משפט נאימרק

משפט נאימרק הוא עובדה יסודית בנוגע למדידות. הוא קובע שכל מדידה כללית ניתנת למימוש בדרך פשוטה המזכירה את ייצוגי שטיינספרינג של ערוצים:

1. המערכת הנמדדת משולבת תחילה עם מערכת סביבה (workspace) מאותחלת, ויוצרות יחד מערכת מרוכבת.
2. לאחר מכן מבוצעת פעולה אוניטרית על המערכת המרוכבת.
3. לבסוף, מערכת הסביבה נמדדת ביחס למדידת בסיס סטנדרטי, ומניבה את תוצאת המדידה הכללית המקורית.

הצהרת המשפט והוכחה

תהי $\mathsf{X}$ מערכת ותהי $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ אוסף מטריצות חיוביות למחצה המקיימות

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

כלומר, הן מתארות מדידה של $\mathsf{X}.$ בנוסף, תהי $\mathsf{Y}$ מערכת שקבוצת המצבים הקלאסיים שלה היא $\{0,\ldots,m-1\},$ כלומר קבוצת התוצאות האפשריות של המדידה הזו.

משפט נאימרק קובע שקיימת פעולה אוניטרית $U$ על המערכת המרוכבת $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ כך שהמימוש המוצג בתרשים הבא מניב תוצאות מדידה התואמות למדידה הנתונה $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ כלומר ההסתברויות לתוצאות השונות זהות בדיוק.

להבהרה, המערכת $\mathsf{X}$ מתחילה במצב שרירותי כלשהו $\rho$ בעוד $\mathsf{Y}$ מאותחלת למצב $\vert 0\rangle$. הפעולה האוניטרית $U$ מוחלת על $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ואז המערכת $\mathsf{Y}$ נמדדת במדידת בסיס סטנדרטי, ומניבה תוצאה כלשהי $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

המערכת $\mathsf{X}$ מופיעה כחלק מהפלט של המעגל, אך לעת עתה לא נתעניין במצב $\mathsf{X}$ לאחר ביצוע $U$, ונוכל לדמיין שהיא מדוללת החוצה. עם זאת, נתעניין במצב $\mathsf{X}$ לאחר ביצוע $U$ בהמשך השיעור.

מימוש של מדידה בדרך זו מזכיר בבירור ייצוג שטיינספרינג של ערוץ, והבסיס המתמטי דומה אף הוא. ההבדל הוא שמערכת הסביבה נמדדת ולא מדוללת החוצה כמו במקרה של ייצוג שטיינספרינג.

העובדה שכל מדידה ניתנת למימוש בדרך זו פשוטה יחסית להוכחה, אך נצטרך תחילה עובדה הנוגעת למטריצות חיוביות למחצה.

עובדה

נניח ש-$P$ היא מטריצה חיובית למחצה מסדר $n \times n$. קיימת מטריצה חיובית למחצה יחידה מסדר $n\times n$, $Q$, המקיימת $Q^2 = P.$ מטריצה חיובית למחצה יחידה זו נקראת השורש הריבועי של $P$ ומסומנת $\sqrt{P}.$

דרך אחת למצוא את השורש הריבועי של מטריצה חיובית למחצה היא לחשב תחילה פירוק ספקטרלי.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

מכיוון ש-$P$ חיובית למחצה, הערכים העצמיים שלה חייבים להיות מספרים ממשיים לא-שליליים, ועל ידי החלפתם בשורשיהם הריבועיים נקבל ביטוי לשורש הריבועי של $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

כעת, עם מושג זה בידינו, אנו מוכנים להוכיח את משפט נאימרק. בהנחה ש-$\mathsf{X}$ מכילה $n$ מצבים קלאסיים, פעולה אוניטרית $U$ על הזוג $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ ניתנת לייצוג על ידי מטריצה מסדר $nm\times nm$, שאותה ניתן לראות כמטריצת בלוקים מסדר $m\times m$ שכל בלוק בה מסדר $n\times n.$ המפתח להוכחה הוא לבחור ב-$U$ כל מטריצה אוניטרית המתאימה לתבנית הבאה.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

כדי שניתן יהיה למלא את הבלוקים המסומנים בסימן שאלה כך ש-$U$ תהיה אוניטרית, תנאי הכרחי ומספיק הוא ש-$n$ העמודות הראשונות, המורכבות מהבלוקים $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ תהיינה אורתונורמליות. לאחר מכן ניתן להשתמש בתהליך האורתוגונליזציה של גרם-שמידט כדי למלא את העמודות הנותרות, בדיוק כפי שנתקלנו בשיעור הקודם.

