הבחנת מצבים קוונטיים וטומוגרפיה

בחלק האחרון של השיעור, נשקול בקצרה שתי משימות הקשורות למדידות: הבחנת מצבים קוונטיים ו-טומוגרפיה של מצבים קוונטיים.

1. הבחנת מצבים קוונטיים

   בהבחנת מצבים קוונטיים, יש לנו אוסף ידוע של מצבים קוונטיים $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ יחד עם הסתברויות $p_0,\ldots,p_{m-1}$ המשויכות למצבים אלו. דרך תמציתית לבטא זאת היא לומר שיש לנו אנסמבל

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   של מצבים קוונטיים.

   מספר $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ נבחר באקראי לפי ההסתברויות $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ והמערכת $\mathsf{X}$ מוכנת במצב $\rho_a.$ המטרה היא לקבוע, באמצעות מדידה של $\mathsf{X}$ בלבד, איזה ערך של $a$ נבחר.

   כלומר, יש לנו מספר סופי של חלופות, יחד עם פריור — שהוא הידע שלנו על ההסתברות שכל $a$ ייבחר — והמטרה היא לקבוע איזו חלופה אכן התרחשה. עבור בחירות מסוימות של מצבים והסתברויות זה עשוי להיות קל, ועבור אחרות ייתכן שלא ניתן יהיה לעשות זאת ללא סיכון לטעות.

2. טומוגרפיה של מצבים קוונטיים

   בטומוגרפיה של מצבים קוונטיים, יש לנו מצב קוונטי לא ידוע של מערכת — ולכן בניגוד להבחנת מצבים קוונטיים, בדרך כלל אין פריור או מידע כלשהו לגבי חלופות אפשריות.

   אולם הפעם, לא עותק יחיד של המצב עומד לרשותנו, אלא עותקים בלתי תלויים רבים עומדים לרשותנו. כלומר, $N$ מערכות זהות $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ כל אחת מוכנת באופן בלתי תלוי במצב $\rho$ עבור מספר $N$ כלשהו (שעשוי להיות גדול). המטרה היא למצוא קירוב של המצב הלא ידוע, כמטריצת צפיפות, על ידי מדידת המערכות.

הבחנה בין שני מצבים

המקרה הפשוט ביותר של הבחנת מצבים קוונטיים הוא כאשר יש שני מצבים, $\rho_0$ ו-$\rho_1,$ שיש להבחין ביניהם.

דמיינו מצב שבו ביט $a$ נבחר באקראי: $a = 0$ בהסתברות $p$ ו-$a = 1$ בהסתברות $1 - p.$ מערכת $\mathsf{X}$ מוכנת במצב $\rho_a,$ כלומר $\rho_0$ או $\rho_1$ בהתאם לערך של $a,$ וניתנת לנו. המטרה שלנו היא לנחש נכון את ערך $a$ באמצעות מדידה על $\mathsf{X}.$ ליתר דיוק, נשאף למקסם את ההסתברות שהניחוש שלנו נכון.

מדידה אופטימלית

דרך אופטימלית לפתור בעיה זו מתחילה בפירוק ספקטרלי של הפרש משוקלל בין $\rho_0$ לבין $\rho_1,$ כאשר המשקלות הן ההסתברויות המתאימות.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

שימו לב שיש לנו סימן מינוס ולא סימן פלוס בביטוי זה: זהו הפרש משוקלל ולא סכום משוקלל.

נוכל למקסם את הסתברות הניחוש הנכון על ידי בחירת מדידה פרויקטיבית $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ כדלקמן. ראשית נחלק את האיברים של $\{0,\ldots,n-1\}$ לשתי קבוצות זרות $S_0$ ו-$S_1$ בהתאם לכך שהערך העצמי המתאים של ההפרש המשוקלל הוא אי-שלילי או שלילי.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

לאחר מכן נוכל לבחור מדידה פרויקטיבית כדלקמן.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(לא ממש חשוב באיזו קבוצה מבין $S_0$ או $S_1$ נכלול את ערכי $k$ שעבורם $\lambda_k = 0.$ כאן אנחנו בוחרים באופן שרירותי לכלול ערכים אלה ב-$S_0.$)

זוהי מדידה אופטימלית במצב שלפנינו, המזערת את הסתברות הקביעה השגויה של המצב שנבחר.

הסתברות נכונות

כעת נקבע את הסתברות הנכונות עבור המדידה $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

כדי להתחיל, לא ממש צריך לדאוג לבחירה הספציפית שעשינו עבור $\Pi_0$ ו-$\Pi_1,$ אם כי עשוי להיות שימושי לזכור אותה. עבור כל מדידה $\{P_0,P_1\}$ (לא בהכרח פרויקטיבית) נוכל לכתוב את הסתברות הנכונות כך.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

תוך שימוש בעובדה ש-$\{P_0,P_1\}$ הוא מדידה, ולכן $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ נוכל לשכתב ביטוי זה כך.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

מצד שני, יכולנו לבצע את ההצבה $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ במקום. זה לא ישנה את הערך אבל נותן לנו ביטוי חלופי.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

