יסודות מטריצת הצפיפות

נתחיל בתיאור מה הן מטריצות צפיפות במונחים מתמטיים, ואחר כך נסתכל על כמה דוגמאות. לאחר מכן נדון בכמה היבטים בסיסיים של אופן הפעולה של מטריצות צפיפות וכיצד הן קשורות לוקטורי המצב הקוונטי בניסוח המפושט של האינפורמציה הקוונטית.

הגדרה

נניח שיש לנו מערכת קוונטית בשם $\mathsf{X},$ ונסמן ב-$\Sigma$ את קבוצת המצבים הקלאסיים (הסופית והלא-ריקה) של מערכת זו. כאן אנחנו ממשיכים את מוסכמות השמות שנעשה בהן שימוש בקורס "יסודות האינפורמציה הקוונטית", ונמשיך לעשות זאת כשתהיה הזדמנות.

בניסוח הכללי של האינפורמציה הקוונטית, מצב קוונטי של המערכת $\mathsf{X}$ מתואר על ידי מטריצת צפיפות $\rho$ שרשומותיה הן מספרים מרוכבים ושאינדקסיה (גם השורות וגם העמודות) נמצאים בהתאמה עם קבוצת המצבים הקלאסיים $\Sigma.$ האות היוונית הקטנה $\rho$ היא הבחירה הראשונה המקובלת לשם מטריצת צפיפות, אם כי $\sigma$ ו-$\xi$ הן גם בחירות נפוצות.

הנה כמה דוגמאות למטריצות צפיפות המתארות מצבי Qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

לומר ש-$\rho$ היא מטריצת צפיפות פירושו שהשני תנאים הבאים, שיוסברו בקרוב, מתקיימים שניהם:

1. עקבה יחידה: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. חיוביות חצי-מוגדרת: $\rho \geq 0.$

העקבה של מטריצה

התנאי הראשון על מטריצות צפיפות מתייחס לעקבה של מטריצה. זוהי פונקציה המוגדרת, עבור כל המטריצות הריבועיות, כסכום הרשומות האלכסוניות:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

העקבה היא פונקציה לינארית: עבור כל שתי מטריצות ריבועיות $A$ ו-$B$ מאותו גודל, וכל שני מספרים מרוכבים $\alpha$ ו-$\beta,$ המשוואה הבאה מתקיימת תמיד.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

העקבה היא פונקציה חשובה ביותר ויש עוד הרבה מה לומר עליה, אבל נמתין עד שיהיה צורך לומר יותר.

מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות

התנאי השני מתייחס לתכונה של מטריצה להיות חיובית חצי-מוגדרת, שהיא מושג יסודי בתורת האינפורמציה הקוונטית ובנושאים רבים אחרים. מטריצה $P$ היא חיובית חצי-מוגדרת אם קיימת מטריצה $M$ כך ש-

$$P = M^{\dagger} M.$$

כאן נוכל לדרוש שהמטריצה $M$ תהיה ריבועית מאותו גודל כמו $P$ או לאפשר לה להיות לא-ריבועית — בשני המקרים נקבל את אותה מחלקה של מטריצות.

ישנן מספר דרכים חלופיות (אך שקולות) להגדיר תנאי זה, כולל הבאות:

• מטריצה $P$ היא חיובית חצי-מוגדרת אם ורק אם $P$ היא הרמיטית (כלומר, שווה לצמוד הטרנספוז שלה) וכל ערכים העצמיים שלה הם מספרים ממשיים אי-שליליים. בדיקה שמטריצה היא הרמיטית וכל ערכיה הייצוגיים אי-שליליים היא דרך חישובית פשוטה לאמת שהיא חיובית חצי-מוגדרת.

• מטריצה $P$ היא חיובית חצי-מוגדרת אם ורק אם $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ עבור כל וקטור מרוכב $\vert\psi\rangle$ בעל אותם אינדקסים כמו שורות ועמודות $P.$

דרך אינטואיטיבית לחשוב על מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות היא שהן הן האנלוג המטריצי של מספרים ממשיים אי-שליליים. כלומר, מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות הן למטריצות ריבועיות מרוכבות כפי שמספרים ממשיים אי-שליליים הם למספרים מרוכבים. לדוגמה, מספר מרוכב $\alpha$ הוא מספר ממשי אי-שלילי אם ורק אם

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

עבור מספר מרוכב כלשהו $\beta,$ מה שמתאים להגדרת החיוביות החצי-מוגדרת כשמחליפים מטריצות בסקלרים. אמנם מטריצות הן אובייקטים מורכבים יותר מסקלרים בכלל, אבל זו עדיין דרך מועילה לחשוב על מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות.

זה גם מסביר את הסימון הנפוץ $P\geq 0,$ המציין ש-$P$ היא חיובית חצי-מוגדרת. שימו לב בפרט ש-$P\geq 0$ לא פירושו שכל רשומה של $P$ היא אי-שלילית בהקשר זה; יש מטריצות חיוביות חצי-מוגדרות בעלות רשומות שליליות, וגם מטריצות שכל רשומותיהן חיוביות שאינן חיוביות חצי-מוגדרות.

