דלג לתוכן הראשי

טלפורטציה קוונטית

טלפורטציה קוונטית, או בקיצור טלפורטציה, היא פרוטוקול שבו שולח (אליס) מעביר Qubit לנמען (בוב) באמצעות שימוש במצב קוונטי שזור משותף (e-bit אחד, ליתר דיוק) יחד עם שני סיביות מידע קלאסי. השם טלפורטציה נועד לרמוז על הרעיון ממדע הבדיוני שבו חומר מועבר ממיקום אחד לאחר בתהליך עתידני, אבל חייבים להבין שחומר אינו מטולפרט בטלפורטציה קוונטית — מה שמטולפרט בפועל הוא מידע קוונטי.

הגדרת הבעיה לטלפורטציה היא כדלקמן.

נניח שאליס ובוב חולקים e-bit: אליס מחזיקה Qubit A,\mathsf{A}, בוב מחזיק Qubit B,\mathsf{B}, והזוג (A,B)(\mathsf{A},\mathsf{B}) יחד נמצא במצב ∣ϕ+⟩.\vert\phi^+\rangle. ייתכן למשל שאליס ובוב היו באותו מקום בעבר, הכינו את ה-Qubits A\mathsf{A} ו-B\mathsf{B} במצב ∣ϕ+⟩,\vert \phi^+ \rangle, ואז כל אחד הלך לדרכו עם ה-Qubit שלו. או, ייתכן שתהליך אחר, כגון אחד שמערב צד שלישי או תהליך מבוזר מורכב, שימש לביסוס ה-e-bit המשותף הזה. פרטים אלה אינם חלק מפרוטוקול הטלפורטציה עצמו.

לאחר מכן אליס מקבלת לידיה Qubit שלישי Q\mathsf{Q} שהיא מעוניינת להעביר לבוב. מצבו של ה-Qubit Q\mathsf{Q} נחשב לא ידוע לאליס ולבוב, ואין הנחות לגביו. לדוגמה, ה-Qubit Q\mathsf{Q} עשוי להיות שזור עם מערכת אחת או יותר שאליס ובוב אינם יכולים לגשת אליהן. לומר שאליס רוצה להעביר את ה-Qubit Q\mathsf{Q} לבוב פירושו שאליס רוצה שבוב יחזיק Qubit שנמצא באותו מצב שבו Q\mathsf{Q} היה בתחילת הפרוטוקול, כולל כל הקורלציות שהיו ל-Q\mathsf{Q} עם מערכות אחרות — כאילו אליס פשוט מסרה את Q\mathsf{Q} לבוב ביד.

נוכל לדמיין שאליס שולחת פיזית את ה-Qubit Q\mathsf{Q} לבוב, ואם הוא מגיע לבוב ללא שינוי או הפרעה בדרך, המשימה של אליס ובוב תושלם. בהקשר של טלפורטציה, לעומת זאת, ההנחה שלנו היא שזה אינו אפשרי; אליס לא יכולה לשלוח Qubits ישירות לבוב. אולם היא יכולה לשלוח מידע קלאסי לבוב.

אלה הנחות סבירות במגוון הגדרות. לדוגמה, אם אליס לא יודעת את המיקום המדויק של בוב, או המרחק ביניהם גדול, שליחה פיזית של Qubit עם הטכנולוגיה של היום, או הנראית לעין, תהיה אתגר בלשון המעטה. אולם, כפי שאנחנו יודעים מחוויות יומיומיות, העברת מידע קלאסי בנסיבות אלה היא פשוטה למדי.

בשלב זה, אפשר לשאול האם אליס ובוב יכולים להשיג את מטרתם אפילו ללא שימוש ב-e-bit משותף. במילים אחרות, האם יש דרך להעביר Qubit באמצעות תקשורת קלאסית בלבד?

