דלג לתוכן הראשי

סימולציה של התפתחות בזמן של מודל איזינג בשדה רוחבי

הערכת שימוש: 105 שניות על מעבד Nighthawk r2 (הערה: זו הערכה בלבד. זמן הריצה שלכם עשוי להשתנות.)

תוצאות למידה​

  1. ללמוד איך לבצע transpile ולהריץ מעגלים קוונטיים על החומרה באמצעות Julia

  2. ללמוד איך לבצע עיבוד-המשך לתוצאות מדידה כדי לחשב ערכי תוחלת

  3. ללמוד איך להשוות תוצאות חומרה מול סימולציה קלאסית כדי לכמת את ההשפעה המשולבת של שגיאת קירוב Trotter ורעש החומרה

דרישות קדם​

הכירו את הנושאים הבאים לפני תחילת השיעור הזה:

רקע​

Julia היא שפת תכנות דינמית שנועדה בעיקר לחישוב נומרי ומדעי. יכולות החישוב הנומרי בעלות הביצועים הגבוהים שלה הופכות אותה לבחירה טבעית לתהליכי עבודה של סימולציה קוונטית. בשיעור הזה אנחנו מראים איך Julia משמשת הן לעיבוד מקדים ועיבוד-המשך קלאסיים (למשל בניית המילטוניאנים, הרצת פותרי ODE (משוואות דיפרנציאליות רגילות) וחישוב ערכי תוחלת), והן לתזמור jobs על חומרה קוונטית, וכך מבטלים את הצורך לעבור בין שפות או סביבות.

כדי להתממשק לחומרה של IBM Quantum® מ-Julia, השיעור הזה משתמש בשתי חבילות מהאקוסיסטם של Qiskit: Qiskit.jl עוטפת את ספריית C של Qiskit ומספקת בניית מעגלים ויכולות transpilation ב-Julia; QiskitIBMRuntime.jl מתחברת לחומרה של IBM Quantum דרך לקוח IBM Quantum Compute Service, ומאפשרת שליחת jobs ושליפת תוצאות ישירות מ-Julia.

בשיעור הזה אנחנו בוחנים התפתחות טרוטרית של מודל איזינג בשדה רוחבי על שרשרת חד-ממדית עם אינטראקציות בין שכנים קרובים:

H=∑⟨i,j⟩JijZiZj+∑ihiXi H = \sum_{\langle i,j\rangle}J_{ij}Z_iZ_j + \sum_i h_i X_i

כדי לממש את ההתפתחות בזמן e−iHτe^{-iH\tau}, אנחנו מחלקים את מרווח הזמן τ\tau ל-rr צעדים ומגדירים Δτ=τ/r\Delta\tau=\tau/r. פירוק Trotter-Suzuki מסדר שני נותן את הבא:

e−iHΔτ≈∏ie−ihiXiΔτ/2∏⟨i,j⟩e−iJijZiZjΔτ∏ie−ihiXiΔτ/2 e^{-iH\Delta\tau}\approx \prod_i e^{-ih_i X_i\Delta\tau/2 } \prod_{\langle i,j\rangle} e^{-iJ_{ij}Z_iZ_j\Delta\tau} \prod_i e^{-ih_iX_i\Delta\tau/2}

לבניית המעגל, כל צעד Trotter ממומש כרצף של סיבובי RxR_x חד-קיוביטיים ושערי RZZR_{ZZ} דו-קיוביטיים. המעגל מתחיל בהכנת מצב Néel‏ ∣0101⋯ ⟩|0101\cdots\rangle באמצעות שערי X על קיוביטים לסירוגין. כל צעד Trotter שאחריו מפעיל: (1) את Rx(hiΔτ)R_x(h_i\Delta\tau) על כל קיוביט, (2) את RZZ(2JijΔτ)R_{ZZ}(2J_{ij}\Delta\tau) על כל זוג שכנים לאורך השרשרת, ו-(3) שוב את Rx(hiΔτ)R_x(h_i\Delta\tau) על כל קיוביט. עומק המעגל הכולל גדל באופן לינארי עם מספר צעדי Trotter‏ rr.

דרישות​

שימו לב שהשיעור הזה דורש macOS או Linux. Qiskit.jl אינה נתמכת כרגע ב-Windows (במעקב בבעיה הפתוחה הזו).

כדי להתחיל, התקינו את Julia לפי ההוראות בדף ההורדה של Julia. השיעור הזה פותח עם Julia 1.11; התקינו אותה באמצעות juliaup add 1.11.

בשלב הבא, הריצו את הפקודה הבאה בטרמינל כדי להתקין את חבילת Julia‏ IJulia בסביבה הגלובלית, כדי שתוכלו להריץ Julia בתוך מחברת Jupyter.

julia -e 'using Pkg; Pkg.add("IJulia")'

אנחנו משתמשים במנהל החבילות המובנה של Julia כדי להגדיר את סביבת הפרויקט. יש שתי דרכים להגדיר את הסביבה.

אפשרות 1: סביבה זמנית. אפשר להריץ את תא הקוד הבא כדי להגדיר סביבה זמנית ולהתקין את החבילות הנדרשות;

אפשרות 2: שחזור הסביבה המדויקת שנבדקה. קבעו download_toml_files = true בתא שלמטה. התא יוריד את Project.toml ו-Manifest.toml ממאגר התיעוד לתיקייה env_tutorial/time-evolution/ לצד המחברת הזו, ואז יפעיל את הסביבה הזו ויתקין את גרסאות החבילות המדויקות שהיא מתעדת. קובץ הפרויקט מתאר את הסביבה ברמה גבוהה, למשל, הסעיף [deps] מפרט את כל התלויות. קובץ ה-manifest נועץ את הגרסה המדויקת של כל חבילה (כולל תלויות עקיפות), וכך הסביבה ניתנת לשחזור. ראו את התיעוד של Julia לפרטים נוספים.

התלויות הבאות יותקנו בסביבה.

לבניית מעגלים קוונטיים והרצתם:

  • Qiskit.jl
  • QiskitIBMRuntime.jl

לסימולציה קלאסית:

  • OrdinaryDiffEq.jl
  • TensorNetworkQuantumSimulator.jl

לעיבוד-המשך של תוצאות ולהמחשה:

  • StatsBase.jl
  • Plots.jl

השיעור הזה נבדק עם Qiskit.jl גרסה 0.6.0 ו-QiskitIBMRuntime.jl גרסה 0.3.1.

using Pkg
using Downloads

download_toml_files = false

if !download_toml_files
    # Option 1: Install the latest versions of the required packages into a temporary environment
    Pkg.activate(mktempdir(); io=devnull)
    Pkg.add([
        PackageSpec(name="Qiskit"),
        PackageSpec(name="QiskitIBMRuntime"),
        PackageSpec(name="Python_jll"),
        PackageSpec(name="OrdinaryDiffEq"),
        PackageSpec(name="TensorNetworkQuantumSimulator"),
        PackageSpec(name="StatsBase"),
        PackageSpec(name="Plots"),
    ]; io=devnull)
else
    # Option 2: Install the exact tested versions pinned in the downloaded Project.toml and Manifest.toml
    base_url = "https://raw.githubusercontent.com/Qiskit/documentation/main/docs/tutorials/assets/time-evolution/julia"
    env_dir = joinpath(@__DIR__, "env_tutorial", "time-evolution")
    mkpath(env_dir)
    for file in ("Project.toml", "Manifest.toml")
        Downloads.download("$base_url/$file", joinpath(env_dir, file))
    end

    Pkg.activate(env_dir; io=devnull)
    Pkg.instantiate(; io=devnull) # installs the exact versions recorded in Manifest.toml
end

עד כאן הגדרנו את סביבת הפרויקט של Julia להרצת המחברת. כדי להריץ את תהליך העבודה על יחידת עיבוד קוונטית של IBM, אתם צריכים חשבון IBM Quantum ואסימון API כדי ליצור שירות מ-qiskit-ibm-runtime. בצעו את השלבים "Install and authenticate" בנושא הרצת המעגל הראשון שלכם על חומרה כדי ליצור את אסימון ה-API ולמצוא את ה-CRN של ה-instance שלכם.

