משחק CHSH

הדוגמה האחרונה שתידון בשיעור זה אינה פרוטוקול, אלא משחק המוכר בשם משחק CHSH.

כשאנחנו מדברים על משחק בהקשר הזה, אנחנו לא מתכוונים למשהו שמיועד לשחק לכיף או לספורט, אלא להפשטה מתמטית במובן של תורת המשחקים. הפשטות מתמטיות של משחקים נחקרות בכלכלה ובמדעי המחשב, למשל, והן גם מרתקות וגם שימושיות.

האותיות CHSH מתייחסות למחברים — ג'ון קלאוזר, מייקל הורן, אבנר שימוני וריצ'רד הולט — של מאמר משנת 1969 שבו הדוגמה תוארה לראשונה. הם לא תיארו את הדוגמה כמשחק, אלא כניסוי. תיאורה כמשחק, לעומת זאת, הוא טבעי ואינטואיטיבי.

משחק CHSH נמצא בתוך סוג משחקים המוכרים כמשחקים לא-מקומיים. משחקים לא-מקומיים מרתקים להפליא ויש להם קשרים עמוקים לפיזיקה, למדעי המחשב ולמתמטיקה — ומחזיקים בתעלומות שעדיין לא נפתרו. נתחיל את הסעיף בהסבר מה הם משחקים לא-מקומיים, ואז נתמקד במשחק CHSH ובמה שהופך אותו למעניין.

משחקים לא-מקומיים

משחק לא-מקומי הוא משחק שיתופי שבו שני שחקנים, אליס ובוב, עובדים יחד להשיג תוצאה מסוימת. המשחק מנוהל על ידי שופט, שמתנהג לפי הנחיות קפדניות הידועות לאליס ולבוב.

אליס ובוב יכולים להתכונן למשחק כרצונם, אך ברגע שהמשחק מתחיל הם אסורים בתקשורת. אפשר לדמיין את המשחק מתרחש במתקן מאובטח כלשהו — כאילו השופט ממלא תפקיד של בלש ואליס ובוב הם חשודים שנחקרים בחדרים נפרדים. אבל דרך נוספת לחשוב על ההגדרה היא שאליס ובוב מופרדים במרחק עצום, ותקשורת אסורה כי מהירות האור אינה מאפשרת זאת בתוך זמן ריצת המשחק. כלומר, אם אליס מנסה לשלוח הודעה לבוב, המשחק יסתיים לפני שיקבל אותה, ולהפך.

האופן שבו משחק לא-מקומי עובד הוא שהשופט תחילה שואל את כל אחד מאליס ובוב שאלה. נשתמש באות $x$ לציין את שאלת אליס ו-$y$ לציין את שאלת בוב. כאן אנחנו חושבים על $x$ ו-$y$ כמצבים קלאסיים, ובמשחק CHSH $x$ ו-$y$ הם ביטים.

השופט משתמש באקראיות כדי לבחור את השאלות הללו. ליתר דיוק, יש הסתברות $p(x,y)$ הקשורה לכל זוג שאלות אפשרי $(x,y)$, והשופט נשבע לבחור את השאלות באקראי, בזמן המשחק, בדרך זו. כולם, כולל אליס ובוב, יודעים את ההסתברויות הללו — אך אף אחד לא יודע ספציפית איזה זוג $(x,y)$ ייבחר עד שהמשחק מתחיל.

לאחר שאליס ובוב מקבלים את שאלותיהם, הם חייבים לספק תשובות: תשובת אליס היא $a$ ותשובת בוב היא $b.$ שוב, אלו מצבים קלאסיים בכלל, וביטים במשחק CHSH.

בשלב זה השופט מקבל החלטה: אליס ובוב מנצחים או מפסידים בהתאם לשאלה האם זוג התשובות $(a,b)$ נחשב נכון עבור זוג השאלות $(x,y)$ לפי קבוצת כללים קבועה. כללים שונים פירושם משחקים שונים, והכללים למשחק CHSH ספציפית מתוארים בסעיף שאחרי זה. כפי שכבר הוצע, הכללים ידועים לכולם.

