קידוד על-צפוף

קידוד על-צפוף הוא פרוטוקול שמשיג, במובן מסוים, מטרה משלימה לטלפורטציה. במקום לאפשר העברה של Qubit אחד תוך שימוש בשני ביטים קלאסיים של תקשורת (במחיר של e-bit אחד של שזירה), הוא מאפשר העברה של שני ביטים קלאסיים תוך שימוש בQubit קוונטי אחד (שוב, במחיר של e-bit אחד של שזירה).

בפירוט רב יותר, יש לנו שולח (אליס) ומקבל (בוב) שחולקים e-bit אחד של שזירה. לפי המוסכמות שנקבעו לשיעור, המשמעות היא שאליס מחזיקה Qubit $\mathsf{A},$ בוב מחזיק Qubit $\mathsf{B},$ והזוג $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ יחד נמצא במצב $\vert\phi^+\rangle.$ אליס רוצה להעביר לבוב שני ביטים קלאסיים, שנסמן אותם $c$ ו-$d,$ והיא תעשה זאת על ידי שליחת Qubit אחד.

סביר לראות בהישג הזה עניין פחות מרתק מזה שהטלפורטציה משיגה. שליחת Qubits צפויה להיות קשה בהרבה משליחת ביטים קלאסיים בעתיד הנראה לעין, כך שהחלפת Qubit קוונטי אחד בשני ביטים קלאסיים, ועוד במחיר של e-bit, בקושי נראית כדאית. עם זאת, אין פירוש הדבר שקידוד על-צפוף אינו מעניין — הוא בהחלט כן.

בהתאם לנושא השיעור, אחת הסיבות לכך שקידוד על-צפוף מעניין היא שהוא מדגים שימוש קונקרטי ו(בהקשר של תורת המידע) מרשים למדי בשזירה. משפט מפורסם בתורת המידע הקוונטי, המכונה משפט הולבו, מרמז שללא שימוש במצב שזור משותף, אי אפשר להעביר יותר מביט קלאסי אחד על ידי שליחת Qubit בודד. (משפט הולבו כללי יותר מכך. הניסוח המדויק שלו טכני ודורש הסבר, אך זהו אחד מהמשמעויות שלו.) כך, באמצעות קידוד על-צפוף, שזירה משותפת מאפשרת ביעילות הכפלה של קיבולת המידע הקלאסי שניתן להעביר על ידי שליחת Qubits.

פרוטוקול

תרשים Circuit הקוונטי הבא מתאר את פרוטוקול הקידוד על-צפוף:

במילים, כך פועלת אליס:

1. אם $d=1,$ אליס מבצעת Gate $Z$ על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}$ (ואם $d=0$ היא אינה עושה כלום).

2. אם $c=1,$ אליס מבצעת Gate $X$ על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}$ (ואם $c=0$ היא אינה עושה כלום).

לאחר מכן אליס שולחת את ה-Qubit שלה $\mathsf{A}$ לבוב.

כשבוב מקבל את ה-Qubit $\mathsf{A}$, הוא קודם מבצע Gate NOT מבוקר, כאשר $\mathsf{A}$ הוא הבקר ו-$\mathsf{B}$ הוא היעד, ואז הוא מפעיל Gate הדאמרד על $\mathsf{A}.$ לאחר מכן הוא מודד את $\mathsf{B}$ כדי לקבל $c$ ואת $\mathsf{A}$ כדי לקבל $d,$ עם מדידות בבסיס הסטנדרטי בשני המקרים.

ניתוח

הרעיון מאחורי פרוטוקול זה פשוט למדי: אליס בעצם בוחרת איזה מצב בל היא רוצה לשתף עם בוב, היא שולחת לבוב את ה-Qubit שלה, ובוב מודד כדי לקבוע איזה מצב בל אליס בחרה.

כלומר, הם מתחילים בשיתוף $\vert\phi^+\rangle,$ ובהתאם לביטים $c$ ו-$d,$ אליס משאירה מצב זה כפי שהוא או מעבירה אותו לאחד ממצבי בל האחרים על ידי הפעלת $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ או $XZ$ על ה-Qubit שלה $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

פעולות בוב משפיעות כך על ארבעת מצבי בל:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

ניתן לבדוק זאת ישירות, על ידי חישוב תוצאות פעולות בוב על מצבים אלה אחד אחד.

כך, כשבוב מבצע את המדידות שלו, הוא יכול לקבוע איזה מצב בל אליס בחרה. כדי לאמת שהפרוטוקול עובד נכון, יש לבדוק כל מקרה:

• אם $cd = 00,$ אז המצב של $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ כשבוב מקבל את $\mathsf{A}$ הוא $\vert \phi^+\rangle.$ הוא הופך מצב זה ל-$\vert 00\rangle$ ומקבל $cd = 00.$

• אם $cd = 01,$ אז המצב של $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ כשבוב מקבל את $\mathsf{A}$ הוא $\vert \phi^-\rangle.$ הוא הופך מצב זה ל-$\vert 01\rangle$ ומקבל $cd = 01.$

• אם $cd = 10,$ אז המצב של $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ כשבוב מקבל את $\mathsf{A}$ הוא $\vert \psi^+\rangle.$ הוא הופך מצב זה ל-$\vert 10\rangle$ ומקבל $cd = 10.$

• אם $cd = 11,$ אז המצב של $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ כשבוב מקבל את $\mathsf{A}$ הוא $\vert \psi^-\rangle.$ הוא הופך מצב זה ל-$-\vert 11\rangle$ ומקבל $cd = 11.$ (גורם הפאזה מינוס-אחד אינו משפיע כאן.)