הגדרה​

using Qiskit
using Qiskit.Operations
using QiskitIBMRuntime
using StatsBase
using OrdinaryDiffEq
using SparseArrays
using LinearAlgebra
using TensorNetworkQuantumSimulator
using Plots: plot, plot!, heatmap, @layout, mm

נגדיר גם את פונקציית העזר הבאה, שמחזירה את הערך של הביט במחרוזת הביטים v במיקום i. לדוגמה, עבור v = 6 (בינארי 110),

  • bit_at(6, 1) מחזירה 0,
  • bit_at(6, 2) מחזירה 1,
  • bit_at(6, 3) מחזירה 1.

זה עוקב אחרי מוסכמת little-endian שבה משתמשים ב-Qiskit: המיקום i מאונדקס החל מהביט הכי פחות משמעותי (הביט ה"ימני ביותר").

"""
    bit_at(v::Integer, i::Integer) = (v >> (i-1)) & 1

Return the value of the bit at position `i` in `v`.
"""
bit_at(v::Integer, i::Integer) = (v >> (i-1)) & 1
bit_at

דוגמת סימולטור בקנה מידה קטן​

נתבונן בשרשרת חד-ממדית של NN qubits, המתוארת על ידי מודל איזינג בשדה רוחבי שלמעלה. עבור המערכת שמעניינת אותנו, נגדיר להלן את גודל המערכת N, את גודל צעד טרוטר δt ואת המספר הכולל של צעדי טרוטר r_max. זמן ההתפתחות הכולל הוא δt * r_max. שימו לב ש-Julia תומכת במזהים בתווי Unicode כמו δt; במחברת או ב-Julia REPL, מקלידים \delta ואחריו Tab כדי להזין δ. להפניה מלאה, ראו את התיעוד של הקלט ב-Unicode ב-Julia.

פתרון מדויק​

כדי ליצור קו בסיס להשוואת תוצאות מהחומרה הקוונטית, נדגים תחילה את זרימת העבודה של סימולציה קלאסית לבעיה בקנה מידה קטן. נבנה את ההמילטוניאן של מודל איזינג כמטריצה דלילה, ואז נקבל את ההתפתחות בזמן המדויקת באמצעות אינטגרציה נומרית של משוואת שרדינגר בעזרת ODEProblem מתוך OrdinaryDiffEq.jl. הגישה הזו גדלה באופן אקספוננציאלי במספר ה-qubits NN. היא דורשת לשמור את וקטור המצב המלא בן 2N2^N ממדים. כבר עבור N=20N=20 למרחב הילברט יש יותר ממיליון ממדים, ולכן היא לא מעשית למערכות גדולות יותר.

N = 20
δt = 0.05 # Trotter step size
r_max = 10 # total number of Trotter steps

h = fill(1.0, N)
J = fill(1.0, N-1)

# Build the Ising Hamiltonian as a sparse 2^n × 2^n matrix
function build_ising_hamiltonian(h::AbstractVector{<:Real}, J::AbstractVector{<:Real}, n::Int)
    dim = 2^n

    # diagonal ZZ terms
    diag_terms = zeros(Float64, dim)
    for i in 1:n-1
        for b in 0:dim-1
            bi = bit_at(b, i) # bit at position i
            bi_next = bit_at(b, i+1) # bit at position i + 1
            diag_terms[b+1] += J[i] * (1-2bi) * (1-2bi_next)
        end
    end
    H = spdiagm(0 => complex(diag_terms))

    # off-diagonal local X terms
    for i in 1:n
        mask = 1 << (i-1)
        cols = [xor(b, mask) + 1 for b in 0:dim-1]
        H += h[i] * sparse(1:dim, cols, ones(ComplexF64, dim), dim, dim)
    end
    return H
end

H_ising = build_ising_hamiltonian(h, J, N)
1048576×1048576 SparseMatrixCSC{ComplexF64, Int64} with 22020096 stored entries:
⎡⣿⣿⣾⢦⡀⠳⣄⠀⠀⠀⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎤
⎢⠺⣟⢻⣶⣿⡂⠈⠳⣄⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⢤⡈⠻⠻⠿⣧⣤⣠⡈⠳⠄⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠙⢦⡀⠀⣻⣿⣿⣙⣦⡀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠙⢦⡈⠳⣼⣿⣿⡆⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠙⢦⡀⠀⠀⠁⠀⠈⠈⠉⣿⣿⣾⢦⡀⠳⣄⠀⠀⠈⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠺⣟⢻⣶⣿⡂⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⢤⡈⠻⠻⠿⣧⣤⣠⡈⠳⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⣻⣿⣿⣙⣦⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠙⢦⡈⠳⣼⣿⣿⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⎥
⎢⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⣿⣿⡟⢦⡈⠳⣄⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠻⣍⣿⣿⣯⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⢦⡈⠋⠛⢻⣶⣦⣦⡈⠓⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠨⣿⠿⣧⣽⡦⠀⠀⠀⠀⠀⠈⠳⣄⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⡀⠀⠀⠙⢦⠈⠳⡿⣿⣿⣀⡀⡀⠀⢀⠀⠀⠈⠳⣄⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠸⣿⣿⡟⢦⡈⠳⣄⠀⠀⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠈⠻⣍⣿⣿⣯⠀⠈⠳⣄⠀⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠐⢦⡈⠋⠛⢻⣶⣦⣦⡈⠓⎥
⎢⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⡀⠀⠀⠙⢦⡀⠨⣿⠿⣧⣽⡦⎥
⎣⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠙⢦⠀⠀⠀⠙⢦⠈⠳⡿⣿⣿⎦

נגדיר את האגף הימני של משוואת שרדינגר בצורה במקום schrodinger!(dψ, ψ, H, t), שמחשבת את dψ/dt=−iHψd\psi/dt = -iH\psi באמצעות כפל דליל של מטריצה בוקטור. לאחר מכן נגדיר ODEProblem עם מצב נאל כתנאי התחלה ונפתור אותו על פני טווח הזמן [0,r⋅δt][0, r \cdot \delta t], תוך שמירת המצב בכל צעד זמן δt\delta t. הפותר שבו משתמשים הוא Tsit5(), שיטת רונגה-קוטה מפורשת סטנדרטית מסדר רביעי/חמישי שמתאימה לבעיות לא נוקשות.

