כדור בלוך

יש דרך גיאומטרית שימושית לייצג מצבי Qubit הידועה בשם כדור בלוך. היא מאוד נוחה, אבל למרבה הצער היא עובדת רק עבור Qubit — הייצוג המקביל כבר לא מתאים לאובייקט כדורי ברגע שיש לנו שלושה מצבים קלאסיים או יותר במערכת שלנו.

מצבי Qubit כנקודות על כדור

נתחיל מלחשוב על וקטור מצב קוונטי של Qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ אנחנו יכולים להגביל את תשומת לבנו לוקטורים שבהם $\alpha$ הוא מספר ממשי לא-שלילי, כי כל וקטור מצב של Qubit שקול, עד לפאזה גלובלית, לאחד שבו $\alpha \geq 0.$ זה מאפשר לנו לכתוב

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

עבור שני מספרים ממשיים $\theta \in [0,\pi]$ ו-$\phi\in[0,2\pi).$ כאן, $\theta$ נע בין $0$ ל-$\pi$ ומחלקים ב-$2$ בארגומנט של הסינוס והקוסינוס כי זוהי דרך מקובלת לפרמטריזציה של וקטורים מסוג זה, ודבר זה יפשט את הדברים מעט בהמשך.

עכשיו, לא בדיוק נכון שהמספרים $\theta$ ו-$\phi$ נקבעים באופן יחיד על-ידי וקטור מצב קוונטי נתון $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ אבל כמעט כך. בפרט, אם $\beta = 0,$ אז $\theta = 0$ ואין משמעות לערך שתקח $\phi,$ כך שניתן לבחור אותה באופן שרירותי. באופן דומה, אם $\alpha = 0,$ אז $\theta = \pi,$ ושוב $\phi$ לא רלוונטית (מאחר שהמצב שלנו שקול ל-$e^{i\phi}\vert 1\rangle$ לכל $\phi$ עד לפאזה גלובלית). אם, לעומת זאת, לא $\alpha$ ולא $\beta$ הם אפס, אז יש בחירה יחידה לזוג $(\theta,\phi)$ שעבורה $\vert\psi\rangle$ שקול ל-$\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ עד לפאזה גלובלית.

כעת, נשקול את ייצוג מטריצת הצפיפות של מצב זה.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

נוכל להשתמש בזהויות טריגונומטריות מסוימות,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

כמו גם בנוסחה $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ כדי לפשט את מטריצת הצפיפות כך:

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

זה מקל על ביטוי מטריצת הצפיפות כצירוף לינארי של מטריצות פאולי:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

באופן ספציפי, אנחנו מסיקים ש-

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

המקדמים של $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ ו-$\sigma_z$ במונה של ביטוי זה הם כולם מספרים ממשיים, אז נוכל לאסוף אותם יחד כדי ליצור וקטור במרחב אוקלידי רגיל, תלת-ממדי.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

למעשה, זהו וקטור יחידה. אפשר לכתוב אותו בעזרת קואורדינטות כדוריות כ-$(1,\theta,\phi).$ הקואורדינטה הראשונה, $1,$ מייצגת את הרדיוס או המרחק הרדיאלי (שתמיד שווה $1$ במקרה זה), $\theta$ מייצג את זווית הקוטב, ו-$\phi$ מייצג את הזווית האזימוטלית.

במילים, אם נחשוב על כדור ככדור כדורגל, זווית הקוטב $\theta$ היא כמה נסובב דרומה מהקוטב הצפוני כדי להגיע לנקודה המתוארת, מ-$0$ עד $\pi = 180^{\circ},$ בעוד שהזווית האזימוטלית $\phi$ היא כמה נסובב מזרחה ממרידיאן היסוד, מ-$0$ עד $2\pi = 360^{\circ}.$ הנחה זו מבוססת על כך שמגדירים את מרידיאן היסוד כעקומה על פני הכדור מקוטב לקוטב שעוברת דרך ציר ה-$x$ החיובי.

כל נקודה על הכדור ניתנת לתיאור בדרך זו — כלומר, הנקודות שאנחנו מקבלים כשאנחנו עוברים על כל המצבים הטהורים האפשריים של Qubit מתאימות בדיוק לכדור ב-$3$ ממדים ממשיים. (כדור זה נקרא בדרך כלל הכדור היחידה ה-$2$ מפני שפני הכדור הם דו-ממדיים.)

כשאנחנו מקשרים נקודות על הכדור יחידה ה-$2$ למצבים טהורים של Qubit, אנחנו מקבלים את ייצוג כדור בלוך של מצבים אלו.

