, סמל ההארקה הנפוץ בהנדסת חשמל מציין במפורש שמערכת $\mathsf{W}$ מושלכת.

במילים, אופן הפעולה של המימוש הוא כדלקמן. מערכת הקלט $\mathsf{X}$ מתחילה במצב כלשהו $\rho,$ בעוד מערכת סביבת העבודה $\mathsf{W}$ מאותחלת למצב הבסיסי הסטנדרטי $\vert 0\rangle.$ פעולה יוניטרית $U$ מתבצעת על הזוג $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ ולבסוף מערכת סביבת העבודה $\mathsf{W}$ נמחקות עקבותיה, ונותרת $\mathsf{X}$ כפלט.

שים לב שאנו מניחים ש-$0$ הוא מצב קלאסי של $\mathsf{W},$ ואנו בוחרים אותו להיות המצב המאותחל של המערכת הזו, מה שיעזור לפשט את המתמטיקה. ניתן, לעומת זאת, לבחור כל מצב טהור קבוע כדי לייצג את המצב המאותחל של $\mathsf{W}$ מבלי לשנות את המאפיינים הבסיסיים של הייצוג.

ביטוי מתמטי של הערוץ המתקבל, $\Phi,$ הוא כדלקמן.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

כרגיל, אנחנו משתמשים בקונבנציית הסדר של Qiskit: המערכת $\mathsf{X}$ נמצאת בחלק העליון בדיאגרמה, ולכן מתאימה לגורם הטנסורי הימני בנוסחה.

באופן כללי, מערכות הקלט והפלט של ערוץ לא חייבות להיות זהות. הנה איור המתאר מימוש של ערוץ $\Phi$ שמערכת הקלט שלו היא $\mathsf{X}$ ומערכת הפלט שלו היא $\mathsf{Y}.$

הפעם הפעולה היוניטרית הופכת את $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ לזוג $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ כאשר $\mathsf{G}$ היא מערכת "אשפה" חדשה שנמחקות עקבותיה, ונותרת $\mathsf{Y}$ כמערכת הפלט. כדי ש-$U$ תהיה יוניטרית, היא חייבת להיות מטריצה ריבועית. זה דורש שלזוג $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ יהיה אותו מספר מצבים קלאסיים כמו לזוג $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ ולכן המערכות $\mathsf{W}$ ו-$\mathsf{G}$ חייבות להיבחר בצורה שתאפשר זאת.

אנחנו מקבלים ביטוי מתמטי של הערוץ המתקבל, $\Phi,$ הדומה למה שהיה לנו קודם.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

כאשר ערוץ מתואר בצורה זו, כפעולה יוניטרית יחד עם מפרט של כיצד מערכת סביבת העבודה מאותחלת וכיצד מערכת הפלט נבחרת, אנחנו אומרים שהוא מובע בצורת Stinespring או שהוא ייצוג Stinespring של הערוץ.

זה כלל לא מובן מאליו, אך לכל ערוץ יש למעשה ייצוג Stinespring, כפי שנראה בסוף השיעור. נראה גם שייצוגי Stinespring אינם ייחודיים; תמיד יהיו דרכים שונות לממש את אותו ערוץ בצורה שתוארה.

הערה

בהקשר של אינפורמציה קוונטית, המונח ייצוג Stinespring מתייחס בדרך כלל לביטוי כללי יותר של ערוץ בעל הצורה

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

עבור איזומטריה $A,$ שהיא מטריצה שעמודותיה אורתונורמליות אך אינה בהכרח ריבועית. עבור ייצוגי Stinespring בצורה שאימצנו כהגדרה, ניתן לקבל ביטוי של הצורה האחרת על ידי לקיחת

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

ערוץ דפייזינג מלא

הנה ייצוג Stinespring של ערוץ הדפייזינג של Qubit $\Delta.$ בדיאגרמה זו, שני הקווים מייצגים Qubit בודד — אז זהו דיאגרמת מעגל קוונטי רגילה.

כדי לראות שהאפקט שיש למעגל הזה על Qubit הקלט אכן מתואר על ידי ערוץ הדפייזינג המלא, ניתן לעבור על המעגל צעד אחר צעד, תוך שימוש בייצוג המטריצי המפורש של העקבה החלקית שנדון בשיעור הקודם. נתייחס ל-Qubit העליון בתור $\mathsf{X}$ — זהו הקלט והפלט של הערוץ — ונניח ש-$\mathsf{X}$ מתחיל במצב שרירותי כלשהו $\rho.$

הצעד הראשון הוא הכנסת Qubit סביבת עבודה, $\mathsf{W}.$ לפני ביצוע שער ה-controlled-NOT, מצב הזוג $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ מיוצג על ידי מטריצת הצפיפות הבאה.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

לפי קונבנציית הסדר של Qiskit, ה-Qubit העליון $\mathsf{X}$ נמצא מימין וה-Qubit התחתון $\mathsf{W}$ נמצא משמאל. אנחנו משתמשים במטריצות צפיפות ולא בוקטורי מצב קוונטי, אבל הן מחוברות בטנסור בצורה דומה למה שנעשה בניסוח הפשוט של אינפורמציה קוונטית.