# initial state |0101...01⟩
ψ0 = zeros(ComplexF64, 2^N)
neel_index = sum(1 << (i-1) for i in 1:2:N)
ψ0[neel_index + 1] = 1.0

function schrodinger!(dψ::AbstractVector, ψ::AbstractVector, H::AbstractMatrix, t::Real)
    mul!(dψ, H, ψ)
    dψ .*= -im
end

tspan = (0.0, r_max * δt)
prob = ODEProblem(schrodinger!, ψ0, tspan, H_ising)
sol = solve(prob, Tsit5(), saveat=δt)
retcode: Success
Interpolation: 1st order linear
t: 11-element Vector{Float64}:
 0.0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
 0.4
 0.45
 0.5
u: 11-element Vector{Vector{ComplexF64}}:
 [0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im  …  0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im, 0.0 + 0.0im]
 [-7.612535273941705e-14 + 2.5737401150886516e-29im, 7.616818423232204e-14 - 1.6944517510822304e-12im, -8.565903349044157e-17 + 3.2368190823993794e-15im, -7.61682079584434e-14 - 1.078515326911689e-15im, 1.523363843119942e-13 - 1.6912125988569567e-12im, 3.5867824743714624e-11 + 5.083352813839524e-12im, -7.608249752495255e-14 - 4.317561743447096e-15im, 7.616820798431766e-14 - 1.6944516451719627e-12im, -8.570258514925147e-17 + 3.2384113624188233e-15im, -7.606534127496737e-14 - 5.398093819616815e-15im  …  -7.591102113501652e-14 - 7.55501666902211e-15im, 1.5233640806402347e-13 - 1.691212597789024e-12im, -4.283149391646935e-17 + 3.2390475588024777e-15im, -7.61253567131055e-14 - 4.319154099332238e-15im, 1.28498500555455e-16 + 4.773388002812907e-18im, -8.570258413862945e-17 + 3.2384113624488572e-15im, -7.612534879063769e-14 - 3.2390464923709225e-15im, 1.5233638826330585e-13 - 1.6912127047672224e-12im, -4.283149290692347e-17 + 3.237455101084436e-15im, -7.612535273941595e-14 - 1.8338992189508272e-31im]
 [-8.680854672628291e-11 - 3.427254579020333e-25im, 8.709110140864061e-11 - 8.699033104505336e-10im, -5.649235901782656e-13 + 8.601572275260816e-12im, -8.709221846767839e-11 - 2.859732693854631e-12im, 1.7418295344900034e-10 - 8.612608133903897e-10im, 8.41248317362033e-9 + 2.6096671235273274e-9im, -8.652487588621059e-11 - 1.1500395899126693e-11im, 8.709222358844944e-11 - 8.699014655672987e-10im, -5.669821718119223e-13 + 8.629638578162805e-12im, -8.641073444337035e-11 - 1.4395664161950265e-11im  …  -8.538755211456945e-11 - 2.0113079067784756e-11im, 1.7418407565004836e-10 - 8.612606969068827e-10im, -2.825548799186401e-13 + 8.640787361594646e-12im, -8.680873675466659e-11 - 1.152847038256832e-11im, 8.478635815548866e-13 + 8.382372443494577e-14im, -5.669819735592012e-13 + 8.629638588149376e-12im, -8.680836165042751e-11 - 8.640671375786309e-12im, 1.7418313902498964e-10 - 8.61262658275938e-10im, -2.82554682353394e-13 + 8.612701741862262e-12im, -8.680854672628374e-11 - 2.811149115586865e-25im]
 [-4.2861942928308275e-9 - 4.7678984538985196e-24im, 4.318192995176613e-9 - 2.8269371315624182e-8im, -6.395173522788358e-11 + 6.447233357075582e-10im, -4.318468070877377e-9 - 2.1364257686596578e-10im, 8.636571975410676e-9 - 2.7617721500979347e-8im, 1.7289660717976908e-7 + 8.480086489483005e-8im, -4.253920910159066e-9 - 8.649865429907717e-10im, 4.318470318624579e-9 - 2.826906169988642e-8im, -6.446071076018044e-11 + 6.495016281145607e-10im, -4.240844230135151e-9 - 1.0846764703342651e-9im  …  -4.124170626784771e-9 - 1.5115818225612714e-9im, 8.636849310525618e-9 - 2.7617681592276622e-8im, -3.199878870600196e-11 + 6.513863923787342e-10im, -4.2862418335791054e-9 - 8.697676141630365e-10im, 9.60478168658149e-11 + 1.4206678132640617e-11im, -6.446062402203318e-11 + 6.495016332435747e-10im, -4.286148929585427e-9 - 6.513467397401749e-10im, 8.636617557977306e-9 - 2.7618031117900408e-8im, -3.1998702345812497e-11 + 6.466014984949206e-10im, -4.286194292830829e-9 + 4.870909626742163e-24im]
 [-6.079348924748445e-8 + 6.709717322272516e-24im, 6.162943323939352e-8 - 2.9592110353110093e-7im, -1.6696556398383817e-9 + 1.2400459826013194e-8im, -6.164292787255694e-8 - 4.088131560944853e-9im, 1.2326810978249792e-7 - 2.832733452226872e-7im, 1.253532043962043e-6 + 8.875042569125039e-7im, -5.994408800994472e-8 - 1.6725258647088304e-8im, 6.164314112979357e-8 - 2.9591021577421156e-7im, -1.6948387141108349e-9 + 1.2572865374243683e-8im, -5.959595610442699e-8 - 2.1031419496566967e-8im  …  -5.651357562833814e-8 - 2.9192023780832225e-8im, 1.2328181992163385e-7 - 2.832706038202527e-7im, -8.359520177503641e-10 + 1.2640019589288568e-8im, -6.079590106381668e-8 - 1.689785040734888e-8im, 2.5106376181130386e-9 + 5.084778396177926e-10im, -1.6948306165735295e-9 + 1.2572866042727832e-8im, -6.079128573701664e-8 - 1.2637312624047932e-8im, 1.2327033399936622e-7 - 2.8328423313378375e-7im, -8.359439919088748e-10 + 1.2467163914771088e-8im, -6.079348924748447e-8 + 1.0331673240130025e-23im]
 [-4.193552407608965e-7 - 1.840220498495959e-23im, 4.2862657866184504e-7 - 1.605297190776032e-6im, -1.8502762435969943e-8 + 1.0856276308591437e-7im, -4.288690355597115e-7 - 3.554458373697522e-8im, 8.574220964863143e-7 - 1.4932465582703908e-6im, 4.849187224415274e-6 + 4.812233679729101e-6im, -4.098425461298137e-7 - 1.4745065418194435e-7im, 4.288753395920834e-7 - 1.6051467128773302e-6im, -1.896035285782807e-8 + 1.1102835700521827e-7im, -4.0588320553359593e-7 - 1.8611022850670223e-7im  …  -3.711838427223188e-7 - 2.569391306045151e-7im, 8.57670971098675e-7 - 1.4931825847645462e-6im, -9.271568570757063e-9 + 1.1197289579952942e-7im, -4.194005371452928e-7 - 1.4992045110994755e-7im, 2.787088237718031e-8 + 7.194933454521717e-9im, -1.8960118645415406e-8 + 1.1102838165568638e-7im, -4.193161709409199e-7 - 1.1191024844294344e-7im, 8.574617742181924e-7 - 1.4933970418540967e-6im, -9.271337900947239e-9 + 1.0949690324053836e-7im, -4.193552407608964e-7 + 1.6524848989693985e-22im]