לשני הביטויים אותו ערך, לכן נוכל לממוצע אותם כדי לקבל ביטוי נוסף לערך זה. (מיצוע שני הביטויים הוא פשוט טריק לפישוט הביטוי המתקבל.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

עכשיו אפשר לראות מדוע הגיוני לבחור את ההטלות $\Pi_0$ ו-$\Pi_1$ (כפי שצוין לעיל) עבור $P_0$ ו-$P_1$ בהתאמה — כי כך ניתן להפוך את העקבה בביטוי הסופי לגדולה ככל האפשר. בפרט,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

לכן, כאשר לוקחים את העקבה, מקבלים את סכום הערכים המוחלטים של הערכים העצמיים — שווה למה שמכונה נורמת העקבה של ההפרש המשוקלל.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

לפיכך, ההסתברות שהמדידה $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ מובילה להבחנה נכונה בין $\rho_0$ לבין $\rho_1,$ הניתנות בהסתברויות $p$ ו-$1-p$ בהתאמה, היא כדלקמן.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

העובדה שזוהי ההסתברות האופטימלית להבחנה נכונה בין $\rho_0$ לבין $\rho_1,$ הניתנות בהסתברויות $p$ ו-$1-p,$ מכונה בדרך כלל משפט הלסטרום–הולבו (או לעיתים פשוט משפט הלסטרום).

הבחנה בין שלושה מצבים או יותר

בהבחנת מצבים קוונטיים עם שלושה מצבים או יותר, אין פתרון סגור ידוע למדידה אופטימלית, אם כי ניתן לנסח את הבעיה כתכנית חצי-מסוימת — המאפשרת קירובים מספריים יעילים למדידות אופטימליות בעזרת מחשב.

ניתן גם לאמת (או להפריך) אופטימליות של מדידה נתונה במשימת הבחנת מצבים באמצעות תנאי המכונה תנאי הולבו-יואן-קנדי-לקס. בפרט, עבור משימת ההבחנה המוגדרת על ידי האנסמבל

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

המדידה $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ היא אופטימלית אם ורק אם המטריצה

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

היא חיובית למחצה עבור כל $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

לדוגמה, נשקול משימת הבחנת מצבים קוונטיים שבה אחד מארבעת המצבים הטטרהדרליים $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ נבחר באופן אחיד באקראי. המדידה הטטרהדרלית $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ מצליחה בהסתברות

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

זהו אופטימלי לפי תנאי הולבו-יואן-קנדי-לקס, שכן חישוב מגלה ש-

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

עבור $a = 0,1,2,3.$

טומוגרפיה של מצבים קוונטיים

לבסוף, נדון בקצרה בבעיית טומוגרפיה של מצבים קוונטיים. בבעיה זו, ניתן לנו מספר גדול $N$ של עותקים בלתי תלויים של מצב קוונטי לא ידוע $\rho,$ והמטרה היא לשחזר קירוב $\tilde{\rho}$ של $\rho.$ ליתר בהירות, פירוש הדבר שאנחנו רוצים למצוא תיאור קלאסי של מטריצת צפיפות $\tilde{\rho}$ שקרובה ככל האפשר ל-$\rho.$

נוכל לתאר את ההגדרה גם בדרך הבאה. מטריצת צפיפות לא ידועה $\rho$ נבחרת, ומוענקת לנו גישה ל-$N$ מערכות קוונטיות $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ שכל אחת מהן הוכנה באופן בלתי תלוי במצב $\rho.$ לפיכך, המצב של המערכת המורכבת $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ הוא

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ times)}$$

המטרה היא לבצע מדידות על המערכות $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ ועל סמך תוצאות אותן מדידות לחשב מטריצת צפיפות $\tilde{\rho}$ המקרבת היטב את $\rho.$ מסתבר שזוהי בעיה מרתקת ויש מחקר מתמשך בנושא.

ניתן לשקול סוגים שונים של אסטרטגיות לגישה לבעיה. לדוגמה, נוכל לדמיין אסטרטגיה שבה כל אחת מהמערכות $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ נמדדת בנפרד, בתורה, ומניבה רצף של תוצאות מדידה. ניתן לבצע בחירות ספציפיות שונות לגבי אילו מדידות מתבצעות, כולל בחירות אדפטיביות ולא-אדפטיביות. כלומר, הבחירה של איזו מדידה מתבצעת על מערכת מסוימת עשויה או לא עשויה להיות תלויה בתוצאות של מדידות קודמות. בהתבסס על רצף תוצאות המדידה, מסיקים ניחוש $\tilde{\rho}$ עבור המצב $\rho$ — וכאן גם ישנן מתודולוגיות שונות לעשות זאת.

גישה חלופית היא לבצע מדידה משותפת יחידה של כל האוסף, כשאנו מתייחסים ל-$(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ כמערכת יחידה ובוחרים מדידה יחידה שפלטה הוא ניחוש $\tilde{\rho}$ עבור המצב $\rho.$ זה יכול להוביל להערכה משופרת לעומת מה שאפשרי עבור מדידות נפרדות של המערכות הבודדות, אם כי מדידה משותפת של כל המערכות יחד צפויה להיות קשה הרבה יותר ליישום.