התשובה היא לא, לא ניתן להעביר מידע קוונטי באמצעות תקשורת קלאסית בלבד. זה לא קשה במיוחד להוכיח מתמטית באמצעות תורת המידע הקוונטי הבסיסית, אך לחלופין נוכל לשלול את האפשרות של העברת Qubits באמצעות תקשורת קלאסית בלבד על ידי חשיבה על משפט אי-שיכפול.

נדמיין שהייתה דרך לשלוח מידע קוונטי באמצעות תקשורת קלאסית בלבד. מידע קלאסי ניתן להעתקה ולשידור בקלות, מה שאומר שכל שידור קלאסי של אליס לבוב עשוי להתקבל גם על ידי נמען שני (צ'רלי, נניח). אבל אם צ'רלי מקבל את אותה תקשורת קלאסית שקיבל בוב, האם הוא לא יוכל גם הוא להשיג עותק של ה-Qubit Q?\mathsf{Q}? זה יציע ש-Q\mathsf{Q} שוכפל, מה שאנחנו כבר יודעים שבלתי אפשרי לפי משפט אי-שיכפול, ולכן אנחנו מסיקים שאין דרך לשלוח מידע קוונטי באמצעות תקשורת קלאסית בלבד.

כשההנחה שאליס ובוב חולקים e-bit מתקיימת, לעומת זאת, אפשר לאליס ובוב להשיג את מטרתם. זה בדיוק מה שפרוטוקול הטלפורטציה הקוונטית עושה.

פרוטוקול​

הנה דיאגרמת Circuit קוונטי המתארת את פרוטוקול הטלפורטציה:

Circuit הטלפורטציה

הדיאגרמה מעוצבת מעט בכך שהיא מציגה את ההפרדה בין אליס לבוב, עם שני חוטים אלכסוניים המייצגים סיביות קלאסיות הנשלחות מאליס לבוב, אבל בשאר המובנים זוהי דיאגרמת Circuit קוונטי רגילה. שמות ה-Qubits מוצגים מעל החוטים ולא משמאל כדי שניתן יהיה להציג גם את המצבים ההתחלתיים (דבר שנעשה בדרך כלל כאשר זה נוח). כמו כן יש לציין ש-Gate ה-XX וה-ZZ יש להם שליטה קלאסית, כלומר ה-Gates אינם מופעלים או מופעלים בהתאם לשאלה אם סיביות הבקרה הקלאסיות הן 00 או 1,1, בהתאמה.

במילים, פרוטוקול הטלפורטציה הוא כדלקמן:

  1. אליס מבצעת פעולת controlled-NOT על הזוג (A,Q),(\mathsf{A},\mathsf{Q}), כשה-Q\mathsf{Q} הוא הבקרה ו-A\mathsf{A} הוא היעד, ולאחר מכן מבצעת פעולת Hadamard על Q.\mathsf{Q}.

  2. לאחר מכן אליס מודדת את A\mathsf{A} ואת Q,\mathsf{Q}, שניהם לפי מדידת הבסיס הסטנדרטי, ומשדרת את התוצאות הקלאסיות לבוב. נכנה את תוצאת מדידת A\mathsf{A} בשם aa ואת תוצאת מדידת Q\mathsf{Q} בשם b.b.

  3. בוב מקבל aa ו-bb מאליס, ובהתאם לערכים של הסיביות הללו הוא מבצע פעולות אלה:

    • אם a=1,a = 1, אז בוב מבצע היפוך סיבית (או Gate XX) על ה-Qubit שלו B.\mathsf{B}.
    • אם b=1,b = 1, אז בוב מבצע היפוך פאזה (או Gate ZZ) על ה-Qubit שלו B.\mathsf{B}.

    כלומר, בהתניה שהזוג abab הוא 00,00, 01,01, 10,10, או 11,11, בוב מבצע אחת מהפעולות I,\mathbb{I}, Z,Z, X,X, או ZXZX על ה-Qubit B.\mathsf{B}.