$n$ העמודות הראשונות של $U$ ניתנות לביטוי כוקטורים באופן הבא, כאשר $c = 0,\ldots,n-1$ מתייחס למספר העמודה החל מ-$0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

ניתן לחשב את המכפלה הפנימית בין כל שניים מהם כדלקמן.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

זה מראה שהעמודות הללו אכן אורתונורמליות, כך שניתן למלא את העמודות הנותרות של $U$ באופן המבטיח שהמטריצה כולה תהיה אוניטרית.

נותר לבדוק שהסתברויות תוצאות המדידה בסימולציה עקביות עם המדידה המקורית. עבור מצב התחלתי נתון $\rho$ של $\mathsf{X},$ המדידה המתוארת על ידי האוסף $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ מניבה כל תוצאה $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ בהסתברות $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

כדי לקבל את הסתברויות התוצאות בסימולציה, נקרא תחילה $\sigma$ למצב של $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ לאחר ביצוע $U$. מצב זה ניתן לביטוי כדלקמן.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

שקילה לכך, בצורת מטריצת בלוקים, מתקיימת המשוואה הבאה.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

שימו לב שהכניסות של $U$ הנמצאות בבלוקים המסומנים בסימן שאלה אינן משפיעות על התוצאה, בשל העובדה שאנחנו מצמידים מטריצה מהצורה $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — כלומר, כניסות סימן השאלה תמיד מוכפלות בכניסות אפס של $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ בחישוב מכפלת המטריצות.

כעת ניתן לנתח מה קורה כאשר מדידת בסיס סטנדרטי מבוצעת על $\mathsf{Y}.$ הסתברויות התוצאות האפשריות ניתנות על ידי הכניסות האלכסוניות של המצב המצומצם $\sigma_{\mathsf{Y}}$ של $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

בפרט, תוך שימוש בתכונה המחזורית של העקבה, רואים שההסתברות לקבל תוצאה נתונה $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ היא כדלקמן.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

זה תואם את המדידה המקורית, ומבסס את נכונות הסימולציה.

מדידות לא-הרסניות

עד כה בשיעור עסקנו במדידות הרסניות, שבהן הפלט מורכב מתוצאת המדידה הקלאסית בלבד ואין ציון של המצב הקוונטי לאחר המדידה של המערכת הנמדדת.

מדידות לא-הרסניות, לעומת זאת, עושות בדיוק זאת. באופן ספציפי, מדידות לא-הרסניות מתארות לא רק את הסתברויות תוצאות המדידה הקלאסית, אלא גם את מצב המערכת הנמדדת בהינתן כל תוצאת מדידה אפשרית. שימו לב שהמונח לא-הרסנית מתייחס למערכת הנמדדת ולאו דווקא למצבה, שעלול להשתנות באופן משמעותי כתוצאה מהמדידה.

בדרך כלל, עבור מדידה הרסנית נתונה, יהיו מדידות לא-הרסניות מרובות (למעשה אינסוף) שהן תואמות למדידה ההרסנית הנתונה, כלומר הסתברויות תוצאות המדידה הקלאסית תואמות בדיוק למדידה ההרסנית. לכן, אין דרך יחידה להגדיר את המצב הקוונטי לאחר המדידה של מערכת עבור מדידה נתונה.

למעשה, ניתן להכליל מדידות לא-הרסניות עוד יותר, כך שהן ייצרו תוצאת מדידה קלאסית יחד עם מצב קוונטי של מערכת שאינה בהכרח זהה למערכת הקלט.

המושג של מדידה לא-הרסנית הוא אבסטרקציה מעניינת ושימושית. עם זאת, יש להכיר בכך שמדידות לא-הרסניות ניתנות תמיד לתיאור כהרכבות של ערוצים ומדידות הרסניות — כך שיש מובן שבו המושג של מדידה הרסנית הוא המושג הבסיסי יותר.