פרשנות מטריצות צפיפות

בשלב זה, הגדרת מטריצות הצפיפות עשויה להיראות שרירותית ומופשטת למדי, מכיוון שעדיין לא שיוכנו משמעויות למטריצות אלה או לרשומותיהן. האופן שבו מטריצות צפיפות פועלות וניתן לפרשן יתבהר בהמשך השיעור, אבל לעת עתה עשוי להיות מועיל לחשוב על רשומות מטריצות צפיפות בדרך הבאה (בצורה מעט בלתי-פורמלית).

• הרשומות האלכסוניות של מטריצת צפיפות נותנות לנו את ההסתברויות שכל מצב קלאסי יופיע אם נבצע מדידת בסיס סטנדרטי — כך שנוכל לחשוב על רשומות אלה כמתארות את ה"משקל" או ה"סבירות" הקשורה לכל מצב קלאסי.

• הרשומות המחוץ-לאלכסון של מטריצת צפיפות מתארות את מידת הסופרפוזיציה הקוונטית של שני המצבים הקלאסיים המתאימים לאותה רשומה (כלומר, זה המתאים לשורה וזה המתאים לעמודה), וכן את הפאזה היחסית ביניהם.

בהחלט לא ברור מראש שמצבים קוונטיים צריכים להיות מיוצגים על ידי מטריצות צפיפות. אכן, יש מובן שבו הבחירה לייצג מצבים קוונטיים על ידי מטריצות צפיפות מובילה באופן טבעי לכל התיאור המתמטי של האינפורמציה הקוונטית. כל השאר לגבי האינפורמציה הקוונטית נובע למעשה די באופן לוגי מבחירה אחת זו!

קשר לוקטורי מצב קוונטי

נזכור שוקטור מצב קוונטי $\vert\psi\rangle$ המתאר מצב קוונטי של $\mathsf{X}$ הוא וקטור עמודה בעל נורמה אוקלידית שווה ל-$1$ שרשומותיו נמצאות בהתאמה עם קבוצת המצבים הקלאסיים $\Sigma.$ ייצוג מטריצת הצפיפות $\rho$ של אותו מצב מוגדר כדלקמן.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

להיות ברורים, אנחנו מכפילים וקטור עמודה בוקטור שורה, ולכן התוצאה היא מטריצה ריבועית שורות ועמודותיה מתאימות ל-$\Sigma.$ מטריצות בצורה זו, מלבד היותן מטריצות צפיפות, הן תמיד הטלות ובעלות דרגה שווה ל-$1.$

לדוגמה, נגדיר שני וקטורי מצב של Qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

מטריצות הצפיפות המתאימות לשני וקטורים אלה הן כדלקמן.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

הנה טבלה המפרטת מצבים אלה יחד עם כמה דוגמאות בסיסיות נוספות: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ ו- $\vert {-}\rangle.$ נראה שישה מצבים אלה שוב בהמשך השיעור.

וקטור מצב	מטריצת צפיפות
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

לדוגמה נוספת, הנה מצב מהשיעור מערכות יחידניות של קורס "יסודות האינפורמציה הקוונטית", כולל ייצוגי וקטור המצב ומטריצת הצפיפות שלו.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

מטריצות צפיפות הנוקטות את הצורה $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ עבור וקטור מצב קוונטי $\vert \psi \rangle$ ידועות בשם מצבים טהורים. לא כל מטריצת צפיפות ניתן לכתוב בצורה זו; חלק מהמצבים אינם טהורים.

כמטריצות צפיפות, למצבים טהורים תמיד יש ערך ייצוגי אחד שווה ל-$1$ וכל שאר הערכים הייצוגיים שווים ל-$0.$ זה עקבי עם הפרשנות שהערכים הייצוגיים של מטריצת צפיפות מתארים את האקראיות או אי-הוודאות הגלומה במצב. בעצם, אין אי-וודאות למצב טהור $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — המצב הוא בהכרח $\vert \psi \rangle.$

בכלל, עבור וקטור מצב קוונטי

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

עבור מערכת עם $n$ מצבים קלאסיים, ייצוג מטריצת הצפיפות של אותו מצב הוא כדלקמן.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

אז, במקרה המיוחד של מצבים טהורים, נוכל לאמת שהרשומות האלכסוניות של מטריצת צפיפות מתארות את ההסתברויות שמדידת בסיס סטנדרטי תפלוט כל מצב קלאסי אפשרי.

הערה אחרונה לגבי מצבים טהורים היא שמטריצות צפיפות מבטלות את העמימות לגבי פאזות גלובליות הנמצאת בוקטורי מצב קוונטי. נניח שיש לנו שני וקטורי מצב קוונטי הנבדלים בפאזה גלובלית: $\vert \psi \rangle$ ו-$\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ עבור מספר ממשי כלשהו $\theta.$ מכיוון שהם נבדלים בפאזה גלובלית, וקטורים אלה מייצגים בדיוק את אותו מצב קוונטי, למרות שהוקטורים עצמם עשויים להיות שונים. מטריצות הצפיפות שאנו מקבלים משני וקטורי מצב אלה, לעומת זאת, זהות.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

בכלל, מטריצות צפיפות מספקות ייצוג ייחודי של מצבים קוונטיים: שני מצבים קוונטיים הם זהים, ומייצרים בדיוק את אותה סטטיסטיקת תוצאות לכל מדידה אפשרית שניתן לבצע עליהם, אם ורק אם ייצוגי מטריצת הצפיפות שלהם שווים. בשפה מתמטית, נוכל לבטא זאת באמרנו שמטריצות צפיפות מציעות ייצוג נאמן של מצבים קוונטיים.