זהו התיאור המלא של פרוטוקול הטלפורטציה. הניתוח שמופיע להלן מגלה שכשהוא מופעל, ה-Qubit B\mathsf{B} יהיה בכל מצב שבו Q\mathsf{Q} היה לפני הפעלת הפרוטוקול, כולל כל הקורלציות שהיו לו עם מערכות אחרות — כלומר הפרוטוקול יישם ביעילות ערוץ תקשורת Qubit מושלם, שבו מצבו של Q\mathsf{Q} "טולפרט" אל תוך B.\mathsf{B}.

לפני שנגשים לניתוח, שימו לב שפרוטוקול זה אינו מצליח לשכפל את מצבו של Q,\mathsf{Q}, מה שאנחנו כבר יודעים שבלתי אפשרי לפי משפט אי-שיכפול. להיפך, כשהפרוטוקול מסתיים, מצבו של ה-Qubit Q\mathsf{Q} ישתנה מערכו המקורי ל-∣b⟩\vert b\rangle כתוצאה מהמדידה שבוצעה עליו. כמו כן שימו לב שה-e-bit "נשרף" ביעילות בתהליך: מצבו של A\mathsf{A} השתנה ל-∣a⟩\vert a\rangle ואינו עוד שזור עם B\mathsf{B} (או כל מערכת אחרת). זהו מחיר הטלפורטציה.

ניתוח​

כדי לנתח את פרוטוקול הטלפורטציה, נבחן את התנהגות ה-Circuit המתואר לעיל, צעד אחד בכל פעם, החל ממצב שבו Q\mathsf{Q} נמצא בתחילה במצב α∣0⟩+β∣1⟩.\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle. זו אינה המצב הכללי ביותר, כיוון שהיא אינה לוכדת את האפשרות ש-Q\mathsf{Q} שזור עם מערכות אחרות, אבל התחלה ממקרה פשוט יותר זה תוסיף בהירות לניתוח. המקרה הכללי יותר נדון להלן, לאחר ניתוח המקרה הפשוט יותר.

באופן ספציפי, נשקול את מצבי ה-Qubits (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) בזמנים המוצעים על ידי דמות זו:

שלבי זמן של Circuit הטלפורטציה

בהנחה ש-Qubit Q\mathsf{Q} מתחיל את הפרוטוקול במצב α∣0⟩+β∣1⟩,\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle, מצבם של שלושת ה-Qubits (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) יחדיו בתחילת הפרוטוקול הוא לפיכך

∣π0⟩=∣ϕ+⟩⊗(α∣0⟩+β∣1⟩)=α∣000⟩+α∣110⟩+β∣001⟩+β∣111⟩2.\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.

ה-Gate הראשון שמופעל הוא Gate ה-controlled-NOT, אשר ממיר את המצב ∣π0⟩\vert\pi_0\rangle אל

∣π1⟩=α∣000⟩+α∣110⟩+β∣011⟩+β∣101⟩2.\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.

לאחר מכן מופעל Gate ה-Hadamard, אשר ממיר את המצב ∣π1⟩\vert\pi_1\rangle אל

∣π2⟩=α∣00⟩∣+⟩+α∣11⟩∣+⟩+β∣01⟩∣−⟩+β∣10⟩∣−⟩2=α∣000⟩+α∣001⟩+α∣110⟩+α∣111⟩+β∣010⟩−β∣011⟩+β∣100⟩−β∣101⟩2.\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}

תוך שימוש במולטי-לינאריות של המכפלה הטנזורית, נוכל לכתוב מצב זה לחלופין כדלקמן:

∣π2⟩=12(α∣0⟩+β∣1⟩)∣00⟩+12(α∣0⟩−β∣1⟩)∣01⟩+12(α∣1⟩+β∣0⟩)∣10⟩+12(α∣1⟩−β∣0⟩)∣11⟩.\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}

במבט ראשון, זה עשוי להיראות כאילו קרה משהו קסום, כיוון שה-Qubit השמאלי ביותר B\mathsf{B} נראה עכשיו תלוי במספרים α\alpha ו-β,\beta, למרות שעדיין לא הייתה תקשורת מאליס לבוב. זוהי אשליה. סקלרים נעים בחופשיות דרך מכפלות טנזוריות, ולכן α\alpha ו-β\beta אינם קשורים יותר ולא פחות ל-Qubit השמאלי ביותר מאשר ל-Qubits האחרים, וכל מה שעשינו הוא להשתמש באלגברה כדי לבטא את המצב בדרך המאפשרת ניתוח של המדידות.