הדיאגרמה הבאה מספקת ייצוג גרפי של האינטראקציות.

אי-הוודאות לגבי אילו שאלות ייישאלו, ובמיוחד העובדה שכל שחקן לא יודע את שאלת השחקן האחר, היא זו שהופכת את המשחקים הלא-מקומיים למאתגרים עבור אליס ובוב — בדיוק כמו חשודים מתקשרים בחדרים נפרדים שמנסים לשמור על גרסה אחידה.

תיאור מדויק של השופט מגדיר מופע של משחק לא-מקומי. זה כולל מפרט של ההסתברויות $p(x,y)$ לכל זוג שאלות יחד עם הכללים הקובעים האם כל זוג תשובות $(a,b)$ מנצח או מפסיד עבור כל זוג שאלות אפשרי $(x,y).$

נסתכל על משחק CHSH בקרוב, אך לפני כן בואו נכיר בקצרה שגם מעניין לשקול משחקים לא-מקומיים אחרים. זה מרתק ביותר, למעשה, ויש כמה משחקים לא-מקומיים שכרגע לא ידוע עד כמה טוב יכולים אליס ובוב לשחק באמצעות שזירה. ההגדרה פשוטה, אך יש כאן מורכבות — ועבור חלק מהמשחקים זה יכול להיות בלתי אפשרי מבחינת חישוב כדי למצוא אסטרטגיות מיטביות או קרובות למיטביות עבור אליס ובוב. זוהי הטבע המדהים של מודל המשחקים הלא-מקומיים.

תיאור משחק CHSH

הנה התיאור המדויק של משחק CHSH, שבו (כמו לעיל) $x$ היא שאלת אליס, $y$ היא שאלת בוב, $a$ היא תשובת אליס, ו-$b$ היא תשובת בוב:

• השאלות והתשובות הן כולן ביטים: $x,y,a,b\in\{0,1\}.$

• השופט בוחר את השאלות $(x,y)$ באקראי אחיד. כלומר, כל אחת מארבע האפשרויות, $(0,0),$ $(0,1),$ $(1,0),$ ו-$(1,1),$ נבחרת בהסתברות $1/4.$

• התשובות $(a,b)$ מנצחות עבור השאלות $(x,y)$ אם $a\oplus b = x\wedge y$ ומפסידות אחרת. הטבלה הבאה מבטאת כלל זה על ידי פירוט תנאי הניצחון וההפסד על התשובות $(a,b)$ לכל זוג שאלות $(x,y).$

$$\begin{array}{ccc} (x,y) & \text{win} & \text{lose} \\[1mm]\hline \rule{0mm}{4mm}(0,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (0,1) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,1) & a \neq b & a = b \end{array}$$

מגבלת האסטרטגיות הקלאסיות

עכשיו בואו נשקול אסטרטגיות עבור אליס ובוב במשחק CHSH, ונתחיל באסטרטגיות קלאסיות.

אסטרטגיות דטרמיניסטיות

נתחיל באסטרטגיות דטרמיניסטיות, שבהן תשובת אליס $a$ היא פונקציה של השאלה $x$ שהיא מקבלת, וכך גם תשובת בוב $b$ היא פונקציה של השאלה $y$ שהוא מקבל. כך, למשל, נוכל לכתוב $a(0)$ כדי לייצג את תשובת אליס כשהשאלה שלה היא $0,$ ו-$a(1)$ כדי לייצג את תשובת אליס כשהשאלה שלה היא $1.$

אף אסטרטגיה דטרמיניסטית לא יכולה לנצח במשחק CHSH בכל פעם. דרך אחת להסביר זאת היא פשוט לעבור אחת אחת על כל האסטרטגיות הדטרמיניסטיות האפשריות ולבדוק שכל אחת מהן מפסידה לפחות עבור אחד מארבעת זוגות השאלות האפשריים. אליס ובוב יכולים כל אחד לבחור מתוך ארבע פונקציות אפשריות מביט אחד לביט אחד — שנתקלנו בהן בשיעור הראשון של הקורס — כך שיש בסך הכול $16$ אסטרטגיות דטרמיניסטיות שונות לבדוק.

