מערכות מרובות ומצבים מצומצמים

עכשיו נפנה את תשומת לבנו לאופן שבו מטריצות צפיפות עובדות עבור מערכות מרובות, כולל דוגמאות לסוגים שונים של מתאמים שהן יכולות לבטא וכיצד ניתן להשתמש בהן לתיאור המצבים של חלקים מבודדים של מערכות מורכבות.

מערכות מרובות

מטריצות צפיפות יכולות לייצג מצבים של מערכות מרובות באופן אנלוגי לוקטורי מצב בניסוח הפשוט של מידע קוונטי, תוך ביסוס על אותו רעיון בסיסי שלפיו ניתן להסתכל על מערכות מרובות כאילו הן מערכת יחידה ומורכבת. במונחים מתמטיים, השורות והעמודות של מטריצות הצפיפות המייצגות מצבים של מערכות מרובות נמצאות בהתאמה עם המכפלה הקרטזית של קבוצות המצב הקלאסי של המערכות הבודדות.

לדוגמה, נזכור את ייצוגי וקטור המצב של ארבעת מצבי Bell.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

ייצוגי מטריצת הצפיפות של מצבים אלה הם כדלקמן.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

מצבי מכפלה

בדומה למה שהיה לנו עבור וקטורי מצב, מכפלות טנסוריות של מטריצות צפיפות מייצגות עצמאות בין המצבים של מערכות מרובות. לדוגמה, אם $\mathsf{X}$ מוכנה במצב המיוצג על ידי מטריצת הצפיפות $\rho$ ו-$\mathsf{Y}$ מוכנה באופן עצמאי במצב המיוצג על ידי $\sigma,$ אז מטריצת הצפיפות המתארת את מצב $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ היא המכפלה הטנסורית $\rho\otimes\sigma.$

אותה טרמינולוגיה משמשת כאן כמו בניסוח הפשוט של מידע קוונטי: מצבים בצורה זו מכונים מצבי מכפלה.

מצבים מתואמים ומסובכים

מצבים שאינם יכולים להיות מבוטאים כמצבי מכפלה מייצגים מתאמים בין מערכות. למעשה, ישנם סוגים שונים של מתאמים שניתן לייצג באמצעות מטריצות צפיפות. הנה כמה דוגמאות.

1. מצבים קלאסיים מתואמים. לדוגמה, ניתן לבטא את המצב שבו אליס ובוב חולקים סיבית אקראית כך:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. אנסמבלים של מצבים קוונטיים. נניח שיש לנו $m$ מטריצות צפיפות $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ כולן מייצגות מצבים של מערכת $\mathsf{X},$ ואנו בוחרים באקראי אחד מהמצבים הללו לפי וקטור הסתברות $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ תהליך כזה מיוצג על ידי אנסמבל של מצבים, הכולל את הגדרת מטריצות הצפיפות $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ וכן ההסתברויות $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ אנו יכולים לשייך אנסמבל של מצבים למטריצת צפיפות יחידה, המתארת הן את הבחירה האקראית של $k$ והן את מטריצת הצפיפות $\rho_k$ המתאימה, כך:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   כדי להבהיר, זהו מצב של זוג $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ כאשר $\mathsf{Y}$ מייצג את הבחירה הקלאסית של $k$ — כלומר, אנו מניחים שקבוצת המצב הקלאסי שלה היא $\{0,\ldots,m-1\}.$ מצבים בצורה זו נקראים לעיתים מצבים קלאסיים-קוונטיים.

3. מצבים ניתנים להפרדה. ניתן לדמיין מצבים שבהם יש לנו מתאם קלאסי בין המצבים הקוונטיים של שתי מערכות כך:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   במילים, עבור כל $k$ מ-$0$ עד $m-1,$ יש לנו שבהסתברות $p_k$ המערכת משמאל נמצאת במצב $\rho_k$ והמערכת מימין נמצאת במצב $\sigma_k.$ מצבים כאלה נקראים מצבים ניתנים להפרדה. ניתן להרחיב מושג זה גם ליותר משתי מערכות.