כעת נשקול את ארבעת התוצאות האפשריות של מדידות הבסיס הסטנדרטי של אליס, יחד עם הפעולות שבוב מבצע כתוצאה.

תוצאות אפשריות​

  • תוצאת מדידת אליס היא aq=00aq = 00 עם הסתברות

    ∥12(α∣0⟩+β∣1⟩)∥2=∣α∣2+∣β∣24=14,\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},

    ובמקרה זה מצבם של (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) הופך ל-

    (α∣0⟩+β∣1⟩)∣00⟩.\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.

    בוב לא עושה דבר במקרה זה, ולכן זה המצב הסופי של שלושת ה-Qubits הללו.

  • תוצאת מדידת אליס היא aq=01aq = 01 עם הסתברות

    ∥12(α∣0⟩−β∣1⟩)∥2=∣α∣2+∣−β∣24=14,\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},

    ובמקרה זה מצבם של (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) הופך ל-

    (α∣0⟩−β∣1⟩)∣01⟩.\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.

    במקרה זה בוב מפעיל Gate ZZ על B,\mathsf{B}, ומשאיר את (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) במצב

    (α∣0⟩+β∣1⟩)∣01⟩.\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.

  • תוצאת מדידת אליס היא aq=10aq = 10 עם הסתברות

    ∥12(α∣1⟩+β∣0⟩)∥2=∣α∣2+∣β∣24=14,\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},

    ובמקרה זה מצבם של (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) הופך ל-

    (α∣1⟩+β∣0⟩)∣10⟩.\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.

    במקרה זה, בוב מפעיל Gate XX על ה-Qubit B,\mathsf{B}, ומשאיר את (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) במצב

    (α∣0⟩+β∣1⟩)∣10⟩.\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.

  • תוצאת מדידת אליס היא aq=11aq = 11 עם הסתברות

    ∥12(α∣1⟩−β∣0⟩)∥2=∣α∣2+∣−β∣24=14,\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},

    ובמקרה זה מצבם של (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) הופך ל-

    (α∣1⟩−β∣0⟩)∣11⟩.\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.

    במקרה זה, בוב מבצע את הפעולה ZXZX על ה-Qubit B,\mathsf{B}, ומשאיר את (B,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q}) במצב

    (α∣0⟩+β∣1⟩)∣11⟩.\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.

אנחנו רואים עכשיו, בכל ארבעת המקרים, שה-Qubit B\mathsf{B} של בוב נשאר במצב α∣0⟩+β∣1⟩\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle בסוף הפרוטוקול, שהוא המצב ההתחלתי של ה-Qubit Q.\mathsf{Q}. זה מה שרצינו להראות: פרוטוקול הטלפורטציה פעל כהלכה.

אנחנו גם רואים שה-Qubits A\mathsf{A} ו-Q\mathsf{Q} נשארים באחד מארבעת המצבים ∣00⟩,\vert 00\rangle, ∣01⟩,\vert 01\rangle, ∣10⟩,\vert 10\rangle, או ∣11⟩,\vert 11\rangle, כל אחד בהסתברות 1/4,1/4, בהתאם לתוצאות המדידה שאליס קיבלה. לפיכך, כפי שכבר הוצע לעיל, בסוף הפרוטוקול אליס כבר אינה מחזיקה את המצב α∣0⟩+β∣1⟩,\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle, מה שעקבי עם משפט אי-שיכפול.