נוכל גם להסביר זאת אנליטית. אם אסטרטגיית אליס ובוב מנצחת כאשר $(x,y) = (0,0),$ אז חייב להיות $a(0) = b(0);$ אם אסטרטגיותם מנצחת כאשר $(x,y) = (0,1),$ אז $a(0) = b(1);$ ובדומה, אם האסטרטגיה מנצחת עבור $(x,y)=(1,0)$ אז $a(1) = b(0).$ אז, אם אסטרטגיתם מנצחת בכל שלוש האפשרויות, אז

$$b(1) = a(0) = b(0) = a(1).$$

זה מרמז שהאסטרטגיה מפסידה במקרה האחרון $(x,y) = (1,1),$ כי כאן לנצח דורש $a(1) \neq b(1).$ לפיכך, לא יכולה להיות אסטרטגיה דטרמיניסטית שמנצחת בכל פעם.

מצד שני, קל למצוא אסטרטגיות דטרמיניסטיות שמנצחות בשלושה מתוך ארבעת המקרים, כמו $a(0)=a(1)=b(0)=b(1)=0.$ מזה אנחנו מסיקים שההסתברות המקסימלית שאליס ובוב ינצחו באמצעות אסטרטגיה דטרמיניסטית היא $3/4.$

אסטרטגיות הסתברותיות

כפי שסיכמנו זה עתה, אליס ובוב לא יכולים לעשות יותר טוב מלנצח במשחק CHSH 75% מהזמן באמצעות אסטרטגיה דטרמיניסטית. אבל מה לגבי אסטרטגיה הסתברותית? האם יכול לעזור לאליס ובוב להשתמש באקראיות — כולל האפשרות של אקראיות משותפת, שבה הבחירות האקראיות שלהם מתואמות?

מסתבר שאסטרטגיות הסתברותיות לא עוזרות כלל להגדיל את ההסתברות שאליס ובוב ינצחו. הסיבה לכך היא שכל אסטרטגיה הסתברותית ניתן לראות לחלופין כבחירה אקראית של אסטרטגיה דטרמיניסטית, בדיוק כמו שפעולות הסתברותיות ניתן לראות כבחירות אקראיות של פעולות דטרמיניסטיות. הממוצע אינו גדול לעולם מהמקסימום, ולכן נובע שאסטרטגיות הסתברותיות אינן מציעות שום יתרון מבחינת הסתברות הניצחון הכוללת שלהן.

לפיכך, ניצחון בהסתברות $3/4$ הוא הטוב ביותר שאליס ובוב יכולים לעשות באמצעות כל אסטרטגיה קלאסית, דטרמיניסטית או הסתברותית.

אסטרטגיית משחק CHSH

שאלה טבעית לשאול בשלב זה היא האם אליס ובוב יכולים לעשות טוב יותר באמצעות אסטרטגיה קוונטית. בפרט, אם הם חולקים מצב קוונטי שזור כפי שמרמזת הדמות הבאה, שיכלו להכין לפני משחק המשחק, האם הם יכולים להגדיל את הסתברות הניצחון שלהם?

התשובה היא כן, וזה הנקודה העיקרית של הדוגמה ומדוע היא כל כך מעניינת. אז בואו נראה בדיוק כיצד אליס ובוב יכולים לעשות טוב יותר במשחק הזה באמצעות שזירה.