שישה דוגמאות חשובות

1. הבסיס הסטנדרטי $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ נתחיל מהמצב $\vert 0\rangle.$ כמטריצת צפיפות אפשר לכתוב אותו כך:

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   על-ידי איסוף המקדמים של מטריצות פאולי במונה, אנחנו רואים שהנקודה המתאימה על הכדור יחידה ה-$2$ בקואורדינטות קרטזיות היא $(0,0,1).$ בקואורדינטות כדוריות נקודה זו היא $(1,0,\phi),$ כאשר $\phi$ יכולה להיות כל זווית. זה עקבי עם הביטוי

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   שגם הוא עובד לכל $\phi.$ בצורה אינטואיטיבית, זווית הקוטב $\theta$ היא אפס, אז אנחנו בקוטב הצפוני של כדור בלוך, שם הזווית האזימוטלית לא רלוונטית.

   באופן דומה, מטריצת הצפיפות של המצב $\vert 1\rangle$ ניתנת לכתיבה כך:

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   הפעם הקואורדינטות הקרטזיות הן $(0,0,-1).$ בקואורדינטות כדוריות נקודה זו היא $(1,\pi,\phi)$ כאשר $\phi$ יכולה להיות כל זווית. במקרה זה זווית הקוטב מגיעה עד $\pi,$ כך שאנחנו בקוטב הדרומי שם הזווית האזימוטלית שוב לא רלוונטית.

2. הבסיס $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ יש לנו את הביטויים הבאים עבור מטריצות הצפיפות המתאימות למצבים אלו.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   לנקודות המתאימות על הכדור יחידה ה-$2$ יש קואורדינטות קרטזיות $(1,0,0)$ ו-$(-1,0,0),$ וקואורדינטות כדוריות $(1,\pi/2,0)$ ו-$(1,\pi/2,\pi),$ בהתאמה.

   במילים, $\vert +\rangle$ מתאים לנקודה שבה ציר ה-$x$ החיובי חותך את הכדור יחידה ה-$2$ ו-$\vert -\rangle$ מתאים לנקודה שבה ציר ה-$x$ השלילי חותך אותו. באופן אינטואיטיבי יותר, $\vert +\rangle$ נמצא על קו המשווה של כדור בלוך במקום שבו הוא פוגש את מרידיאן היסוד, ו-$\vert - \rangle$ נמצא על קו המשווה בצד הנגדי של הכדור.

3. הבסיס $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ כפי שראינו קודם לכן בשיעור, שני מצבים אלו מוגדרים כך:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   הפעם יש לנו את הביטויים הבאים:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   לנקודות המתאימות על הכדור יחידה ה-$2$ יש קואורדינטות קרטזיות $(0,1,0)$ ו-$(0,-1,0),$ וקואורדינטות כדוריות $(1,\pi/2,\pi/2)$ ו-$(1,\pi/2,3\pi/2),$ בהתאמה.

   במילים, $\vert {+i} \rangle$ מתאים לנקודה שבה ציר ה-$y$ החיובי חותך את הכדור יחידה ה-$2$ ו-$\vert {-i} \rangle$ לנקודה שבה ציר ה-$y$ השלילי חותך אותו.

הנה עוד מחלקה של וקטורי מצב קוונטי שהופיעו מדי פעם לאורך הסדרה הזו, כולל קודם לכן בשיעור זה.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

ייצוג מטריצת הצפיפות של כל אחד מהמצבים הללו הוא כדלקמן:

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

האיור הבא ממחיש את הנקודות המתאימות על כדור בלוך עבור כמה בחירות של $\alpha.$

צירופים קמורים של נקודות

בדומה למה שכבר דיברנו עליו עבור מטריצות צפיפות, אנחנו יכולים לקחת צירופים קמורים של נקודות על כדור בלוך כדי לקבל ייצוגים של מטריצות צפיפות של Qubit. בדרך כלל, התוצאה היא נקודות בתוך כדור בלוך, המייצגות מטריצות צפיפות של מצבים שאינם טהורים. לפעמים אנחנו מתייחסים לכדור בלוך המלא כשאנחנו רוצים להדגיש במפורש את הכללת הנקודות שבתוך כדור בלוך כייצוגים של מטריצות צפיפות של Qubit.

לדוגמה, ראינו שמטריצת הצפיפות $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ המייצגת את המצב המעורב לחלוטין של Qubit, ניתנת לכתיבה בשתי דרכים חלופיות אלו:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

יש לנו גם

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

ובאופן כללי יותר נוכל להשתמש בכל שני וקטורי מצב אורתוגונליים של Qubit (שתמיד יתאימו לשתי נקודות אנטיפודיות על כדור בלוך). אם נממוצע את הנקודות המתאימות על כדור בלוך באופן דומה, נקבל את אותה הנקודה, שבמקרה זה נמצאת במרכז הכדור. זה עקבי עם התצפית ש-

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

מה שנותן לנו את הקואורדינטות הקרטזיות $(0,0,0).$

דוגמה שונה הנוגעת לצירופים קמורים של נקודות כדור בלוך היא זו שנדונה בתת-הסעיף הקודם.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

האיור הבא ממחיש את שתי הדרכים השונות הללו לקבל את מטריצת הצפיפות הזו כצירוף קמור של מצבים טהורים.