שימו לב שמדידות אליס אינן מספקות שום מידע על המצב α∣0⟩+β∣1⟩.\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle. כלומר, ההסתברות לכל אחת מארבע תוצאות המדידה האפשריות היא 1/4,1/4, ללא תלות ב-α\alpha וב-β.\beta. זה גם חיוני לכך שהטלפורטציה תפעל כהלכה. חילוץ מידע ממצב קוונטי לא ידוע מפריע לו בהכרח בדרך כלל, אך כאן בוב מקבל את המצב ללא הפרעה.

כעת נשקול את המצב הכללי יותר שבו ה-Qubit Q\mathsf{Q} שזור בתחילה עם מערכת אחרת שנכנה לה R.\mathsf{R}. ניתוח דומה לזה שלעיל מגלה שפרוטוקול הטלפורטציה פועל כהלכה גם במקרה הכללי יותר הזה: בסוף הפרוטוקול, ה-Qubit B\mathsf{B} שבוב מחזיק שזור עם R\mathsf{R} באותו אופן שבו Q\mathsf{Q} היה בתחילת הפרוטוקול, כאילו אליס פשוט מסרה את Q\mathsf{Q} לבוב.

כדי להוכיח זאת, נניח שמצבו של הזוג (Q,R)(\mathsf{Q},\mathsf{R}) ניתן בתחילה על ידי וקטור מצב קוונטי בצורה

α∣0⟩Q∣γ0⟩R+β∣1⟩Q∣γ1⟩R,\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},

כש-∣γ0⟩\vert\gamma_0\rangle ו-∣γ1⟩\vert\gamma_1\rangle הם וקטורי מצב קוונטי עבור המערכת R\mathsf{R} ו-α\alpha ו-β\beta הם מספרים מרוכבים המקיימים ∣α∣2+∣β∣2=1.\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1. כל וקטור מצב קוונטי של הזוג (Q,R)(\mathsf{Q},\mathsf{R}) ניתן לביטוי בצורה זו.

הדמות הבאה מתארת את אותו Circuit כמו קודם, עם הוספת המערכת R\mathsf{R} (מיוצגת על ידי אוסף של Qubits בראש הדיאגרמה שלא קורה להם כלום).

טלפורטציה עם כניסה שזורה

כדי לנתח מה קורה כשמופעל פרוטוקול הטלפורטציה, מועיל לתמורר את המערכות, בקווים דומים לאלה שתוארו בשיעור הקודם. באופן ספציפי, נשקול את מצב המערכות בסדר (B,R,A,Q)(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q}) ולא (B,A,Q,R).(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R}). שמות המערכות השונות כלולות כאינדיקסים בביטויים שבאים להלן לשם הבהירות.

בתחילת הפרוטוקול, מצבן של מערכות אלה הוא כדלקמן:

∣π0⟩=∣ϕ+⟩BA⊗(α∣0⟩Q∣γ0⟩R+β∣1⟩Q∣γ1⟩R)=α∣0⟩B∣γ0⟩R∣00⟩AQ+α∣1⟩B∣γ0⟩R∣10⟩AQ+β∣0⟩B∣γ1⟩R∣01⟩AQ+β∣1⟩B∣γ1⟩R∣11⟩AQ2.\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}

תחילה מופעל Gate ה-controlled-NOT, אשר ממיר מצב זה אל

∣π1⟩=α∣0⟩B∣γ0⟩R∣00⟩AQ+α∣1⟩B∣γ0⟩R∣10⟩AQ+β∣0⟩B∣γ1⟩R∣11⟩AQ+β∣1⟩B∣γ1⟩R∣01⟩AQ2.\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.