הצעד הבא הוא לבצע את פעולת ה-controlled-NOT, כאשר $\mathsf{X}$ הוא השליטה ו-$\mathsf{W}$ הוא המטרה. עדיין בהתחשב בקונבנציית הסדר של Qiskit, ייצוג המטריצה של שער זה הוא כדלקמן.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

זוהי פעולה יוניטרית, וכדי להחילה על מטריצת צפיפות אנחנו מצמדים למטריצה היוניטרית. הצמידה-טרנספוז לא משנה מטריצה מסוימת זו, כך שהתוצאה היא כדלקמן.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

לבסוף, מתבצעת העקבה החלקית על $\mathsf{W}.$ בהיזכרנו בפעולה של פעולה זו על מטריצות $4\times 4,$ שתוארה בשיעור הקודם, אנחנו מקבלים את מטריצת הצפיפות הבאה כפלט.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

ניתן לחשב את העקבה החלקית לחלופין על ידי המרה תחילה לסימון דיראק.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

מחיקת עקבות ה-Qubit בצד שמאל מניבה את אותה תשובה כמו קודם.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

דרך אינטואיטיבית לחשוב על המעגל הזה היא שפעולת ה-controlled-NOT למעשה מעתיקה את המצב הקלאסי של Qubit הקלט, וכאשר העותק מושלך לפח ה-Qubit הקלט "קורס" בצורה הסתברותית לאחד משני המצבים הקלאסיים האפשריים, מה שמקביל לדפייזינג מלא.

ערוץ דפייזינג מלא (חלופה)

המעגל המתואר לעיל אינו הדרך היחידה לממש את ערוץ הדפייזינג המלא. הנה דרך שונה לעשות זאת.

הנה ניתוח קצר שמראה שמימוש זה עובד. לאחר ביצוע שער Hadamard יש לנו את מצב שני ה-Qubit הזה כמטריצת צפיפות:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

שער ה-controlled-$\sigma_z$ פועל על ידי צימוד כדלקמן.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

לבסוף נמחקות עקבות מערכת סביבת העבודה $\mathsf{W}$.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

מימוש זה מבוסס על רעיון פשוט: דפייזינג שקול לאי-עשייה דבר (כלומר, הפעלת פעולת זהות) או להפעלת שער $\sigma_z,$ כל אחד בהסתברות $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

כלומר, ערוץ הדפייזינג המלא הוא דוגמה לערוץ יוניטרי מעורב, ובאופן ספציפי יותר, ערוץ Pauli.

ערוץ איפוס Qubit

ערוץ איפוס ה-Qubit ניתן למימוש כדלקמן.

שער ה-swap פשוט מעביר את המצב המאותחל $\vert 0\rangle$ של Qubit סביבת העבודה כך שהוא נפלט, בעוד מצב הקלט $\rho$ מועבר ל-Qubit התחתון ואז נמחקות עקבותיו.

לחלופין, אם אנחנו לא דורשים שהפלט של הערוץ יישאר בחלק העליון, אנחנו יכולים לקחת את המעגל הפשוט הזה מאד כייצוג שלנו.

במילים, איפוס Qubit למצב $\vert 0\rangle$ שקול להשלכת ה-Qubit לפח וקבלת חדש.

ייצוגי Kraus

כעת נדון בייצוגי Kraus, שמציעים דרך נוחה ופורמלית לבטא את פעולת הערוץ באמצעות כפל מטריצות וחיבור. בפרט, ייצוג Kraus הוא מפרט של ערוץ, $\Phi,$ בצורה הבאה.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

כאן, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ הן מטריצות שכולן בעלות אותן ממדים: העמודות שלהן מתאימות למצבים הקלאסיים של מערכת הקלט, $\mathsf{X},$ והשורות שלהן מתאימות למצבים הקלאסיים של מערכת הפלט, בין אם זו $\mathsf{X}$ ובין אם זו מערכת אחרת $\mathsf{Y}.$ כדי ש-$\Phi$ יהיה ערוץ תקין, על המטריצות הללו לקיים את התנאי הבא.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

תנאי זה שקול לתנאי שלפיו $\Phi$ משמר עקבה. התכונה האחרת הנדרשת מערוץ — שהיא חיוביות מלאה — נובעת מהצורה הכללית של המשוואה עבור $\Phi,$ כסכום של צירופים.