 [-1.7823579016922897e-6 - 1.087640585040274e-21im, 1.840838369770109e-6 - 5.569854913729441e-6im, -1.1658899308162594e-7 + 5.632670364049069e-7im, -1.843111911436975e-6 - 1.8277839588324167e-7im, 3.6832950716080163e-6 - 4.979757871286645e-6im, 1.1823232043972897e-5 + 1.668138856075027e-5im, -1.7216192586061922e-6 - 7.718155525067347e-7im, 1.8432004842500001e-6 - 5.56872697042903e-6im, -1.209408931510706e-7 + 5.825677201706816e-7im, -1.6958321412209815e-6 - 9.789484717969276e-7im  …  -1.4727630743780977e-6 - 1.3421173522554028e-6im, 3.6856596566327488e-6 - 4.9790105233659736e-6im, -5.848359517965976e-8 + 5.898080282235565e-7im, -1.7828068643880377e-6 - 7.911632992433939e-7im, 1.760517112427114e-7 + 5.557422909554899e-8im, -1.209376913040035e-7 + 5.825681268981909e-7im, -1.7819976541714096e-6 - 5.890838036292954e-7im, 3.6836637838442504e-6 - 4.980885908360778e-6im, -5.848046807781978e-8 + 5.703874412047737e-7im, -1.7823579016922876e-6 + 1.4997773495573015e-22im]
 [-5.2719847869895295e-6 + 8.772351797140282e-21im, 5.515796864069832e-6 - 1.3769890958036113e-5im, -4.854583030811284e-7 + 1.984102714841576e-6im, -5.52914007682216e-6 - 6.365426377065764e-7im, 1.1041341496086288e-5 - 1.1652942788167796e-5im, 1.9151485012220565e-5 + 4.1169949873337434e-5im, -5.0149560721693026e-6 - 2.748560607544284e-6im, 5.529875137426081e-6 - 1.3764484293927507e-5im, -5.114444270677655e-7 + 2.0817439894898367e-6im, -4.903067916522327e-6 - 3.508133202204623e-6im  …  -3.950715241692067e-6 - 4.767013437270117e-6im, 1.1055449702075777e-5 - 1.1647607717886785e-5im, -2.4383689790869913e-7 + 2.1174362562762014e-6im, -5.274804158840664e-6 - 2.846520575369006e-6im, 7.355815857851513e-7 + 2.7656731682993024e-7im, -5.114187341304747e-7 + 2.0817477909234415e-6im, -5.2699143882793144e-6 - 2.112332735357189e-6im, 1.1043481329588082e-5 - 1.1658350328429614e-5im, -2.438120770802614e-7 + 2.018953103020384e-6im, -5.271984786989539e-6 + 6.138686657683503e-21im]
 [-1.1617825704147756e-5 + 1.0312565819538484e-21im, 1.2349337633136464e-5 - 2.5744303624623147e-5im, -1.454293291805138e-6 + 5.123664098726546e-6im, -1.2403650700016836e-5 - 1.6202581807656819e-6im, 2.473960492472325e-5 - 2.0155561130978555e-5im, 1.9144096039811722e-5 + 7.6742969783544e-5im, -1.0832694804431494e-5 - 7.1930875309620025e-6im, 1.2407719644833958e-5 - 2.572612053989065e-5im, -1.56229208977908e-6 + 5.474515092672054e-6im, -1.0480130191816845e-5 - 9.254685626031852e-6im  …  -7.537537188446326e-6 - 1.2435206581306264e-5im, 2.4798220145598703e-5 - 2.0129513964044365e-5im, -7.316420138432232e-7 + 5.598791194770797e-6im, -1.1630271281791021e-5 - 7.545396775206743e-6im, 2.2142322134173096e-6 + 9.742099793903422e-7im, -1.5621555243617513e-6 + 5.474538012007301e-6im, -1.1609612670484607e-5 - 5.574263610620754e-6im, 2.4748196626943606e-5 - 2.0173749496261283e-5im, -7.315119289888009e-7 + 5.243914596674148e-6im, -1.1617825704147746e-5 + 2.0077178062353968e-21im]
 [-1.9812558848038747e-5 - 9.187798066332235e-22im, 2.147271081932555e-5 - 3.757217609507472e-5im, -3.2943974661872274e-6 + 1.0138423201098428e-5im, -2.163583224409355e-5 - 3.1479593611068202e-6im, 4.3072956212126986e-5 - 2.6216146005671797e-5im, 4.770433131249609e-6 + 0.00011143181451766211im, -1.7992013464296718e-5 - 1.4466566267165694e-5im, 2.1652013724844488e-5 - 3.752687773861608e-5im, -3.6269134427165884e-6 + 1.1086241359275966e-5im, -1.7142579310500252e-5 - 1.8804566182208357e-5im  …  -1.0216935244391546e-5 - 2.491043927093904e-5im, 4.325353440439837e-5 - 2.6122963951736878e-5im, -1.6606359562313976e-6 + 1.140941830342574e-5im, -1.9853711381944784e-5 - 1.541920404485947e-5im, 5.050007317756615e-6 + 2.569541043839736e-6im, -3.6263960453836696e-6 + 1.1086337766500889e-5im, -1.97886585017898e-5 - 1.1323323936752868e-5im, 4.309833408283902e-5 - 2.6261466566058982e-5im, -1.6601519712867477e-6 + 1.044756873253024e-5im, -1.981255884803875e-5 + 7.339651656276922e-20im]
 [-2.6605994524636198e-5 + 1.1289591858171765e-19im, 2.9532145628332138e-5 - 4.333877076489454e-5im, -5.793688435837011e-6 + 1.572023652812328e-5im, -2.9906819721527362e-5 - 4.767746092973603e-6im, 5.9370303731772103e-5 - 2.51584831603933e-5im, -2.1873141629015348e-5 + 0.00012741720406900944im, -2.3313208885217603e-5 - 2.288272975975095e-5im, 2.995521974547466e-5 - 4.325274969426522e-5im, -6.580507052690018e-6 + 1.770923159800008e-5im, -2.1702668886267368e-5 - 3.0142728729320425e-5im  …  -8.927183090969304e-6 - 3.921197964153728e-5im, 5.979856139686108e-5 - 2.4903653161242186e-5im, -2.9274853045629046e-6 + 1.8356702741523666e-5im, -2.6711940545518465e-5 - 2.488368314305582e-5im, 8.967724203429812e-6 + 5.238269352768273e-6im, -6.579046665900031e-6 + 1.770952822000892e-5im, -2.6553193423229552e-5 - 1.812661956307733e-5im, 5.942741740138485e-5 - 2.5244572524328294e-5im, -2.9261511036959703e-6 + 1.6330572728121542e-5im, -2.660599452463617e-5 - 3.440870688152987e-20im]