לאחר מכן מופעל Gate ה-Hadamard. לאחר פריסה ופישוט המצב המתקבל, בקווים דומים לניתוח המקרה הפשוט יותר לעיל, אנחנו מקבלים ביטוי זה של המצב המתקבל:

∣π2⟩=12(α∣0⟩B∣γ0⟩R+β∣1⟩B∣γ1⟩R)∣00⟩AQ+12(α∣0⟩B∣γ0⟩R−β∣1⟩B∣γ1⟩R)∣01⟩AQ+12(α∣1⟩B∣γ0⟩R+β∣0⟩B∣γ1⟩R)∣10⟩AQ+12(α∣1⟩B∣γ0⟩R−β∣0⟩B∣γ1⟩R)∣11⟩AQ.\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}

בהמשיכנו בדיוק כמו קודם, שבו אנחנו שוקלים את ארבע התוצאות האפשריות של מדידות אליס יחד עם הפעולות המתאימות שבוב מבצע, אנחנו מגלים שבסוף הפרוטוקול, מצבם של (B,R)(\mathsf{B},\mathsf{R}) הוא תמיד

α∣0⟩∣γ0⟩+β∣1⟩∣γ1⟩.\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle.

באופן לא פורמלי, הניתוח אינו משתנה בצורה משמעותית בהשוואה למקרה הפשוט יותר לעיל; ∣γ0⟩\vert\gamma_0\rangle ו-∣γ1⟩\vert\gamma_1\rangle בעצם "באים עם הנסיעה." לפיכך, הטלפורטציה מצליחה ליצור ערוץ תקשורת קוונטי מושלם, ומעבירה ביעילות את תוכן ה-Qubit Q\mathsf{Q} אל B\mathsf{B} ומשמרת את כל הקורלציות עם מערכות אחרות.

זה בעצם אינו מפתיע כלל, בהינתן הניתוח של המקרה הפשוט יותר לעיל. כפי שניתוח זה גילה, יש לנו תהליך פיזי שפועל כמו פעולת הזהות על Qubit במצב קוונטי שרירותי, ויש רק דרך אחת שזה יכול לקרות: הפעולה שמיישם הפרוטוקול חייבת להיות פעולת הזהות. כלומר, ברגע שאנחנו יודעים שהטלפורטציה פועלת כהלכה עבור Qubit בודד בבידוד, אנחנו יכולים להסיק שהפרוטוקול מיישם ביעילות ערוץ קוונטי מושלם ללא רעש, ולכן הוא חייב לפעול כהלכה גם אם ה-Qubit הנכנס שזור עם מערכת אחרת.

דיון נוסף​

הנה כמה הערות מסכמות קצרות על טלפורטציה.

ראשית, טלפורטציה אינה יישום של מידע קוונטי, היא פרוטוקול לביצוע תקשורת קוונטית. לכן היא שימושית רק במידה שתקשורת קוונטית שימושית.

אכן, סביר להניח שטלפורטציה עשויה יום אחד להפוך לדרך סטנדרטית להעברת מידע קוונטי, אולי דרך תהליך הידוע בשם זיקוק שזירה. זהו תהליך שממיר מספר גדול יותר של e-bits רועשים (או פגומים) למספר קטן יותר של e-bits באיכות גבוהה, שניתן להשתמש בהם לטלפורטציה ללא רעש או עם רעש מינימלי. הרעיון הוא שתהליך זיקוק השזירה אינו עדין כמו תקשורת קוונטית ישירה. נוכל לקבל אבדות, לדוגמה, ואם התהליך לא מסתדר, פשוט ננסה שוב. לעומת זאת, ה-Qubits עצמם שאנחנו מקווים להעביר עשויים להיות יקרים הרבה יותר.

לבסוף, יש להבין שהרעיון מאחורי הטלפורטציה והאופן שבו היא עובדת הוא יסודי למדי במידע ובחישוב קוונטי. זה ממש אבן יסוד בתורת המידע הקוונטי, ווריאציות שלו צצות. לדוגמה, ניתן ליישם Gate קוונטיים דרך תהליך קשור מקרוב הידוע בשם טלפורטציית Gate קוונטי, אשר משתמשת בטלפורטציה להפעלת פעולות על Qubits במקום לתקשר אותם.