צירופים קמורים של מטריצות צפיפות

בחירות הסתברותיות של מטריצות צפיפות

היבט מרכזי של מטריצות צפיפות הוא שהבחירות ההסתברותיות של מצבים קוונטיים מיוצגות על ידי צירופים קמורים של מטריצות הצפיפות המתאימות להן.

לדוגמה, אם יש לנו שתי מטריצות צפיפות, $\rho$ ו-$\sigma,$ המייצגות מצבים קוונטיים של מערכת $\mathsf{X},$ ואנחנו מכינים את המערכת במצב $\rho$ עם הסתברות $p$ ובמצב $\sigma$ עם הסתברות $1 - p,$ אז המצב הקוונטי המתקבל מיוצג על ידי מטריצת הצפיפות

$$p \rho + (1 - p) \sigma.$$

באופן כללי יותר, אם יש לנו $m$ מצבים קוונטיים המיוצגים על ידי מטריצות צפיפות $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ ומערכת מוכנה במצב $\rho_k$ עם הסתברות $p_k$ עבור וקטור הסתברות $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ כלשהו, המצב המתקבל מיוצג על ידי מטריצת הצפיפות

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k.$$

זהו צירוף קמור של מטריצות הצפיפות $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}.$

מכך נובע שאם יש לנו $m$ וקטורי מצב קוונטי $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle,$ ואנחנו מכינים מערכת במצב $\vert\psi_k\rangle$ עם הסתברות $p_k$ לכל $k\in\{0,\ldots,m-1\},$ המצב שמתקבל מיוצג על ידי מטריצת הצפיפות

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert.$$

לדוגמה, אם Qubit מוכן במצב $\vert 0\rangle$ עם הסתברות $1/2$ ובמצב $\vert + \rangle$ עם הסתברות $1/2,$ ייצוג מטריצת הצפיפות של המצב המתקבל נתון על ידי

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

בניסוח הפשוט של מידע קוונטי, ממוצע של וקטורי מצב קוונטי כזה אינו עובד. לדוגמה, הוקטור

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert + \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm]\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm]\frac{\sqrt{2}}{4}\end{pmatrix}$$

אינו וקטור מצב קוונטי תקין מכיוון שהנורמה האוקלידית שלו אינה שווה ל-$1.$ דוגמה קיצונית יותר שממחישה שזה לא עובד עבור וקטורי מצב קוונטי היא שאנחנו קובעים וקטור מצב קוונטי $\vert\psi\rangle$ כלשהו שנרצה, ואז לוקחים את המצב שלנו להיות $\vert\psi\rangle$ עם הסתברות $1/2$ ו-$-\vert\psi\rangle$ עם הסתברות $1/2.$ מצבים אלה נבדלים בפאזה גלובלית, כך שהם למעשה אותו מצב — אבל לקיחת הממוצע נותנת לנו את וקטור האפס, שאינו וקטור מצב קוונטי תקין.

המצב המעורבב לחלוטין

נניח שאנחנו מגדירים את מצב ה-Qubit להיות $\vert 0\rangle$ או $\vert 1\rangle$ באקראי, כל אחד עם הסתברות $1/2.$ מטריצת הצפיפות המייצגת את המצב המתקבל היא כדלקמן.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

(במשוואה זו הסמל $\mathbb{I}$ מציין את מטריצת הזהות $2\times 2$.) זהו מצב מיוחד הידוע בשם המצב המעורבב לחלוטין. הוא מייצג אי-ודאות מוחלטת לגבי מצב ה-Qubit, בדומה לסיבית אקראית אחידה בהגדרה ההסתברותית.

כעת נניח שאנחנו משנים את ההליך: במקום המצבים $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle$ נשתמש במצבים $\vert + \rangle$ ו-$\vert - \rangle.$ אפשר לחשב את מטריצת הצפיפות המתארת את המצב המתקבל באופן דומה.

$$\frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \mathbb{I}$$

זו אותה מטריצת צפיפות כמו קודם, למרות ששינינו את המצבים. למעשה, נקבל שוב את אותה תוצאה — המצב המעורבב לחלוטין — על ידי החלפת כל זוג וקטורי מצב Qubit אורתוגונליים עבור $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle.$

זו תכונה, לא באג! אנחנו אכן מקבלים בדיוק את אותו מצב בשני הדרכים. כלומר, אין דרך להבחין בין שני ההליכים על ידי מדידת ה-Qubit שהם מייצרים, אפילו לא במובן סטטיסטי. שני ההליכים השונים שלנו הם פשוט דרכים שונות להכין את המצב הזה.