4. מצבים מסובכים. לא כל המצבים של זוגות מערכות ניתנים להפרדה. בניסוח הכללי של מידע קוונטי, כך מוגדרת הסבכה: מצבים שאינם ניתנים להפרדה נקראים מסובכים.

   שים לב שהטרמינולוגיה הזו עקבית עם הטרמינולוגיה שהשתמשנו בה בקורס "יסודות המידע הקוונטי". שם אמרנו שוקטורי מצב קוונטיים שאינם מצבי מכפלה מייצגים מצבים מסובכים — ואכן, עבור כל וקטור מצב קוונטי $\vert\psi\rangle$ שאינו מצב מכפלה, נמצא שהמצב המיוצג על ידי מטריצת הצפיפות $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ אינו ניתן להפרדה. הסבכה הרבה יותר מורכבת מכך עבור מצבים שאינם טהורים.

מצבים מצומצמים והעקבה החלקית

יש דבר פשוט אך חשוב שאנו יכולים לעשות עם מטריצות צפיפות בהקשר של מערכות מרובות, והוא לתאר את המצבים שאנו מקבלים על ידי התעלמות מחלק מהמערכות. כאשר מערכות מרובות נמצאות במצב קוונטי ואנו מוותרים על אחת או יותר מהמערכות או בוחרים להתעלם מהן, מצב המערכות הנותרות נקרא המצב המצומצם של אותן מערכות. תיאורי מטריצת הצפיפות של מצבים מצומצמים מתקבלים בקלות באמצעות מיפוי המכונה העקבה החלקית, ממטריצת הצפיפות המתארת את מצב השלם.

דוגמה: מצבים מצומצמים עבור e-bit

נניח שיש לנו זוג Qubitים $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ הנמצאים יחד במצב

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

ניתן לדמיין שאליס מחזיקה את ה-Qubit $\mathsf{A}$ ובוב מחזיק את $\mathsf{B},$ כלומר שיחד הם חולקים e-bit. נרצה לקבל תיאור מטריצת צפיפות של ה-Qubit של אליס $\mathsf{A}$ בבידוד, כאילו בוב החליט לקחת את ה-Qubit שלו ולבקר בכוכבים, לעולם לא יראה שוב.

ראשית, בוא נחשוב מה יקרה אם בוב יחליט איפשהו במהלך מסעו למדוד את ה-Qubit שלו לפי מדידת בסיס סטנדרטי. אם היה עושה זאת, היה מקבל את התוצאה $0$ בהסתברות

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

ובמקרה זה מצב ה-Qubit של אליס הופך ל-$\vert 0\rangle;$ והיה מקבל את התוצאה $1$ בהסתברות

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

ובמקרה זה מצב ה-Qubit של אליס הופך ל-$\vert 1\rangle.$

אז, אם אנו מתעלמים מתוצאת המדידה של בוב ומתמקדים ב-Qubit של אליס, אנו מסיקים שהיא מקבלת את המצב $\vert 0\rangle$ בהסתברות $1/2$ ואת המצב $\vert 1\rangle$ בהסתברות $1/2.$ זה מוביל אותנו לתאר את מצב ה-Qubit של אליס בבידוד באמצעות מטריצת הצפיפות

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

כלומר, ה-Qubit של אליס נמצא במצב המעורב לחלוטין. כדי להבהיר, תיאור זה של מצב ה-Qubit של אליס אינו כולל את תוצאת המדידה של בוב; אנו מתעלמים מבוב לחלוטין.