וקטורים ומטריצות נדרשים

הדבר הראשון שעלינו לעשות הוא להגדיר וקטור מצב Qubit $\vert \psi_{\theta}\rangle,$ לכל מספר ממשי $\theta$ (שנחשוב עליו כזווית הנמדדת ברדיאנים) כדלקמן.

$$\vert\psi_{\theta}\rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta) \vert 1\rangle$$

הנה כמה דוגמאות פשוטות:

$$\begin{aligned} \vert\psi_{0}\rangle & = \vert 0\rangle \\ \vert\psi_{\pi/2}\rangle & = \vert 1\rangle \\ \vert\psi_{\pi/4}\rangle & = \vert + \rangle \\ \vert\psi_{-\pi/4}\rangle & = \vert - \rangle \end{aligned}$$

יש לנו גם את הדוגמאות הבאות, שעולות בניתוח שלהלן:

$$\begin{aligned} \vert\psi_{-\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{3\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \end{aligned}$$

בהסתכלות על הצורה הכללית, אנחנו רואים שהמכפלה הפנימית בין כל שניים מהוקטורים הללו מקיימת את הנוסחה הבאה:

$$\langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha-\beta). \tag{1}$$

בפירוט, יש רק ערכי מספרים ממשיים בוקטורים הללו, כך שאין צמודים מרוכבים לדאוג לגביהם: המכפלה הפנימית היא מכפלת הקוסינוסים בתוספת מכפלת הסינוסים. שימוש באחת מנוסחאות חיבור הזוויות מטריגונומטריה מוביל לפישוט שלעיל. נוסחה זו מגלה את הפרשנות הגיאומטרית של המכפלה הפנימית בין וקטורים יחידה ממשיים כקוסינוס הזווית ביניהם.

אם אנחנו מחשבים את המכפלה הפנימית של מכפלת הטנסור של כל שניים מהוקטורים הללו עם מצב $\vert \phi^+\rangle$, אנחנו מקבלים ביטוי דומה, אלא שיש $\sqrt{2}$ במכנה:

$$\langle \psi_{\alpha} \otimes \psi_{\beta} \vert \phi^+ \rangle = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sqrt{2}} = \frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sqrt{2}}. \tag{2}$$

העניין שלנו במכפלה פנימית מסוימת זו יתברר בקרוב, אבל לעת עתה אנחנו פשוט מציינים את זה כנוסחה.

לאחר מכן, הגדר מטריצה יוניטרית $U_{\theta}$ לכל זווית $\theta$ כדלקמן.

$$U_{\theta} = \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert + \vert 1\rangle\langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert$$

באופן אינטואיטיבי, מטריצה זו הופכת את $\vert\psi_{\theta}\rangle$ ל-$\vert 0\rangle$ ואת $\vert \psi_{\theta + \pi/2}\rangle$ ל-$\vert 1\rangle.$ כדי לוודא שזו מטריצה יוניטרית, תצפית מפתח היא שהוקטורים $\vert\psi_{\theta}\rangle$ ו-$\vert\psi_{\theta + \pi/2}\rangle$ הם ניצבים לכל זווית $\theta$:

$$\langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta + \pi/2} \rangle = \cos(\pi/2) = 0.$$

לפיכך, אנחנו מוצאים ש

$$\begin{aligned} U_{\theta} U_{\theta}^{\dagger} & = \bigl(\vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert + \vert 1\rangle\langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert\bigr) \bigl(\vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert \psi_{\theta+\pi/2}\rangle\langle 1 \vert\bigr) \\[1mm] & = \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta+\pi/2} \rangle \langle 1 \vert + \vert 1 \rangle \langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert 1 \rangle \langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert \psi_{\theta+\pi/2} \rangle \langle 1 \vert \\[1mm] & = \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \vert 1 \rangle \langle 1 \vert\\[1mm] & = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

אנחנו יכולים לכתוב את המטריצה הזו באופן מפורש גם כ

$$U_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\[1mm] \cos(\theta+ \pi/2) & \sin(\theta + \pi/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\[1mm] -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.$$