טומוגרפיה של Qubit באמצעות מדידות פאולי

כעת נשקול טומוגרפיה של מצבים קוונטיים במקרה הפשוט שבו $\rho$ הוא מטריצת צפיפות של Qubit. נניח שניתנים לנו Qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ שכל אחד מהם נמצא באופן בלתי תלוי במצב $\rho,$ והמטרה שלנו היא לחשב קירוב $\tilde{\rho}$ שקרוב ל-$\rho.$

האסטרטגיה שלנו תהיה לחלק את $N$ ה-Qubits $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ לשלוש אוספים בגודל פחות או יותר שווה, אחד לכל אחת משלוש מטריצות פאולי $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ ו-$\sigma_z.$ כל Qubit נמדד בנפרד כדלקמן.

1. עבור כל אחד מה-Qubits באוסף המשויך ל-$\sigma_x$ מבצעים מדידת $\sigma_x$. פירוש הדבר שה-Qubit נמדד ביחס לבסיס $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ שהוא בסיס אורתונורמלי של וקטורים עצמיים של $\sigma_x,$ ותוצאות המדידה המתאימות הן הערכים העצמיים המשויכים לשני הוקטורים העצמיים: $+1$ עבור המצב $\vert + \rangle$ ו-$-1$ עבור המצב $\vert -\rangle.$ על ידי מיצוע התוצאות על פני כל המצבים באוסף המשויך ל-$\sigma_x,$ מקבלים קירוב של ערך ההציפייה

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. עבור כל אחד מה-Qubits באוסף המשויך ל-$\sigma_y$ מבצעים מדידת $\sigma_y$. מדידה כזו דומה למדידת $\sigma_x,$ אלא שבסיס המדידה הוא $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ הוקטורים העצמיים של $\sigma_y.$ על ידי מיצוע התוצאות על פני כל המצבים באוסף המשויך ל-$\sigma_y,$ מקבלים קירוב של ערך ההציפייה

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. עבור כל אחד מה-Qubits באוסף המשויך ל-$\sigma_z$ מבצעים מדידת $\sigma_z$. הפעם בסיס המדידה הוא הבסיס הסטנדרטי $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ הוקטורים העצמיים של $\sigma_z.$ על ידי מיצוע התוצאות על פני כל המצבים באוסף המשויך ל-$\sigma_z,$ מקבלים קירוב של ערך ההציפייה

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

לאחר שהשגנו קירובים

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

על ידי מיצוע תוצאות המדידה עבור כל אוסף, נוכל לקרב את $\rho$ כ-

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

בגבול שבו $N$ שואף לאינסוף, קירוב זה מתכנס בהסתברות למטריצת הצפיפות האמיתית $\rho$ על פי חוק המספרים הגדולים, וניתן להשתמש בחסמים סטטיסטיים מוכרים (כגון אי-שוויון הופדינג) כדי לחסום את ההסתברות שהקירוב $\tilde{\rho}$ חורג מ-$\rho$ בכמויות משתנות.

חשוב לציין, עם זאת, שהמטריצה $\tilde{\rho}$ המתקבלת בדרך זו עשויה לא להיות מטריצת צפיפות. בפרט, אם כי תמיד תהיה לה עקבה שווה ל-$1,$ היא עשויה שלא להיות חיובית למחצה. ישנן אסטרטגיות שונות ידועות ל"עיגול" קירוב כזה $\tilde{\rho}$ למטריצת צפיפות, אחת מהן היא לחשב פירוק ספקטרלי, להחליף כל ערך עצמי שלילי ב-$0,$ ואז לנרמל מחדש (על ידי חלוקת המטריצה שמקבלים בעקבתה).

טומוגרפיה של Qubit באמצעות המדידה הטטרהדרלית

אפשרות נוספת לביצוע טומוגרפיה של Qubit היא למדוד כל Qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ באמצעות המדידה הטטרהדרלית $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ שתוארה קודם לכן. כלומר,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

עבור

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

כל תוצאה מתקבלת מספר מסוים של פעמים, שנסמן כ-$n_a$ עבור כל $a\in\{0,1,2,3\},$ כך ש-$n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ היחס של מספרים אלה עם $N$ נותן הערכה של ההסתברות המשויכת לכל תוצאה אפשרית:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

לבסוף, נשתמש בנוסחה המרשימה הבאה:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

כדי לקבוע נוסחה זו, נוכל להשתמש במשוואה הבאה עבור הערכים המוחלטים בריבוע של מכפלות פנימיות של מצבים טטרהדרליים, שניתן לוודאה על ידי חישובים ישירים.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

ארבע המטריצות

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

הן בלתי תלויות לינארית, לכן מספיק להוכיח שהנוסחה נכונה כאשר $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ עבור $b = 0,1,2,3.$ בפרט,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

ולכן

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

מגיעים לקירוב של $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

קירוב זה תמיד יהיה מטריצה הרמיטית בעלת עקבה שווה לאחד, אך הוא עשוי שלא להיות חיובי למחצה. במקרה זה, יש "לעגל" את הקירוב למטריצת צפיפות, בדומה לאסטרטגיה הכוללת מדידות פאולי.