עכשיו, ייתכן שנדמה שתיאור מטריצת הצפיפות של ה-Qubit של אליס בבידוד שקיבלנו זה עתה מסתמך על ההנחה שבוב מדד את ה-Qubit שלו, אך זה לא כך. מה שעשינו הוא להשתמש באפשרות שבוב מודד את ה-Qubit שלו כדי לטעון שהמצב המעורב לחלוטין עולה כמצב ה-Qubit של אליס, בהתבסס על מה שכבר למדנו. כמובן, שום דבר לא אומר שבוב חייב למדוד את ה-Qubit שלו — אך שום דבר לא אומר שהוא לא עושה זאת. ואם הוא נמצא שנות אור משם, אז שום דבר שהוא עושה או לא עושה אינו יכול להשפיע על מצב ה-Qubit של אליס שנתפס בבידוד. כלומר, התיאור שקיבלנו למצב ה-Qubit של אליס הוא התיאור היחיד העקבי עם אי-האפשרות של תקשורת מהירה מהאור.

אנו יכולים גם לשקול את מצב ה-Qubit של בוב $\mathsf{B},$ שמסתבר שהוא גם כן המצב המעורב לחלוטין. אכן, עבור כל ארבעת מצבי Bell נמצא שהמצב המצומצם הן של ה-Qubit של אליס והן של ה-Qubit של בוב הוא המצב המעורב לחלוטין.

מצבים מצומצמים עבור וקטור מצב קוונטי כללי

עכשיו בוא נכליל את הדוגמה שדנו בה זה עתה לשתי מערכות שרירותיות $\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B},$ שאינן בהכרח Qubitים במצב $\vert \phi^+\rangle.$ נניח שקבוצות המצב הקלאסי של $\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B}$ הן $\Sigma$ ו-$\Gamma,$ בהתאמה. מטריצת צפיפות $\rho$ המייצגת מצב של המערכת המשולבת $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ לכן תכיל אינדקסי שורה ועמודה המתאימים למכפלה הקרטזית $\Sigma\times\Gamma.$

נניח שמצב $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ מתואר על ידי וקטור המצב הקוונטי $\vert\psi\rangle,$ כך שמטריצת הצפיפות המתארת מצב זה היא $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ נקבל תיאור מטריצת צפיפות של מצב $\mathsf{A}$ בבידוד, המסומן באופן מסורתי $\rho_{\mathsf{A}}.$ (לעיתים משתמשים גם בחזקה במקום בתחתית.)

וקטור המצב $\vert\psi\rangle$ ניתן לבטא בצורה

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

עבור אוסף וקטורים $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ שנקבע באופן יחיד. בפרט, ניתן לקבוע וקטורים אלה באמצעות נוסחה פשוטה.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

באופן דומה לדוגמה הקודמת של e-bit, אם היינו מודדים את המערכת $\mathsf{B}$ במדידת בסיס סטנדרטי, היינו מקבלים כל תוצאה $b\in\Gamma$ בהסתברות $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ ובמקרה זה מצב $\mathsf{A}$ הופך ל-

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

כמטריצת צפיפות, ניתן לכתוב מצב זה כדלקמן.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

על ידי ממוצע של המצבים השונים לפי הסתברויות התוצאות המתאימות, אנו מגיעים למטריצת הצפיפות

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

העקבה החלקית

הנוסחה

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

מובילה אותנו לתיאור המצב המצומצם של $\mathsf{A}$ עבור כל מטריצת צפיפות $\rho$ של הזוג $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ לא רק מצב טהור.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

נוסחה זו חייבת לעבוד, פשוט מתוך לינאריות יחד עם העובדה שכל מטריצת צפיפות ניתנת לכתיבה כצירוף קמור של מצבים טהורים.

הפעולה המתבצעת על $\rho$ כדי לקבל $\rho_{\mathsf{A}}$ במשוואה זו מכונה העקבה החלקית, ולהיות מדויקים יותר אנו אומרים שהעקבה החלקית מתבצעת על $\mathsf{B},$ או ש-$\mathsf{B}$ מוצא מהעקבה. פעולה זו מסומנת $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ ולכן ניתן לכתוב

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

ניתן גם להגדיר את העקבה החלקית על $\mathsf{A},$ כך שדווקא $\mathsf{A}$ מוצא מהעקבה ולא $\mathsf{B},$ כך.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