מהפתרון, שמתאר את וקטור המצב ψ(t)\psi(t), אפשר לקבל את המגנטיזציה לכל אתר, המבוטאת כערכי התוחלת ⟨Z⟩\langle Z\rangle של qubit בודד כפונקציה של הזמן. נשווה זאת לתוצאות שהתקבלו מהמעגלים שעברו טרוטריזציה.

# get a single-qubit expectation value ⟨Z_qubit⟩ from a full state vector, weighting ±1 by |amplitude|²
function z_expval_from_state(ψ::AbstractVector{<:Complex}, qubit::Int, n::Int)
    s = 0.0
    for b in 0:2^n-1
        bit = bit_at(b, qubit)
        s += (1 - 2bit) * abs2(ψ[b+1])
    end
    return s
end

classical_magnetizations = [z_expval_from_state(sol.u[r+1], q, N)
                             for r in 0:r_max, q in 1:N]
11×20 Matrix{Float64}:
 -1.0       1.0       -1.0       1.0       …  1.0       -1.0       1.0
 -0.995021  0.995034  -0.995034  0.995034     0.995034  -0.995034  0.995021
 -0.980189  0.980386  -0.980386  0.980386     0.980386  -0.980386  0.980189
 -0.955994  0.956968  -0.956968  0.956968     0.956968  -0.956968  0.955994
 -0.922667  0.925652  -0.925653  0.925653     0.925653  -0.925652  0.922667
 -0.881106  0.888117  -0.88812   0.88812   …  0.88812   -0.888117  0.881106
 -0.832251  0.846116  -0.846129  0.846129     0.846129  -0.846116  0.832251
 -0.776957  0.801257  -0.801298  0.801298     0.801298  -0.801257  0.776957
 -0.715858  0.754749  -0.75486   0.75486      0.75486   -0.754749  0.715858
 -0.649744  0.707628  -0.707895  0.707895     0.707895  -0.707628  0.649744
 -0.580117  0.661272  -0.661841  0.661842  …  0.661841  -0.661272  0.580117

סימולציה בקנה מידה קטן של המעגלים שעברו טרוטריזציה​

בהמשך נציג את הסימולציה הקלאסית של מעגלים נטולי רעש בעזרת שיטות רשתות טנזורים הנתמכות על ידי TensorNetworkQuantumSimulator.jl, כדי שנוכל לאמת את בניית המעגל שלנו. השיטות האלה מספקות קו בסיס להשוואה עם תוצאות מהחומרה הקוונטית.

תחילה נגדיר את הסריג כגרף שרשרת חד-ממדית באמצעות named_grid((N,)), שבו כל קדקוד הוא זוג סדור (i,). לאחר מכן נציין את שערי המעגל כרשימה של טאפלים (gate_name, qubit_indices, gate_parameter), שמשמשת כפורמט הקלט של סימולטור רשתות הטנזורים.

# 1D chain graph — vertices are named (1,), (2,), ..., (N,)
g = named_grid((N,))

# Gates to prepare Néel state |0101…⟩, X on every other site
neel_state_gates(n::Int) = [("X", [(i,)]) for i in 1:2:n]

# Gates for one second-order Trotter step of size δt
trotter_step_gates(h::AbstractVector{<:Real}, J::AbstractVector{<:Real}, n::Int, δt::Real) = vcat(
    [("Rx",  [(i,)],         h[i] * δt) for i in 1:n],
    [("Rzz", [(i,), (i+1,)], 2 * J[i] * δt) for i in 1:n-1],
    [("Rx",  [(i,)],         h[i] * δt) for i in 1:n])

# Make a list of gates: Néel state preparation followed by n_trotter_steps Trotter steps
function make_trotter_circuit_tn(h::AbstractVector{<:Real}, J::AbstractVector{<:Real}, n::Int, δt::Real,
                                 n_trotter_steps::Int)
    circuit = []

    # Neel state initialization
    append!(circuit, neel_state_gates(n))

    for _ in 1:n_trotter_steps
        append!(circuit, trotter_step_gates(h, J, n, δt))
    end

    return circuit
end
make_trotter_circuit_tn (generic function with 1 method)

אנחנו משתמשים באלגוריתם של הפצת אמונה (belief propagation) לכיווץ רשת טנזורים. השיטה הזו יעילה עבור מעגלים עם שזירה מוגבלת, אבל הדיוק שלה יורד ככל שהשזירה גדלה עם עומק המעגל. הפרמטרים maxdim ו-cutoff שולטים באיזון בין דיוק לעלות חישובית. באופן דומה, נחשב את המגנטיזציה בכל אתר כדי להשוות בהמשך.

apply_kwargs = (; maxdim=32, cutoff=1e-10, normalize_tensors=true)
tn_magnetizations = zeros(r_max+1, N)

# |↑↑…↑⟩ product state, wrapped in a belief propagation cache
tn_initial_state(g::NamedGraph) = BeliefPropagationCache(
    tensornetworkstate(ComplexF32, v -> "↑", g, "S=1/2"))

# Apply a gate list to a TN state; returns the evolved state and the
# truncation fidelity, such as ∏(1 - ε) over all gate applications
function apply_gates_to_tn_state(circuit::Vector, ψ_bpc::BeliefPropagationCache; apply_kwargs::NamedTuple)
    ψ_bpc, errs = apply_gates(circuit, ψ_bpc; apply_kwargs)
    return ψ_bpc, prod(1.0 .- errs)
end

# ⟨Z_q⟩ on every site of a tensor-network state
z_expvals_from_tn_state(ψ_bpc::BeliefPropagationCache, n::Int) =
    [real(expect(ψ_bpc, [("Z", [(q,)])])[1]) for q in 1:n]

for r in 0:r_max
    circuit = make_trotter_circuit_tn(h, J, N, δt, r)
    ψ_bpc, fidelity = apply_gates_to_tn_state(circuit, tn_initial_state(g); apply_kwargs)
    println("fidelity at Trotter step $(r) was $(fidelity)")
    tn_magnetizations[r+1, :] = z_expvals_from_tn_state(ψ_bpc, N)
end
fidelity at Trotter step 0 was 1.0
fidelity at Trotter step 1 was 1.0
fidelity at Trotter step 2 was 1.0
fidelity at Trotter step 3 was 0.9999999999999679
fidelity at Trotter step 4 was 0.9999999999976941
fidelity at Trotter step 5 was 0.9999999999476229
fidelity at Trotter step 6 was 0.9999999993741544
fidelity at Trotter step 7 was 0.9999999993647009
fidelity at Trotter step 8 was 0.9999999992323603
fidelity at Trotter step 9 was 0.9999999980892764
fidelity at Trotter step 10 was 0.9999999980892698

שלב 1: מיפוי קלטים קלאסיים לבעיה קוונטית​

עכשיו נבנה את מעגל ההתפתחות בזמן שעבר טרוטריזציה בעזרת Qiskit.jl. המעגל משקף את גרסת רשת הטנזורים: הוא מאתחל את מצב נאל, מפעיל rr צעדי טרוטר של שערי RxR_x ו-RZZR_{ZZ}, ולבסוף מודד את כל ה-qubits בבסיס Z.

function make_trotter_circuit(h::AbstractVector{<:Real}, J::AbstractVector{<:Real}, n::Int, δt::Real, n_trotter_steps::Int)
    qc = QuantumCircuit(n, n)

    # Neel state initialization
    for i in 1:2:n
        x!(qc, i)
    end

    # Trotter evolution
    for _ in 1:n_trotter_steps
        for i in 1:n
            rx!(qc, h[i] * δt, i)
        end

        for i in 1:n-1
            rzz!(qc, 2* J[i] * δt, i, i+1)
        end

        for i in 1:n
            rx!(qc, h[i] * δt, i)
        end
    end

    # measure in Z basis
    for i in 1:n
        measure!(qc, i, i)
    end
    return qc
end

qc = make_trotter_circuit(h, J, N, δt, 1)
QuantumCircuit with 20 qubits, 20 clbits
  instructions: 89

אנחנו בונים רשימה של מעגלים עבור צעדי טרוטר 0 עד 10, המתאימים לזמני התפתחות τ=0,δt,2δt,…,10δt\tau = 0, \delta t, 2\delta t, \ldots, 10\delta t.