אפשר לאמת שזה הגיוני על ידי מחשבה על מה שאנחנו יכולים לקוות ללמוד בהינתן בחירה אקראית של מצב מאחד משני קבוצות המצבים האפשריות $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}$ ו-$\{\vert +\rangle,\vert -\rangle\}.$ כדי לפשט את הדברים, נניח שאנחנו מבצעים פעולה יוניטרית $U$ על ה-Qubit שלנו ואז מודדים בבסיס הסטנדרטי.

בתרחיש הראשון, מצב ה-Qubit נבחר באופן אחיד מהקבוצה $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ אם המצב הוא $\vert 0\rangle,$ נקבל את התוצאות $0$ ו-$1$ עם ההסתברויות

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 \quad\text{and}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2$$

בהתאמה. אם המצב הוא $\vert 1\rangle,$ נקבל את התוצאות $0$ ו-$1$ עם ההסתברויות

$$\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \quad\text{and}\quad \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

מכיוון ששתי האפשרויות מתרחשות כל אחת עם הסתברות $1/2,$ נקבל את התוצאה $0$ עם הסתברות

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2$$

ואת התוצאה $1$ עם הסתברות

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2.$$

שני הביטויים האלה שווים ל-$1/2.$ אחת הדרכים לטעון זאת היא להשתמש בעובדה מאלגברה לינארית הניתנת לראות כהכללה של משפט פיתגורס.

משפט

נניח ש-$\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי של מרחב וקטורי (ממשי או מרוכב) $\mathcal{V}.$ עבור כל וקטור $\vert \phi\rangle \in \mathcal{V}$ מתקיים $\vert \langle \psi_1\vert\phi\rangle\vert^2 + \cdots + \vert \langle \psi_n \vert \phi \rangle\vert^2 = \| \vert\phi\rangle \|^2.$

אפשר להחיל את המשפט הזה כדי לקבוע את ההסתברויות כדלקמן. ההסתברות לקבל $0$ היא

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 0 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 0 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 \end{aligned}$$

וההסתברות לקבל $1$ היא

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 1 \vert U \vert 0 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr) \\[2mm] & = \frac{1}{2} \Bigl( \vert \langle 0 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 + \vert \langle 1 \vert U^{\dagger} \vert 1 \rangle \vert^2 \Bigr)\\[2mm] & = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2. \end{aligned}$$

מכיוון ש-$U$ הוא יוניטרי, ידוע לנו ש-$U^{\dagger}$ הוא גם יוניטרי, ומכך נובע שגם $U^{\dagger} \vert 0 \rangle$ וגם $U^{\dagger} \vert 1 \rangle$ הם וקטורי יחידה. לכן שתי ההסתברויות שוות ל-$1/2.$ פירוש הדבר הוא שלא משנה כיצד נבחר את $U,$ נקבל סיבית אקראית אחידה מהמדידה.

אפשר לבצע אימות דומה עבור כל זוג אחר של מצבים אורתונורמליים במקום $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle.$ לדוגמה, מכיוון ש-$\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$ הוא בסיס אורתונורמלי, ההסתברות לקבל את תוצאת המדידה $0$ בהליך השני היא

$$\frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 0 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 0 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}$$

וההסתברות לקבל $1$ היא

$$\frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert + \rangle \vert^2 + \frac{1}{2}\vert \langle 1 \vert U \vert - \rangle \vert^2 = \frac{1}{2} \bigl\| U^{\dagger} \vert 1 \rangle \bigr\|^2 = \frac{1}{2}.$$

בפרט, מקבלים בדיוק את אותה סטטיסטיקת פלט כמו עבור המצבים $\vert 0\rangle$ ו-$\vert 1\rangle.$

מצבים הסתברותיים

מצבים קלאסיים ניתנים לייצוג על ידי מטריצות צפיפות. בפרט, עבור כל מצב קלאסי $a$ של מערכת $\mathsf{X},$ מטריצת הצפיפות

$$\rho = \vert a\rangle \langle a \vert$$

מייצגת את $\mathsf{X}$ כשהיא נמצאת בוודאות במצב הקלאסי $a.$ עבור Qubits יש לנו

$$\vert 0\rangle \langle 0 \vert = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$

ובאופן כללי יש לנו $1$ בודד באלכסון במיקום המתאים למצב הקלאסי שאנחנו מתייחסים אליו, ואפס בכל שאר הכניסות.