ממשפט נאימרק

נשקול את הסימולציה של מדידה כללית כפי שיש לנו במשפט נאימרק. דרך פשוטה לקבל מדידה לא-הרסנית מסימולציה זו מתגלה בתרשים הקודם, שבו המערכת $\mathsf{X}$ אינה מדוללת החוצה אלא היא חלק מהפלט. זה מניב גם תוצאת מדידה קלאסית $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ וגם מצב קוונטי של $\mathsf{X}$ לאחר המדידה.

בואו נתאר את המצבים הללו במונחים מתמטיים. אנחנו מניחים שהמצב ההתחלתי של $\mathsf{X}$ הוא $\rho,$ כך שלאחר הכנסת המערכת המאותחלת $\mathsf{Y}$ וביצוע $U$, מצב $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ הוא

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

ההסתברויות לתוצאות הקלאסיות השונות זהות לקודם — הן לא יכולות להשתנות כתוצאה מהחלטתנו להתעלם או לא להתעלם מ-$\mathsf{X}.$ כלומר, אנו מקבלים כל $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ בהסתברות $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

בהינתן תוצאת מדידה ספציפית $a$, המצב המתקבל של $\mathsf{X}$ ניתן על ידי הביטוי הזה.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

דרך אחת לראות זאת היא לייצג מדידת בסיס סטנדרטי של $\mathsf{Y}$ על ידי ערוץ הדיפאזינג המלא $\Delta_m,$ כאשר פלט הערוץ מתאר תוצאות מדידה קלאסיות כמטריצות צפיפות (אלכסוניות). ביטוי של המצב המתקבל הוא כדלקמן.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

לאחר מכן ניתן לכתוב מצב זה כצירוף קמור של מצבי מכפלה,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

שזה עקבי עם הביטוי שקיבלנו למצב $\mathsf{X}$ בהינתן כל תוצאת מדידה אפשרית.

מייצוג קראוס

ישנן בחירות חלופיות של $U$ בהקשר של משפט נאימרק שמניבות את אותן הסתברויות תוצאות מדידה אך נותנות מצבי פלט שונות לגמרי של $\mathsf{X}.$

לדוגמה, אפשרות אחת היא להציב $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ במקום $U,$ כאשר $V$ היא פעולה אוניטרית כלשהי על $\mathsf{X}.$ הפעלת $V$ על $\mathsf{X}$ מתחלפת עם המדידה של $\mathsf{Y}$ ולכן הסתברויות התוצאות הקלאסיות לא משתנות, אך כעת המצב של $\mathsf{X}$ בהינתן התוצאה $a$ הופך ל

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

באופן כללי יותר, ניתן להחליף את $U$ במטריצה האוניטרית

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

עבור כל בחירה של פעולות אוניטריות $V_0,\ldots,V_{m-1}$ על $\mathsf{X}.$ שוב, הסתברויות התוצאות הקלאסיות אינן משתנות, אך כעת המצב של $\mathsf{X}$ בהינתן התוצאה $a$ הופך ל

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

דרך שקולה לבטא חופש זה קשורה לייצוגי קראוס. כלומר, ניתן לתאר מדידה לא-הרסנית בעלת $m$ תוצאות של מערכת עם $n$ מצבים קלאסיים על ידי בחירה של מטריצות קראוס $A_0,\ldots,A_{m-1}$ מסדר $n\times n$ המקיימות את התנאי הרגיל למטריצות קראוס.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

בהנחה שהמצב ההתחלתי של $\mathsf{X}$ הוא $\rho,$ תוצאת המדידה הקלאסית היא $a$ בהסתברות

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

ובהינתן שהתוצאה היא $a$, המצב של $\mathsf{X}$ הופך ל

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

שימו לב שזה שקול לבחירת הפעולה האוניטרית $U$ במשפט נאימרק באופן הבא.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

בשיעור הקודם הבחנו שהעמודות המורכבות מהבלוקים $A_0,\ldots,A_{m-1}$ בהכרח אורתוגונליות, בשל התנאי $(1).$

הכללות

ישנן דרכים כלליות עוד יותר לנסח מדידות לא-הרסניות מאשר הדרכים שדנו בהן. המושג של מכשיר קוונטי (שלא יתואר כאן) מייצג דרך אחת לעשות זאת.