זוהי דוגמה למטריצת סיבוב, ובפרט היא מסובבת וקטורים דו-ממדיים עם ערכי מספרים ממשיים בזווית של $-\theta$ סביב הראשית. אם נפעל לפי מוסכמה סטנדרטית לשמות ולפרמטרות של סיבובים בצורות שונות, יש לנו $U_{\theta} = R_y(-2\theta)$ כאשר

$$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2)\\[1mm] \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}.$$

תיאור האסטרטגיה

עכשיו נוכל לתאר את האסטרטגיה הקוונטית.

• הכנה: אליס ובוב מתחילים את המשחק כשהם חולקים e-bit: אליס מחזיקה Qubit $\mathsf{A},$ בוב מחזיק Qubit $\mathsf{B},$ ויחד שני ה-Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ נמצאים במצב $\vert\phi^+\rangle$.

• פעולות אליס:

  • אם אליס מקבלת את השאלה $x=0,$ היא מפעילה $U_{0}$ על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}.$
  • אם אליס מקבלת את השאלה $x=1,$ היא מפעילה $U_{\pi/4}$ על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}.$

  הפעולה שאליס מבצעת על $\mathsf{A}$ ניתן לתאר לחלופין כך:

  $$\begin{cases} U_0 & \text{if $x = 0$}\\ U_{\pi/4} & \text{if $x = 1$} \end{cases}$$

  לאחר שאליס מפעילה פעולה זו, היא מודדת את $\mathsf{A}$ עם מדידת בסיס סטנדרטי ומגדירה את תשובתה $a$ להיות תוצאת המדידה.

• פעולות בוב:

  • אם בוב מקבל את השאלה $y=0,$ הוא מפעיל $U_{\pi/8}$ על ה-Qubit שלו $\mathsf{B}.$
  • אם בוב מקבל את השאלה $y=1,$ הוא מפעיל $U_{-\pi/8}$ על ה-Qubit שלו $\mathsf{B}.$

  כפי שעשינו עבור אליס, נוכל לבטא את הפעולה של בוב על $\mathsf{B}$ כך:

  $$\begin{cases} U_{\pi/8} & \text{if $y = 0$}\\ U_{-\pi/8} & \text{if $y = 1$} \end{cases}$$

  לאחר שבוב מפעיל פעולה זו, הוא מודד את $\mathsf{B}$ עם מדידת בסיס סטנדרטי ומגדיר את תשובתו $b$ להיות תוצאת המדידה.

הנה דיאגרמת Circuit קוונטי המתארת אסטרטגיה זו:

בדיאגרמה זו אנחנו רואים שתי שערים מבוקרים רגילים, אחד עבור $U_{-\pi/8}$ למעלה ואחד עבור $U_{\pi/4}$ למטה. יש לנו גם שני שערים שנראים כמו שערים מבוקרים, אחד עבור $U_{\pi/8}$ למעלה ואחד עבור $U_{0}$ למטה, אלא שהעיגול המייצג את הבקרה אינו מלא. זה מציין סוג אחר של שער מבוקר שבו השער מבוצע אם הבקרה מוגדרת ל-$0$ (במקום $1$ כמו שער מבוקר רגיל). אז, למעשה, בוב מבצע $U_{\pi/8}$ על ה-Qubit שלו אם $y=0$ ו-$U_{-\pi/8}$ אם $y=1;$ ואליס מבצעת $U_0$ על ה-Qubit שלה אם $x=0$ ו-$U_{\pi/4}$ אם $x=1,$ בהתאמה לתיאור הפרוטוקול במילים לעיל.

נותר לגלות עד כמה האסטרטגיה הזו לאליס ובוב עובדת. נעשה זאת על ידי מעבר על ארבעת זוגות השאלות האפשריים בנפרד.