לפעמים נוח לקרוא למטריצות $A_0,\ldots,A_{N-1}$ בדרך שונה. לדוגמה, אפשר למספר אותן החל מ-$1,$ או להשתמש במצבים מקבוצת מצבים קלאסית שרירותית $\Gamma$ במקום במספרים כמדדים:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

שיטות השמות השונות הללו לאותן מטריצות, הנקראות מטריצות Kraus, שכיחות כולן ויכולות להיות נוחות במצבים שונים — אבל נדבוק בשמות $A_0,\ldots,A_{N-1}$ בשיעור זה לשם הפשטות.

המספר $N$ יכול להיות כל מספר שלם חיובי, אך הוא לעולם לא צריך להיות גדול מדי: אם למערכת הקלט $\mathsf{X}$ יש $n$ מצבים קלאסיים ולמערכת הפלט $\mathsf{Y}$ יש $m$ מצבים קלאסיים, אז לכל ערוץ נתון מ-$\mathsf{X}$ אל $\mathsf{Y}$ תמיד יהיה ייצוג Kraus שבו $N$ הוא לכל היותר המכפלה $nm.$

ערוץ ה-dephasing המלא

נקבל ייצוג Kraus של ערוץ ה-dephasing המלא על ידי בחירת $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ ו-$A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

מטריצות אלו מקיימות את התנאי הנדרש.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

לחלופין, אפשר לבחור $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ ו-$A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ כך ש-

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

כפי שחושב קודם לכן. הפעם ניתן לאמת את התנאי הנדרש כדלקמן.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

ערוץ איפוס Qubit

נקבל ייצוג Kraus של ערוץ איפוס ה-Qubit על ידי בחירת $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ ו-$A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

מטריצות אלו מקיימות את התנאי הנדרש.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

ערוץ ה-depolarizing המלא

דרך אחת לקבל ייצוג Kraus עבור ערוץ ה-depolarizing המלא היא לבחור מטריצות Kraus $A_0,\ldots,A_3$ כדלקמן.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

עבור כל מטריצת צפיפות $\rho$ של Qubit נקבל אז

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

ייצוג Kraus חלופי מתקבל על ידי בחירת מטריצות Kraus כך.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

כדי לאמת שמטריצות Kraus אלו אכן מייצגות את ערוץ ה-depolarizing המלא, בואו נבחין תחילה שצירוף מטריצה שרירותית $2\times 2$ על ידי מטריצת Pauli עובד כדלקמן.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

זה מאפשר לנו לאמת את נכונות ייצוג ה-Kraus שלנו.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

ייצוג Kraus זה מבטא רעיון חשוב, והוא שניתן לאקראי לחלוטין את מצב ה-Qubit על ידי הפעלת אחת מארבע מטריצות ה-Pauli (כולל מטריצת הזהות) שנבחרה אחידה באקראי. לפיכך, ערוץ ה-depolarizing המלא הוא דוגמה נוספת לערוץ Pauli.

אי-אפשר למצוא ייצוג Kraus עבור ערוץ ה-depolarizing המלא $\Omega$ עם שלוש מטריצות Kraus או פחות; לערוץ זה נדרשות לפחות ארבע.

ערוצים אוניטריים

אם יש לנו מטריצה אוניטרית $U$ המייצגת פעולה על מערכת $\mathsf{X},$ ניתן לבטא את פעולת הפעולה האוניטרית הזו כערוץ:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

ביטוי זה הוא כבר ייצוג Kraus תקין של הערוץ $\Phi$ שבו יש לנו מקרה מיוחד של מטריצת Kraus אחת בלבד $A_0 = U.$ במקרה זה, התנאי הנדרש

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

לובש את הצורה הפשוטה הרבה יותר $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ שאנו יודעים שהיא נכונה כי $U$ היא אוניטרית.

ייצוגי Choi

כעת נדון בדרך שלישית לתיאור ערוצים, באמצעות ייצוג Choi. אופן הפעולה שלו הוא שכל ערוץ מיוצג על ידי מטריצה בודדת הנקראת מטריצת ה-Choi שלו. אם למערכת הקלט יש $n$ מצבים קלאסיים ולמערכת הפלט יש $m$ מצבים קלאסיים, אז למטריצת ה-Choi של הערוץ יהיו $nm$ שורות ו-$nm$ עמודות.