ניתן אז לקחת צירופים קמורים של מטריצות הצפיפות האלה כדי לייצג מצבים הסתברותיים. בהנחה לפשטות שקבוצת המצבים הקלאסיים שלנו היא $\{0,\ldots,n-1\},$ אם $\mathsf{X}$ נמצאת במצב $a$ עם הסתברות $p_a$ לכל $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ מטריצת הצפיפות שמתקבלת היא

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert a\rangle \langle a \vert = \begin{pmatrix} p_0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & p_1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & p_{n-1} \end{pmatrix}.$$

בכיוון ההפוך, כל מטריצת צפיפות אלכסונית ניתנת לזיהוי באופן טבעי עם המצב ההסתברותי שמתקבל על ידי קריאת וקטור ההסתברות מהאלכסון.

כדי להיות ברורים, כאשר מטריצת צפיפות היא אלכסונית, זה לא בהכרח אומר שמדובר במערכת קלאסית, או שהמערכת הוכנה בהכרח על ידי בחירה אקראית של מצב קלאסי, אלא שהמצב יכול היה להתקבל על ידי בחירה אקראית של מצב קלאסי.

העובדה שמצבים הסתברותיים מיוצגים על ידי מטריצות צפיפות אלכסוניות עולה בקנה אחד עם האינטואיציה שהוצגה בתחילת השיעור לפיה הכניסות מחוץ לאלכסון מתארות את המידה שבה שני המצבים הקלאסיים המתאימים לשורה ולעמודה של אותה כניסה נמצאים בסופרפוזיציה קוונטית. כאן, כל הכניסות מחוץ לאלכסון הן אפס, כך שיש לנו רק אקראיות קלאסית ושום דבר לא נמצא בסופרפוזיציה קוונטית.

מטריצות צפיפות ומשפט הספקטרום

ראינו שאם לוקחים צירוף קמור של מצבים טהורים,

$$\rho = \sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert,$$

מקבלים מטריצת צפיפות. כל מטריצת צפיפות $\rho,$ למעשה, ניתנת לביטוי כצירוף קמור של מצבים טהורים כזה. כלומר, תמיד תהיה קיימת אוסף של וקטורי יחידה $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{m-1}\rangle\}$ ווקטור הסתברות $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ שעבורם המשוואה לעיל מתקיימת.

יתרה מכך, תמיד אפשר לבחור את המספר $m$ כך שיתאים למספר המצבים הקלאסיים של המערכת הנדונה, ואפשר לבחור את וקטורי המצב הקוונטי להיות אורתוגונליים. משפט הספקטרום, שנתקלנו בו בקורס "יסודות אלגוריתמים קוונטיים", מאפשר לנו להסיק זאת. הנה ניסוח מחודש של משפט הספקטרום לנוחיותכם.

משפט

משפט הספקטרום: יהי $M$ מטריצה מרוכבת נורמלית מסדר $n\times n$. קיים בסיס אורתונורמלי של וקטורים מרוכבים בממד $n$ שהוא $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle \}$ יחד עם מספרים מרוכבים $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$ כך שמתקיים

$$M = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert.$$

(נזכיר שמטריצה $M$ היא נורמלית אם היא מקיימת $M^{\dagger} M = M M^{\dagger}.$ במילים, מטריצות נורמליות הן מטריצות המתחלפות עם הטרנספוז המצומד שלהן.)

אפשר להחיל את משפט הספקטרום על כל מטריצת צפיפות $\rho$ נתונה, מכיוון שמטריצות צפיפות הן תמיד הרמיטיות ולכן נורמליות. זה מאפשר לנו לכתוב

$$\rho = \lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert$$

עבור בסיס אורתונורמלי $\{\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{n-1}\rangle\}$ כלשהו. נותר לאמת ש-$(\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1})$ הוא וקטור הסתברות, שאותו נוכל לשנות שם ל-$(p_0,\ldots,p_{n-1})$ אם נרצה.

המספרים $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}$ הם הערכים העצמיים של $\rho,$ ומכיוון ש-$\rho$ חיובית חצי-מוגדרת, מספרים אלה חייבים להיות מספרים ממשיים אי-שליליים. אפשר להסיק ש-$\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ מהעובדה ש-$\rho$ בעלת עקבה השווה ל-$1.$ עיבוד הפרטים ייתן לנו הזדמנות להצביע על התכונה החשובה והשימושית הבאה של העקבה.

משפט

תכונת המחזוריות של העקבה: עבור כל שתי מטריצות $A$ ו-$B$ שנותנות מטריצה ריבועית $AB$ בכפל, השוויון $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$ מתקיים.