ניתוח מקרה-אחר-מקרה

• מקרה 1: $(x,y) = (0,0).$

  במקרה זה אליס מבצעת $U_{0}$ על ה-Qubit שלה ובוב מבצע $U_{\pi/8}$ על שלו, כך שמצב שני ה-Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ לאחר שהם מבצעים את פעולותיהם הוא

  $$\begin{aligned} \bigl(U_0 \otimes U_{\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_0 \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_0 \otimes\psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  ההסתברויות לארבעת זוגות התשובות האפשריים $(a,b)$ הן לפיכך כדלקמן.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  אנחנו יכולים אז לקבל את ההסתברויות ש-$a=b$ ו-$a\neq b$ על ידי סכימה.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  עבור זוג השאלות $(0,0),$ אליס ובוב מנצחים אם $a=b,$ ולכן הם מנצחים במקרה זה בהסתברות

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• מקרה 2: $(x,y) = (0,1).$

במקרה זה אליס מבצעת $U_{0}$ על ה-Qubit שלה ובוב מבצע $U_{-\pi/8}$ על שלו, ולכן מצב שני ה-Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ לאחר שהם מבצעים את הפעולות שלהם הוא

$$\begin{aligned} \bigl(U_0 \otimes U_{-\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_0 \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_0 \otimes\psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

ההסתברויות עבור ארבעת זוגות התשובות האפשריים $(a,b)$ הן לפיכך כלהלן.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

שוב, נוכל לקבל את ההסתברויות ש-$a=b$ וש-$a\neq b$ על ידי סכימה.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

עבור זוג השאלות $(0,1),$ אליס ובוב מנצחים אם $a=b,$ ולפיכך הם מנצחים במקרה זה בהסתברות

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• מקרה 3: $(x,y) = (1,0).$

  במקרה זה אליס מבצעת $U_{\pi/4}$ על ה-Qubit שלה ובוב מבצע $U_{\pi/8}$ על שלו, ולכן מצב שני ה-Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ לאחר שהם מבצעים את הפעולות שלהם הוא

  $$\begin{aligned} \bigl(U_{\pi/4} \otimes U_{\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes\psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  ההסתברויות עבור ארבעת זוגות התשובות האפשריים $(a,b)$ הן לפיכך כלהלן.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  שוב נמצא כי ההסתברויות ש-$a=b$ וש-$a\neq b$ הן כלהלן.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  עבור זוג השאלות $(1,0),$ אליס ובוב מנצחים אם $a=b,$ כך שהם מנצחים במקרה זה בהסתברות

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• מקרה 4: $(x,y) = (1,1).$

  המקרה האחרון הוא קצת שונה, כפי שאפשר לצפות מכיוון שתנאי הניצחון שונה במקרה זה. כאשר $x$ ו-$y$ שניהם $1,$ אליס ובוב מנצחים כש-$a$ ו-$b$ הם שונים. במקרה זה אליס מבצעת $U_{\pi/4}$ על ה-Qubit שלה ובוב מבצע $U_{-\pi/8}$ על שלו, ולכן מצב שני ה-Qubits $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ לאחר שהם מבצעים את הפעולות שלהם הוא

  $$\begin{aligned} \bigl(U_{\pi/4} \otimes U_{-\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes\psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{7\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  ההסתברויות עבור ארבעת זוגות התשובות האפשריים $(a,b)$ הן לפיכך כלהלן.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{7\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  ההסתברויות בעצם החליפו מקומות ביחס לשלושת המקרים האחרים. נקבל את ההסתברויות ש-$a=b$ וש-$a\neq b$ על ידי סכימה.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  עבור זוג השאלות $(1,1),$ אליס ובוב מנצחים אם $a\neq b,$ ולפיכך הם מנצחים במקרה זה בהסתברות

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

הם מנצחים בכל מקרה באותה הסתברות:

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.85.$$

זוהי לפיכך ההסתברות שהם מנצחים בסך הכול. זה משמעותית טוב יותר מכל אסטרטגיה קלאסית יכולה להשיג במשחק הזה; לאסטרטגיות קלאסיות יש הסתברות ניצחון חסומה ב-$3/4.$ וזה הופך את זה לדוגמה מאוד מעניינת.