זה נותן לנו את תיאור מטריצת הצפיפות $\rho_{\mathsf{B}}$ של מצב $\mathsf{B}$ בבידוד במקום $\mathsf{A}.$

לסיכום, אם $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ הוא זוג מערכות כלשהו ויש לנו מטריצת צפיפות $\rho$ המתארת מצב של $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ המצבים המצומצמים של המערכות $\mathsf{A}$ ו-$\mathsf{B}$ הם כדלקמן.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

אם $\rho$ היא מטריצת צפיפות, אז $\rho_{\mathsf{A}}$ ו-$\rho_{\mathsf{B}}$ יהיו גם הן בהכרח מטריצות צפיפות.

ניתן להכליל מושגים אלה לכל מספר מערכות במקום שתיים באופן טבעי. בכלל, ניתן לשים את שמות כל המערכות שנבחר בתחתית של מטריצת צפיפות $\rho$ כדי לתאר את המצב המצומצם של אותן מערכות בלבד. לדוגמה, אם $\mathsf{A},$ $\mathsf{B},$ ו-$\mathsf{C}$ הן מערכות ו-$\rho$ היא מטריצת צפיפות המתארת מצב של $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ אז ניתן להגדיר

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

וכן הלאה עבור בחירות אחרות של המערכות.

תיאור חלופי של העקבה החלקית

דרך חלופית לתאר את מיפויי העקבה החלקית $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ ו-$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ היא שהם המיפויים הלינאריים היחידים המקיימים את הנוסחאות

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

בנוסחאות אלו, $N$ ו-$M$ הן מטריצות ריבועיות בגדלים המתאימים: השורות והעמודות של $M$ מתאימות למצבים הקלאסיים של $\mathsf{A}$, והשורות והעמודות של $N$ מתאימות למצבים הקלאסיים של $\mathsf{B}.$

אפיון זה של העקבה החלקית הוא לא רק יסודי מבחינה מתמטית, אלא יכול גם לאפשר חישובים מהירים במצבים מסוימים. לדוגמה, נשקול את המצב הזה של זוג Qubit-ים $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

כדי לחשב את המצב המצומצם $\rho_{\mathsf{A}}$ למשל, נוכל להשתמש בלינאריות יחד עם העובדה ש-$\vert 0\rangle\langle 0\vert$ ו-$\vert +\rangle\langle +\vert$ הן בעלות עקבה יחידה.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

המצב המצומצם $\rho_{\mathsf{B}}$ ניתן לחישוב באופן דומה.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

העקבה החלקית עבור שני Qubit-ים

ניתן לתאר את העקבה החלקית גם באופן מפורש במונחי מטריצות. כאן נעשה זאת רק עבור שני Qubit-ים, אך ניתן להכליל זאת גם למערכות גדולות יותר. נניח שיש לנו שני Qubit-ים $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ כך שכל מטריצת צפיפות המתארת מצב של שני Qubit-ים אלו ניתנת לכתיבה בצורה

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

עבור בחירה כלשהי של מספרים מרוכבים $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

לעקבה החלקית על המערכת הראשונה יש את הנוסחה הבאה.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

דרך אחת לחשוב על נוסחה זו מתחילה בהסתכלות על מטריצות $4\times 4$ כמטריצות בלוק $2\times 2$, כאשר כל בלוק הוא $2\times 2.$ כלומר,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

עבור

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

אז מתקיים

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

הנה הנוסחה כאשר המערכת השנייה היא זו שעוקבים עליה ולא הראשונה.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

במונחי מטריצות בלוק בצורה דומה לקודם, מתקיימת הנוסחה הבאה.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

תיאורי מטריצות הבלוק של פונקציות אלו ניתנים להרחבה למערכות גדולות יותר מ-Qubit-ים בצורה טבעית וישירה.

לסיום השיעור, נחיל את הנוסחאות הללו על אותו המצב שבחנו לעיל.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

המצב המצומצם של המערכת הראשונה $\mathsf{A}$ הוא

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

והמצב המצומצם של המערכת השנייה $\mathsf{B}$ הוא

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$