# prepare a list of circuits with different Trotter steps
qc_list = [make_trotter_circuit(h, J, N, δt, r) for r in 0:r_max]
11-element Vector{QuantumCircuit}:
 QuantumCircuit(20, 20; 30 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 89 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 148 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 207 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 266 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 325 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 384 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 443 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 502 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 561 instructions)
 QuantumCircuit(20, 20; 620 instructions)

שלב 2: אופטימיזציה של הבעיה להרצה על חומרה קוונטית​

כדי להריץ על חומרה קוונטית, צריך קודם לטרנספל את המעגלים. זה כולל את הצעדים הבאים: בחירת קבוצת qubits פיזיים שעליהם ימופה המעגל, קומפילציה מחדש של השערים לקבוצת ההוראות המקורית של ה-Backend, ואופטימיזציה של עומק המעגל המתקבל. אנחנו משתמשים ב-least_busy() כדי לבחור אוטומטית את ה-Backend הפנוי עם הכי פחות עומס, ב-target_from_backend() כדי לשלוף את קבוצת השערים המקורית ואת קישוריות ה-qubits שלו, וב-transpile() כדי לבצע את הקומפילציה.

service = Service()
search_results = backend_search(service)
backend = least_busy(search_results)
@show backend.name
backend.name = "ibm_phoenix"
"ibm_phoenix"
target = target_from_backend(backend, service)
Target with 120 qubits
  instructions: 8
tqc_list = [transpile(qc, target)[1] for qc in qc_list]
11-element Vector{QuantumCircuit}:
 QuantumCircuit(120, 20; 30 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 211 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 344 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 475 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 606 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 737 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 868 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 999 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 1130 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 1261 instructions)
 QuantumCircuit(120, 20; 1392 instructions)

אחרי הטרנספילציה, נבדוק שתי תכונות של המעגלים המקומפלים. get_circuit_layout() מחזירה את קבוצת האינדקסים של ה-qubits הפיזיים שנבחרו עבור המעגל. two_qubit_depth() מחשבת את עומק שערי שני ה-qubits — אורך שרשרת הפעולות הארוכה ביותר של שני qubits במעגל — שהוא אינדיקטור שימושי להצטברות רעש בחומרה.

function get_circuit_layout(tqc::QuantumCircuit)
    return Set(q for inst in tqc.data for q in inst.qubits)
end

get_circuit_layout(tqc_list[2])
Set{Int64} with 20 elements:
  35
  110
  58
  12
  24
  37
  23
  22
  47
  69
  36
  80
  109
  90
  57
  34
  13
  59
  70
  100

להלן אנחנו מדפיסים את מספר שערי שני ה-qubits ואת עומק המעגל בכל צעד טרוטר; כצפוי, שניהם גדלים באופן לינארי עם מספר הצעדים. שימו לב ששער RZZR_\mathrm{ZZ} השברי עדיין לא זמין דרך ה-C API (ראו qiskit-ibm-runtime-c#29). כתוצאה מכך, כל RZZGate עובר טרנספילציה לשני שערי שני qubits במקום לאחד, מה שמנפח את ספירת השערים של שני qubits.

two_qubit_count(qc::QuantumCircuit) = count(inst -> length(inst.qubits) == 2, qc.data)

function two_qubit_depth(qc::QuantumCircuit)
    qubit_depth = Dict{Int,Int}()
    for inst in qc.data
        length(inst.qubits) == 2 || continue   # skip non-two-qubit gates
        d = maximum(get(qubit_depth, q, 0) for q in inst.qubits)
        for q in inst.qubits
            qubit_depth[q] = d + 1
        end
    end
    return isempty(qubit_depth) ? 0 : maximum(values(qubit_depth))
end

for (i, tqc) in enumerate(tqc_list)
    println("r=$(i-1): 2q gate count=$(two_qubit_count(tqc)), 2q gate depth=$(two_qubit_depth(tqc))")
end
r=0: 2q gate count=0, 2q gate depth=0
r=1: 2q gate count=38, 2q gate depth=38
r=2: 2q gate count=76, 2q gate depth=42
r=3: 2q gate count=114, 2q gate depth=46
r=4: 2q gate count=152, 2q gate depth=50
r=5: 2q gate count=190, 2q gate depth=54
r=6: 2q gate count=228, 2q gate depth=58
r=7: 2q gate count=266, 2q gate depth=62
r=8: 2q gate count=304, 2q gate depth=66
r=9: 2q gate count=342, 2q gate depth=70
r=10: 2q gate count=380, 2q gate depth=74

שלב 3: הרצה באמצעות פרימיטיבים של Qiskit​

עכשיו אפשר לשלוח את המעגלים שעברו טרנספילציה ל-Backend כמשימות Sampler עם shots מוגדר.

shots = 1024
job_list = [run_sampler_job(service, backend, tqc, shots) for tqc in tqc_list]
11-element Vector{QiskitIBMRuntime.Job}:
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000003427f72f0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b2d1b4e0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b2dcb180)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b1e24840)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b266e640)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b2d1b690)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c17980)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b315b9b0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c16090)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c195f0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b2d33f70)
for (i, job) in enumerate(job_list)
    status = get_job_status(job, service)
    println("Job $i: ", status)
end
Job 1: Completed
Job 2: Completed
Job 3: Completed
Job 4: Completed
Job 5: Completed
Job 6: Completed
Job 7: Completed
Job 8: Completed
Job 9: Completed
Job 10: Completed
Job 11: Completed

כשהמשימות מסתיימות, אפשר לשלוף את התוצאות שלהן. שימו לב שהפונקציה get_sampler_job_results תחסום עד שהמשימה תסתיים.

all_samples = [get_sampler_job_results(job, service) for job in job_list]
11-element Vector{QiskitIBMRuntime.Samples}:
 [[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0]  …  [1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0]]
 [[0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0], [0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1]]
 [[1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0]  …  [1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0], [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]

שלב 4: עיבוד לאחר והחזרת התוצאה בפורמט הקלאסי הרצוי​

ממדגמי מחרוזות הביטים שהתקבלו מהחומרה הקוונטית, אנחנו מחשבים את המגנטיזציה לכל אתר (ערכי התוחלת ⟨Z⟩\langle Z\rangle של qubit בודד) על ידי ממוצע של (−1)bi(-1)^{b_i} על פני כל ה-shots, כאשר bib_i הוא הביט שנמדד עבור qubit ii. לאחר מכן אנחנו משרטטים את המגנטיזציה כמפת חום על פני ה-qubits וצעדי הטרוטר, ומשווים את שלוש השיטות זו לצד זו: סימולציה קלאסית מדויקת, סימולציית רשת טנזורים נטולת רעש, והרצה על חומרה.