מסתבר שזוהי הסתברות הניצחון האופטימלית לאסטרטגיות קוונטיות. כלומר, אנחנו לא יכולים לעשות טוב יותר מזה, לא משנה אילו מצב שזור או מדידות נבחר. עובדה זו ידועה כאי-שוויון של ציירלסון, על שם בוריס ציירלסון שהוכיח אותה לראשונה — ושתיאר לראשונה את ניסוי ה-CHSH כמשחק.

תמונה גיאומטרית

ניתן לחשוב על האסטרטגיה שתוארה לעיל גיאומטרית, מה שעשוי לעזור בהבנת הקשרים בין הזוויות השונות שנבחרו לפעולות של אליס ובוב.

מה שאליס למעשה עושה הוא לבחור זווית $\alpha,$ בהתאם לשאלה שלה $x,$ ואז להפעיל $U_{\alpha}$ על ה-Qubit שלה ולמדוד. בדומה לכך, בוב בוחר זווית $\beta,$ בהתאם ל-$y,$ ואז הוא מפעיל $U_{\beta}$ על ה-Qubit שלו ומודד. בחרנו $\alpha$ ו-$\beta$ כך.

$$\begin{aligned} \alpha & = \begin{cases} 0 & x=0\\ \pi/4 & x=1 \end{cases}\\[4mm] \beta & = \begin{cases} \pi/8 & y = 0\\ -\pi/8 & y = 1 \end{cases} \end{aligned}$$

לעת עתה, בואו ניקח את $\alpha$ ו-$\beta$ כמשתנים כלליים. על ידי בחירת $\alpha,$ אליס למעשה מגדירה בסיס אורתונורמלי של וקטורים שנראה כך:

בוב עושה כמוה, אלא שהזווית שלו היא $\beta$:

הצבעים של הוקטורים מתאימים לתשובות של אליס ובוב: כחול עבור $0$ ואדום עבור $1.$

עכשיו, אם נשלב יחד את $(1)$ ו-$(2)$ נקבל את הנוסחה

$$\langle \psi_{\alpha} \otimes\psi_{\beta} \vert \phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle,$$

שמתקיימת לכל המספרים הממשיים $\alpha$ ו-$\beta.$

בעקבות אותו סוג הניתוח שעברנו לעיל, אך עם $\alpha$ ו-$\beta$ כמשתנים, אנו מוצאים את הדברים הבאים:

$$\begin{aligned} & \bigl(U_{\alpha} \otimes U_{\beta}\bigr) \vert \phi^+\rangle\\[1mm] & \qquad = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\alpha} \otimes \psi_{\beta}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\alpha} \otimes\psi_{\beta + \pi/2}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \otimes \psi_{\beta}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \otimes \psi_{\beta+\pi/2}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & \qquad = \frac{ \langle \psi_\alpha \vert \psi_\beta \rangle \vert 00\rangle + \langle \psi_\alpha \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert 01\rangle + \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_\beta \rangle \vert 10\rangle + \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert 11\rangle }{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

אנו מסיקים שתי נוסחאות אלו:

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{1}{2} \vert \langle \psi_\alpha \vert \psi_\beta \rangle \vert^2 + \frac{1}{2} \vert \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert^2 = \cos^2(\alpha - \beta)\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{1}{2} \vert \langle \psi_\alpha \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert^2 + \frac{1}{2} \vert \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_\beta \rangle \vert^2 = \sin^2(\alpha - \beta). \end{aligned}$$