שימו לב שמשפט זה מתקיים גם אם $A$ ו-$B$ אינן בעצמן מטריצות ריבועיות. כלומר, יתכן ש-$A$ היא מסדר $n\times m$ ו-$B$ מסדר $m\times n,$ עבור בחירה כלשהי של מספרים שלמים חיוביים $n$ ו-$m,$ כך ש-$AB$ היא מטריצה ריבועית מסדר $n\times n$ ו-$BA$ מסדר $m\times m.$

בפרט, אם נגדיר ש-$A$ הוא וקטור עמודה $\vert\phi\rangle$ ו-$B$ הוא וקטור שורה $\langle \phi\vert,$ נראה ש

$$\operatorname{Tr}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(\langle\phi\vert\phi\rangle\bigr) = \langle\phi\vert\phi\rangle.$$

השוויון השני נובע מהעובדה ש-$\langle\phi\vert\phi\rangle$ הוא סקלר, שניתן לחשוב עליו גם כמטריצה $1\times 1$ שהעקבה שלה היא הכניסה היחידה שלה. בעזרת עובדה זו, אפשר להסיק ש-$\lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} = 1$ על ידי לינאריות פונקציית העקבה.

$$\begin{gathered} 1 = \operatorname{Tr}(\rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\lambda_0 \vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert + \cdots + \lambda_{n-1} \vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr)\\[2mm] = \lambda_0 \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_0\rangle\langle \psi_0\vert\bigr) + \cdots + \lambda_{n-1} \operatorname{Tr}\bigl(\vert \psi_{n-1}\rangle\langle \psi_{n-1}\vert\bigr) = \lambda_0 + \cdots + \lambda_{n-1} \end{gathered}$$

לחלופין, ניתן להגיע לאותה מסקנה על ידי שימוש בעובדה שעקבת מטריצה ריבועית (אפילו כזו שאינה נורמלית) שווה לסכום הערכים העצמיים שלה.

לפיכך הסקנו שכל מטריצת צפיפות $\rho$ נתונה ניתנת לביטוי כצירוף קמור של מצבים טהורים. אנחנו רואים גם שניתן, יתרה מכך, לבחור את המצבים הטהורים להיות אורתוגונליים. פירוש הדבר, בפרט, שאין אנחנו זקוקים למספר $n$ גדול יותר מגודל קבוצת המצבים הקלאסיים של $\mathsf{X}.$

באופן כללי, יש להבין שיהיו דרכים שונות לכתוב מטריצת צפיפות כצירוף קמור של מצבים טהורים, ולא רק הדרכים שמשפט הספקטרום מספק. דוגמה קודמת ממחישה זאת.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

זו אינה פירוק ספקטרלי של מטריצה זו מכיוון ש-$\vert 0\rangle$ ו-$\vert + \rangle$ אינם אורתוגונליים. הנה פירוק ספקטרלי:

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert,$$

כאשר $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ הערכים העצמיים הם מספרים שכנראה ייראו מוכרים:

$$\cos^2(\pi/8) = \frac{2+\sqrt{2}}{4} \approx 0.85 \quad\text{and}\quad \sin^2(\pi/8) = \frac{2-\sqrt{2}}{4} \approx 0.15.$$

הוקטורים העצמיים ניתנים לכתיבה מפורשת כך.

$$\begin{aligned} \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[3mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \end{aligned}$$

כדוגמה נוספת, כללית יותר, נניח ש-$\vert \phi_0\rangle,\ldots,\vert \phi_{99} \rangle$ הם וקטורי מצב קוונטי המייצגים מצבים של Qubit בודד, שנבחרו באופן שרירותי — כך שאיננו מניחים יחסים מיוחדים כלשהם בין וקטורים אלה. אז ניתן לשקול את המצב המתקבל על ידי בחירה אחידה באקראי של אחד מ-$100$ מצבים אלה:

$$\rho = \frac{1}{100} \sum_{k = 0}^{99} \vert \phi_k\rangle\langle \phi_k \vert.$$

מכיוון שמדובר ב-Qubit, מטריצת הצפיפות $\rho$ היא מסדר $2\times 2,$ כך שלפי משפט הספקטרום ניתן לכתוב לחלופין

$$\rho = p \vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert + (1 - p) \vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert$$

עבור מספר ממשי $p\in[0,1]$ ובסיס אורתונורמלי $\{\vert\psi_0\rangle,\vert\psi_1\rangle\}$ כלשהו — אבל כמובן שקיום ביטוי זה אינו אוסר עלינו לכתוב את $\rho$ כממוצע של 100 מצבים טהורים אם נבחר לעשות זאת.