# Compute expectation values
# 0 -> 1, 1 -> -1
z_expval(samples, i) = mean((-1)^s[i] for s in samples)

magnetizations = [z_expval(all_samples[i], q) for i in 1:length(all_samples), q in 1:N]
11×20 Matrix{Float64}:
 -0.996094  0.998047  -0.990234  0.998047  …  1.0       -0.988281  0.994141
 -0.925781  0.980469  -0.878906  0.96875      0.970703  -0.976562  0.988281
 -0.916016  0.992188  -0.837891  0.957031     0.962891  -0.966797  0.953125
 -0.884766  0.970703  -0.824219  0.90625      0.908203  -0.939453  0.892578
 -0.835938  0.96875   -0.814453  0.884766     0.931641  -0.902344  0.908203
 -0.777344  0.958984  -0.78125   0.871094  …  0.935547  -0.876953  0.939453
 -0.732422  0.933594  -0.767578  0.8125       0.884766  -0.835938  0.890625
 -0.650391  0.916016  -0.771484  0.771484     0.853516  -0.773438  0.837891
 -0.537109  0.902344  -0.705078  0.742188     0.875     -0.662109  0.833984
 -0.472656  0.923828  -0.652344  0.728516     0.839844  -0.695312  0.808594
 -0.4375    0.923828  -0.613281  0.681641  …  0.890625  -0.658203  0.8125

שלושת הפאנלים שלהלן מציגים את מגנטיזציית האתרים ⟨Zi⟩\langle Z_i \rangle כפונקציה של אינדקס ה-qubit (ציר x) וצעד טרוטר (ציר y). ב-δt=0.05\delta t = 0.05 עם rmax⁡=10r_{\max} = 10, זמן ההתפתחות הכולל הוא τ=rmax⁡⋅δt=0.5\tau = r_{\max} \cdot \delta t = 0.5, שקצר מספיק כדי שהתבנית האנטי-פרומגנטית ההתחלתית עדיין לא דעכה — בכל שלוש השיטות רואים תבנית מתחלפת חזקה. התוצאות הקלאסיות ושל רשת הטנזורים מתאימות עכשיו היטב, מה שמאשר ששגיאת טרוטר קטנה בגודל צעד כזה. תוצאות החומרה עוקבות באופן כללי אחרי שתי האחרות, אם כי חלק מה-qubits סוטים מהסימולציות יותר מאחרים, ומשקפים שונות באיכות ה-qubits לאורך ה-Backend. הסטיות האלה גדלות בצעדי טרוטר מאוחרים יותר ככל שעומק המעגל גדל.

# plot magnetization as a function of time
l = @layout [a{0.3w} b{0.3w} c{0.44w}]
plot(
    heatmap(classical_magnetizations, title="Classical", clims=(-1,1), color=:RdBu,
        xlabel="Qubit", ylabel="Trotter steps", colorbar=false),
    heatmap(tn_magnetizations, title="Tensor Network", clims=(-1,1), color=:RdBu,
        xlabel="Qubit", ylabel="Trotter steps", colorbar=false),
    heatmap(magnetizations, title="Hardware", clims=(-1,1), color=:RdBu,
        xlabel="Qubit", ylabel="Trotter steps", colorbar=true),
    layout=l, size=(900,300),
    bottom_margin=5mm, left_margin=5mm, right_margin=6mm
)

Output of the previous code cell

דוגמת חומרה בקנה מידה גדול​

שלבים 1–4 בזרימת עבודה אחת​

עכשיו נשלב את כל ארבעת השלבים שלמעלה לזרימת עבודה אחת, בקנה מידה שמעבר להישג ידה של סימולציה קלאסית מדויקת. במקום לפתור את המגנטיזציה אתר אחר אתר, אנחנו עוקבים אחרי מדד סקלרי יחיד של סדר אנטי-פרומגנטי, המגנטיזציה המדורגת (staggered):

⟨Ms⟩=1N∑i=1N(−1)i⟨Zi⟩ \langle M_s \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (-1)^i \langle Z_i \rangle

הסימן המתחלף בסכום הופך את האות לגלוי. עבור מצב ההתחלה של נאל ∣0101…01⟩|0101\ldots01\rangle כל איבר תורם +1+1, ולכן ⟨Ms⟩=1\langle M_s\rangle = 1, ואילו הממוצע הפשוט 1N∑i⟨Zi⟩\frac{1}{N}\sum_i \langle Z_i\rangle מתאפס זהותית לכל tt. כשהשדה הרוחבי מבלבל את התבנית המתחלפת, ⟨Ms⟩\langle M_s\rangle דועך לעבר 00, ולכן המגנטיזציה המדורגת מראה לנו כמה מהסדר ההתחלתי שורד במהלך ההתפתחות בזמן.

אנחנו משתמשים בדוגמה הזו גם כדי לראות איך גודל צעד הטרוטר משפיע על הדיוק. אנחנו מקבעים את זמן ההתפתחות הכולל T=1.5T = 1.5 ומשנים את מספר צעדי הטרוטר r∈{3,6,12}r \in \{3, 6, 12\}, כך ש-δt=T/r\delta t = T/r. בחומרה, שני מקורות שגיאה מתחרים: δt\delta t קטן יותר מקטין את שגיאת טרוטר, אבל דורש יותר שערי שני qubits באופן יחסי, שמצבירים יותר רעש חומרה.

# -------------------------Step 1-------------------------
# Map classical inputs to a quantum problem.
N_large = 100
g_large = named_grid((N_large,))
h_large = fill(1.0, N_large)       # transverse field on every site
J_large = fill(1.0, N_large - 1)   # nearest-neighbor ZZ couplings on the chain

T_total = 1.5                    # fixed total evolution time
r_list = [3, 6, 12]       # varying Trotter steps; δt = T_total/r
sweep = [(r, k) for r in r_list for k in 0:r]

qc_list_large = [make_trotter_circuit(h_large, J_large, N_large, T_total/r, k)
                 for (r, k) in sweep]

# -------------------------Step 2-------------------------
# Optimize the problem for quantum hardware execution.
tqc_list_large = [transpile(qc, target)[1] for qc in qc_list_large]
# Print the 2q gate count and depth of the deepest circuit at each δt",
for r in r_list
    i = findfirst(==((r, r)), sweep)   # the k = r circuit reaches the full T_total
    println("  δt = $(round(T_total/r, digits=4))  →  $(r+1) time points, ",
        "deepest circuit = $(r) Trotter steps, ",
        "2q count = $(two_qubit_count(tqc_list_large[i])), ",
        "2q depth = $(two_qubit_depth(tqc_list_large[i]))")
end

# -------------------------Step 3-------------------------
# Execute using Qiskit primitives.
shots_large = 4096

job_list_large = [run_sampler_job(service, backend, tqc, shots_large)
                  for tqc in tqc_list_large]
δt = 0.5  →  4 time points, deepest circuit = 3 Trotter steps, 2q count = 594, 2q depth = 206
  δt = 0.25  →  7 time points, deepest circuit = 6 Trotter steps, 2q count = 1188, 2q depth = 218
  δt = 0.125  →  13 time points, deepest circuit = 12 Trotter steps, 2q count = 2376, 2q depth = 242
24-element Vector{QiskitIBMRuntime.Job}:
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c1a750)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e0a270)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c21a50)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e05120)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c2a6e0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e0d140)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e0b640)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c1a200)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b312eb90)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c22060)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b31ea4e0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c1ccf0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000104c2af50)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b312ffb0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b0e89700)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e15070)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e10d40)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004af5a5d10)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e12500)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e14870)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e10730)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b237ca60)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x00000004b2c713a0)
 QiskitIBMRuntime.Job(Ptr{QiskitIBMRuntime.LibQiskitIBMRuntime.Job} @0x0000000102e13e90)
# Run this cell to check the job status
# Run the following cell for post-processing after all jobs complete
for (i, job) in enumerate(job_list_large)
    r, k = sweep[i]
    println("Job $i (δt=$(round(T_total/r, digits=4)), k=$k): ",
            get_job_status(job, service))
end
Job 1 (δt=0.5, k=0): Completed
Job 2 (δt=0.5, k=1): Completed
Job 3 (δt=0.5, k=2): Completed
Job 4 (δt=0.5, k=3): Completed
Job 5 (δt=0.25, k=0): Completed
Job 6 (δt=0.25, k=1): Completed
Job 7 (δt=0.25, k=2): Completed
Job 8 (δt=0.25, k=3): Completed
Job 9 (δt=0.25, k=4): Completed
Job 10 (δt=0.25, k=5): Completed
Job 11 (δt=0.25, k=6): Completed
Job 12 (δt=0.125, k=0): Completed
Job 13 (δt=0.125, k=1): Completed
Job 14 (δt=0.125, k=2): Completed
Job 15 (δt=0.125, k=3): Completed
Job 16 (δt=0.125, k=4): Completed
Job 17 (δt=0.125, k=5): Completed
Job 18 (δt=0.125, k=6): Completed
Job 19 (δt=0.125, k=7): Completed
Job 20 (δt=0.125, k=8): Completed
Job 21 (δt=0.125, k=9): Completed
Job 22 (δt=0.125, k=10): Completed
Job 23 (δt=0.125, k=11): Completed
Job 24 (δt=0.125, k=12): Completed
# -------------------------Step 4-------------------------
# Post-process and return the result in the desired classical format.
# Run this cell after all jobs are completed