אפשר לקשר משוואות אלה לאיורים שלעיל על ידי דמיון שאנחנו מכלילים את הבסיסים שנבחרו על ידי אליס ובוב. בפרט, כאשר $(x,y) = (0,0),$ אליס ובוב בוחרים $\alpha = 0$ ו-$\beta = \pi/8,$ ועל ידי הכלת הבסיסים שלהם אנו מקבלים את האיור הזה:

הזווית בין הוקטורים האדומים היא $\pi/8,$ כמו גם הזווית בין שני הוקטורים הכחולים. ההסתברות שהתוצאות של אליס ובוב מסכימות היא קוסינוס בריבוע של זווית זו,

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

בעוד שההסתברות שהן לא מסכימות היא סינוס בריבוע של זווית זו,

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

כאשר $(x,y) = (0,1),$ אליס ובוב בוחרים $\alpha = 0$ ו-$\beta = -\pi/8,$ ועל ידי הכלת הבסיסים שלהם אנו מקבלים את האיור הזה:

הזווית בין הוקטורים האדומים שוב $\pi/8,$ כמו גם הזווית בין הוקטורים הכחולים. ההסתברות שהתוצאות של אליס ובוב מסכימות היא שוב קוסינוס בריבוע של זווית זו,

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

בעוד שההסתברות שהן לא מסכימות היא סינוס בריבוע של זווית זו,

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

כאשר $(x,y) = (1,0),$ אליס ובוב בוחרים $\alpha = \pi/4$ ו-$\beta = \pi/8,$ ועל ידי הכלת הבסיסים שלהם אנו מקבלים את האיור הזה:

הבסיסים השתנו אך הזוויות לא — שוב הזווית בין וקטורים בעלי אותו צבע היא $\pi/8.$ ההסתברות שהתוצאות של אליס ובוב מסכימות היא

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

וההסתברות שהן לא מסכימות היא

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

כאשר $(x,y) = (1,1),$ אליס ובוב בוחרים $\alpha = \pi/4$ ו-$\beta = -\pi/8.$ כאשר אנחנו מכלילים את הבסיסים שלהם, אנו רואים שקרה משהו שונה:

בשל האופן שבו נבחרו הזוויות, הפעם הזווית בין וקטורים בעלי אותו צבע היא $3\pi/8$ ולא $\pi/8.$ ההסתברות שהתוצאות של אליס ובוב מסכימות עדיין היא קוסינוס בריבוע של זווית זו, אך הפעם הערך הוא

$$\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

ההסתברות שהתוצאות לא מסכימות היא סינוס בריבוע של זווית זו, שבמקרה זה הוא:

$$\sin^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

הערות

הרעיון הבסיסי של ניסוי כמו משחק ה-CHSH, שבו שזירה מובילה לתוצאות סטטיסטיות שאינן עקביות עם חשיבה קלאסית בלבד, מיוחס לג'ון בל, שעל שמו נקראים מצבי בל. מסיבה זו, אנשים מתייחסים לרוב לניסויים מסוג זה כמבחני בל. לעיתים אנשים גם מתייחסים למשפט בל, שאפשר לנסח אותו בדרכים שונות — אך מהותו היא שמכניקת הקוונטים אינה תואמת את מה שנקרא תיאוריות משתנים נסתרים מקומיים. משחק ה-CHSH הוא דוגמה נקייה ופשוטה במיוחד למבחן בל, וניתן לראות בו הוכחה, או הדגמה, של משפט בל.

משחק ה-CHSH מציע דרך לבדוק ניסויית את תיאוריית המידע הקוונטי. ניתן לבצע ניסויים שמממשים את משחק ה-CHSH, ולבדוק את סוגי האסטרטגיות המבוססות על שזירה שתוארו לעיל. זה מעניק לנו מידה גבוהה של ביטחון שהשזירה היא אמיתית — ובניגוד לדרכים הלא-ברורות או הפואטיות לעיתים שאנחנו ממציאים כדי להסביר שזירה, משחק ה-CHSH נותן לנו דרך קונקרטית וניתנת לבדיקה לצפות בשזירה.