מטריצות Choi מספקות ייצוג נאמן של ערוצים, כלומר שני ערוצים זהים אם ורק אם יש להם את אותה מטריצת Choi. אחת הסיבות לחשיבות הדבר היא שהוא מספק לנו דרך לקבוע האם שני תיאורים שונים מתאימים לאותו ערוץ או לערוצים שונים: פשוט מחשבים את מטריצות ה-Choi ומשווים אותן כדי לראות אם הן שוות. לעומת זאת, ייצוגי Stinespring ו-Kraus אינם יחידים בדרך זו, כפי שראינו.

מטריצות Choi שימושיות גם בהיבטים אחרים לחשיפת תכונות מתמטיות שונות של ערוצים.

הגדרה

תהי $\Phi$ ערוץ ממערכת $\mathsf{X}$ למערכת $\mathsf{Y},$ ונניח שקבוצת המצבים הקלאסית של מערכת הקלט $\mathsf{X}$ היא $\Sigma.$ ייצוג ה-Choi של $\Phi,$ המסומן $J(\Phi),$ מוגדר על ידי המשוואה הבאה.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

אם נניח ש-$\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ עבור מספר שלם חיובי $n$ כלשהו, נוכל לבטא את $J(\Phi)$ לחלופין כמטריצת בלוקים:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

כלומר, כמטריצת בלוקים, למטריצת ה-Choi של ערוץ יש בלוק אחד $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ לכל זוג $(a,b)$ של מצבים קלאסיים של מערכת הקלט, כאשר הבלוקים מסודרים בדרך טבעית.

שימו לב שהקבוצה $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ מהווה בסיס למרחב של כל המטריצות $n\times n$. מאחר ש-$\Phi$ הוא לינארי, נובע שניתן לשחזר את פעולתו ממטריצת ה-Choi שלו על ידי לקיחת קומבינציות לינאריות של הבלוקים.

מצב ה-Choi של ערוץ

דרך נוספת לחשוב על מטריצת ה-Choi של ערוץ היא שהיא מטריצת צפיפות אם מחלקים ב-$n = \vert\Sigma\vert.$ נתמקד במצב ש-$\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ לשם הפשטות, ונדמיין שיש לנו שתי עותקות זהות של $\mathsf{X}$ שנמצאות יחד במצב שזור

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

כמטריצת צפיפות, מצב זה הוא כדלקמן.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

אם נפעיל את $\Phi$ על העותק של $\mathsf{X}$ בצד ימין, נקבל את מטריצת ה-Choi חלקי $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

במילים, עד לגורם נירמול $1/n,$ מטריצת ה-Choi של $\Phi$ היא מטריצת הצפיפות שמקבלים על ידי הפעלת $\Phi$ על מחצית אחת של זוג מערכות קלט שזורות מקסימלית, כפי שמתואר בתרשים הבא.

שימו לב בפרט שמכך נובע שמטריצת ה-Choi של ערוץ חייבת להיות חיובית למחצה-חיובית תמיד.

אנחנו גם רואים שמכיוון שהערוץ $\Phi$ מופעל על המערכת הימנית/עליונה בלבד, הוא אינו יכול להשפיע על המצב המצומצם של המערכת השמאלית/תחתית. במקרה שלנו, מצב זה הוא המצב המעורבב לחלוטין $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ ולכן

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

ניקוי המכנה $n$ משני הצדדים נותן $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

ניתן להסיק את אותה מסקנה בדרך חלופית על ידי שימוש בעובדה שערוצים חייבים תמיד לשמור עקבה, ולכן

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

לסיכום, ייצוג ה-Choi $J(\Phi)$ עבור כל ערוץ $\Phi$ חייב להיות חיובי למחצה-חיובי ועליו לקיים

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

כפי שנראה בסוף השיעור, שני תנאים אלו הם לא רק הכרחיים אלא גם מספיקים, כלומר כל מיפוי לינארי $\Phi$ ממטריצות למטריצות המקיים דרישות אלו חייב, למעשה, להיות ערוץ.

ערוץ ה-dephasing המלא

ייצוג ה-Choi של ערוץ ה-dephasing המלא $\Delta$ הוא

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ערוץ ה-depolarizing המלא

ייצוג ה-Choi של ערוץ ה-depolarizing המלא הוא

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ערוץ איפוס Qubit

ייצוג ה-Choi של ערוץ איפוס ה-Qubit $\Phi$ הוא

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

ערוץ הזהות

ייצוג ה-Choi של ערוץ הזהות של Qubit $\operatorname{Id}$ הוא

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

שימו לב בפרט ש-$J(\operatorname{Id})$ אינה מטריצת הזהות.