# ⟨M_s⟩ = (1/N) Σ (-1)^i ⟨Z_i⟩, averaged over hardware shots
function staggered_magnetization(samples::AbstractVector{<:AbstractVector}, n::Int)
    s = 0.0
    for sample in samples
        s += sum((-1)^i * (1 - 2 * sample[i]) for i in 1:n) / n
    end
    return s / length(samples)
end

all_samples_large = [get_sampler_job_results(job, service) for job in job_list_large]
mags_hardware = [staggered_magnetization(s, N_large) for s in all_samples_large]
24-element Vector{Float64}:
 0.9880371093750097
 0.697231445312484
 0.44886718750000276
 0.29333496093750067
 0.9882324218750095
 0.8109619140625324
 0.6457958984374791
 0.4808593749999992
 0.36695312500000055
 0.2963671875000012
 0.23831542968750055
 0.9884472656250093
 0.8566455078125492
 0.7951171875000282
 0.7050732421874865
 0.610673828124981
 0.529980468749995
 0.4656054687500018
 0.4149316406250024
 0.3799462890625011
 0.35178710937500185
 0.3185888671875003
 0.31287597656250016
 0.29621093750000077

ב-N=100N=100 הפתרון המדויק מפותר ה-ODE שבו השתמשנו למעלה הוא מחוץ לתחום, כי וקטור המצב לבדו ידרוש 2100≈10302^{100} \approx 10^{30} אמפליטודות. במקום זאת אנחנו משתמשים כייחוס בסימולציית רשת טנזורים נטולת רעש של אותה שרשרת חד-ממדית עם צעד טרוטר עדין בהרבה (r=96r = 96, δt≈0.016\delta t \approx 0.016), שבו שגיאת טרוטר זניחה בהשוואה לכל δt\delta t שאנחנו מריצים על חומרה. הייחוס הזה עצמו הוא קירוב: השגיאה הדומיננטית שלו היא כעת קטימת ממד הקשר (bond dimension) שנדונה למעלה, ומדווחת כנאמנות קטימה לכל הרצה.

apply_kwargs = (; maxdim=64, cutoff=1e-10, normalize_tensors=true)

# Calculate the staggered magnetization given a tensor network state
staggered_magnetization(ψ_bpc::BeliefPropagationCache, n::Int) =
    sum((-1)^q * m for (q, m) in enumerate(z_expvals_from_tn_state(ψ_bpc, n))) / n

# Evolve a TN state and record the staggered magnetization at each step.
function compute_staggered_magnetization_tn(δt::Real, nsteps::Int; record_every::Int = 1)
    init_gates = neel_state_gates(N_large)
    step_gates = trotter_step_gates(h_large, J_large, N_large, δt)

    ψ_bpc, fid = apply_gates_to_tn_state(init_gates, tn_initial_state(g_large); apply_kwargs)
    times = [0.0]
    mags = [staggered_magnetization(ψ_bpc, N_large)]
    for k in 1:nsteps
        ψ_bpc, fid_step = apply_gates_to_tn_state(step_gates, ψ_bpc; apply_kwargs)
        fid *= fid_step
        if k % record_every == 0
            push!(times, k * δt)
            push!(mags, staggered_magnetization(ψ_bpc, N_large))
        end
    end
    println("  δt=$(round(δt, digits=5)), $(nsteps) steps: truncation fidelity ≈ $(round(fid, digits=5))")
    (times, mags)
end

# If the fidelity drifts from 1, raise `maxdim` in `apply_kwargs`.
# Under current setting, the tensor network simulation takes ~ 3 minutes on a laptop.
println("Tensor-network reference:")
r_ref = 96
times_ref, mags_ref = compute_staggered_magnetization_tn(T_total / r_ref, r_ref; record_every = r_ref ÷ 12)
Tensor-network reference:
  δt=0.01562, 96 steps: truncation fidelity ≈ 1.0
([0.0, 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1.0, 1.125, 1.25, 1.375, 1.5], Float32[1.0, 0.9695576, 0.8870231, 0.77430177, 0.6560442, 0.5499543, 0.46285573, 0.39298016, 0.33518773, 0.28527063, 0.24147007, 0.20369667, 0.17206171])

הגרף שלהלן מציג את המגנטיזציה המדורגת לאורך הזמן עבור שלושת גדלי צעד הטרוטר, מול ייחוס רשת הטנזורים נטולת הרעש (שחור מקווקו).

plt = plot(xlabel = "Time", ylabel = "Staggered magnetization",
    title = "N = $(N_large) on $(backend.name), T = $(T_total)",
    legend = :topright, ylims = (-0.05, 1.05), size = (820, 480),
    bottom_margin = 5mm, left_margin = 5mm)

# Plot tensor network reference
plot!(plt, times_ref, mags_ref, lw = 2, ls = :dash, color = :black,
      label = "tensor network, δt → 0")

# Plot hardware result per Trotter step size
for (r, stop) in zip(r_list, cumsum(r_list .+ 1))
    plot!(plt, range(0, T_total, length = r + 1), mags_hardware[(stop - r):stop],
          marker = :circle, markersize = 4, lw = 2,
          label = "hardware, δt = $(round(T_total / r, digits = 4))")
end
plt

Output of the previous code cell

בסך הכול, צעד הטרוטר הגס ביותר δt=0.5\delta t = 0.5 (נקודות כתומות) מראה את הסטייה הגדולה ביותר מייחוס רשת הטנזורים, כנראה עם תרומה גדולה של שגיאת טרוטר. בצעד העדין יותר δt=0.25\delta t = 0.25 (נקודות ירוקות), תוצאות החומרה מתאימות טוב יותר לייחוס. בצעד העדין ביותר δt=0.125\delta t = 0.125 (נקודות סגולות), שגיאת טרוטר היא הקטנה ביותר, ובכל זאת ההתאמה גרועה יותר מאשר ב-δt=0.25\delta t = 0.25. עם חצי מגודל הצעד, כל נקודת זמן דורשת פי שניים שערי שני qubits, והרעש הנוסף גובר על הקטנת שגיאת טרוטר. לכן בחירת δt\delta t למעגל שעבר טרוטריזציה על חומרה היא פשרה בין שגיאת טרוטר לבין הרעש שנצבר משערים נוספים.

השלבים הבאים​

ייתכן שיעניין אתכם החומר הבא:

מקור: IBM Quantum docs — עודכן בתאריך 2 באוק׳ 2026
גרסה באנגלית ב-doQumentation — עודכן בתאריך 2 באוק׳ 2026
בעיה באתר או בתרגום?בעיה בתוכן? ערוך ב-IBM Quantum docs